帶固定交易費用的模糊投資組合＊

成央金，余 雙，羅曉琴，于瑞華

（湘潭大學數(shù)學與計算科學學院，湖南湘潭 411105）

帶固定交易費用的模糊投資組合＊

成央金，余 雙，羅曉琴，于瑞華

（湘潭大學數(shù)學與計算科學學院，湖南湘潭 411105）

基于區(qū)間規(guī)劃的方法，研究了帶固定交易費用下的模糊投資組合模型.在模型中引進正態(tài)隸屬函數(shù)；考慮投資組合風險偏好時，修改了一般投資組合中風險偏好方法定義方法，使其更符合區(qū)間規(guī)劃；在考慮未來回報率時，考慮了符合實際情況的因素——漲跌停板；引進新的流動性的定義方法，改正了以往用換手率帶來的缺陷.

組合投資；區(qū)間規(guī)劃；正態(tài)隸屬函數(shù)；漲跌停板

1 問題的提出

1952年Markowitz H［1］提出了投資組合理論，將數(shù)據(jù)工具引入到金融問題中研究.1958年Modiliani F等［2］發(fā)表了MM理論，這2個理論奠定了現(xiàn)代金融學理論的基礎.近60年來，無數(shù)的學者在這2個理論的基礎上不斷地創(chuàng)新和發(fā)展，提出新的理論.

由于用經(jīng)典的均值－方差（M-V）模型來度量一個投資組合模型時，其資產(chǎn)的收益呈正態(tài)分布或投資者的效用函數(shù)是二次的，但是在實際中這些條件往往難以滿足，并且如果投資風險資產(chǎn)的個數(shù)過多時，計算風險資產(chǎn)收益協(xié)方差也比較難；因此，人們依據(jù)對風險的不同定義，提出不同的風險函數(shù).如1970年，Mao提出下半方差風險函數(shù)模型；1991年，Konno H等［3－4］提出基于絕對偏差函數(shù)的投資組合模型；2000年，Teo K L等［5］在下行風險度的基礎上翻，推出HT∞函數(shù)，考慮在估計風險時將歷史數(shù)據(jù)劃分了T個階段來估計；2000年，Gaivoronski在以下行風險度為前提，構造出以VAR為風險度量的投資組合模型；2001年，Cai X Q等［6］在絕對偏差的基礎上提出l∞風險函數(shù)；2001年，Roekafellar在VAR的基礎上提出以CVAR為風險度量指標構建投資組合模型.

在真實的交易市場中，受到市場、經(jīng)濟、國家的宏微觀調(diào)控及不可抗拒的自然因素的影響，投資者對投資的未來回報率是不確定的，投資者很難得到一個真實的值，而區(qū)間數(shù)是一個很好的解決此問題的方法.在1980年，Bitran提出帶模糊區(qū)間系數(shù)的規(guī)劃問題，首次將區(qū)間數(shù)引入數(shù)學規(guī)劃問題中.在1998年，Ramaswany將一般模糊數(shù)的規(guī)劃應用到投資組合問題中，不過該模型僅考慮了收益，沒有考慮風險目標.在2002年，K.K.Li等［7］討論了基于2個間隔之間的模糊不等式，建立了新的含參數(shù)的線性規(guī)劃問題.在2008年，Zhang Wei-guo等［8］建立了基于區(qū)間估計可能性均值和可能性方差的模型.在2011年，Liu Shang-tai［9］討論了在資產(chǎn)收益是區(qū)間數(shù)時的不確定投資選擇問題，通過絕對偏差構建了一個2級的數(shù)學規(guī)劃模型.

在以往的研究中，人們考慮收益的模糊區(qū)間時，憑借的是個人的直覺或者是通過梯形或三角形隸屬函數(shù)，憑個人直覺不太科學，而用梯形或三角形來模擬，雖然能夠比較好地得到區(qū)間數(shù)，但是不太符合數(shù)連續(xù)變化的情況，而且容易與實際情況不符——投資市場上對每個資產(chǎn)的漲跌都有限制，只能在這個限制范圍內(nèi)交易.

一個好的證券必須有良好的流動性，只有這樣，投資者才能夠從容地進行買賣，才能不被股市套死，所以在進行投資時，必須考慮到這一點.在以往的研究中，研究者往往就是將股票的換手率看成股票的流動性，這種做法有點缺陷.筆者引進新的方法來度量流動性，使其更加符合市場規(guī)律.

在投資市場中，每筆投資都有成本，有時雖然投資賺了，但是可能賺的錢還不夠支付投資成本，故在考慮投資組合的時候，必須考慮交易費用.

筆者基于不確定規(guī)劃問題，引入正態(tài)隸屬函數(shù)和漲跌板聯(lián)合來估計投資的未來收益額，引入新的偏好因子定義方法，并考慮帶固定交易費用和證券的流動性的情形，建立了新的投資組合模型.

2 預備知識

2.1 可能性均值和λ－截集

先給定一些定義，論域X到［0，1］閉區(qū)間上的任意映射μA：X→［0，1］，x→μA（x），都確定X上的一個模糊集合，μA稱為的隸屬函數(shù)，（x）稱為x對模糊集的隸屬度，記為＝｛（x，μA（x））｜x∈X｝.使（x）＝0.5的點x0稱為模糊集的過渡點，此點最具模糊性.顯然，模糊集合完全由隸屬函數(shù)來刻畫，當（x）＝｛0，1｝時退化為一個普通集.

由市場未來的不確定性，投資者不能根據(jù)歷史數(shù)據(jù)和市場消息得到確定的、未來的回報額.假設其滿足基于正態(tài)分布的隸屬函數(shù)，即則的λ－截集可表示為［］λ＝［α－σ

2.2 可能性預期回報額

在真實的交易市場，有漲跌停板制度的限制.漲跌停板制度是指，期貨合約在一個交易日中的成交價格不能高于或低于以該合約上一交易日結(jié)算價為基準的某一漲跌幅度，超過該范圍的報價將視為無效，不能成交.在漲跌停板制度下，前交易日結(jié)算價加上允許的最大漲幅構成當日價格上漲的上限，稱為漲停板；前一交易日結(jié)算價減去允許的最大跌幅構成價格下跌的下限，稱為跌停板.以中國證券市場為例，一般A股的漲跌幅以10%為限，當日漲幅達到10%限為上限，稱為漲停板；當日跌幅達到10%限為上限，稱為跌停板.

將最大限度回報額與可能性均值聯(lián)合起來考慮，則資產(chǎn)i的未來回報額為ri＝，），其中

2.3 證券組合的流動性原則

流動性原則即變現(xiàn)性原則，是指證券組合所形成的資產(chǎn)在不發(fā)生價值損失的前提下，可隨時轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)金，以滿足投資者對現(xiàn)金支付的需要.投資所形成的不同資產(chǎn)有不同的流動性.

但是在金融市場上，證券的流動性是一個非具體的、不能夠直接通過觀察得到的數(shù)據(jù).一個理想的衡量證券的流動性指標應包含這3個方面：價格波動，即證券的價格不變或微小改變；時間，即證券在賣出或買入后的價格的變化快慢；成交量，即證券交易數(shù)量.

在以往的組合投資模型中，研究者都是用換手率來衡量證券的流動性，但是換手率沒有反映成交量對價格波動的影響，因此沒有反映流動性的本質(zhì)特征.筆者沒有用換手率來衡量證券流動性，而是選用收益額的絕對值與換手率之比來衡量流動性，它能比較客觀真實地反映證券的流動性情況.該指標越大，市場流動性越低，該指標越小，市場流動性越高.因收益額是一個區(qū)間值，故流動性也是一個區(qū)間值［11］.

2.4 偏好因子

對于不確定的投資組合問題，決策者會因為自身的性格、所在的地域等多重因素的影響，對不同的投資有不同的風險偏好關系.風險偏好，可以使用標準賭博技術（SGT）來確定，其中比較普遍的是賭博當量法.這是讓決策人面對一種測試賭博，一好一壞2種結(jié)果，發(fā)生的概率已知，然后令其評價介于兩者之間的某一結(jié)果值，要求它與賭博的價值完全相等，稱此結(jié)果值為賭博的當量，并將其值記為τ.

基于賭博當量法的思路，給出不確定區(qū)間數(shù)的基于風險偏好的表示方法.假定a在區(qū)間＝［xl，xu］均勻分布，密度函數(shù)為f（a）＝1／（xu－xl），則?e（），其中?為風險偏好因子（｜?｜≤0.5），表示承擔的風險偏好，n（）為區(qū)間數(shù)的中點值，e（）為區(qū)間數(shù)的寬度.當?＜0時，表示投資者是風險厭惡，?越接近－0.5，投資者厭惡的程度越高；當?＝0時，表示投資者是風險中立的；當?＞0時，表示投資者是風險喜愛的，?越接近0.5，投資者喜愛的程度越高.

3 考慮帶固定交易費用的模糊投資組合模型

在投資市場，投資者要付出各種交易費用是指，投資者在委托買賣證券時應支付的各種稅收和費用的總和，以中國為例，通常包括印花稅、傭金、過戶費、其他費用等幾個方面的內(nèi)容.（1）印花稅.印花稅是根據(jù)國家稅法規(guī)定，在股票（包括A股和B股）成交后對買賣雙方投資者按照規(guī)定的稅率分別征收的稅金.（2）傭金.傭金是指投資者在委托買賣證券成交之后按成交金額的一定比例支付給券商的費用.（3）過戶費.過戶費是指投資者委托買賣的股票、基金成交后買賣雙方為變更股權登記所支付的費用.（4）其他費用.其他費用是指投資者在委托買賣證券時，向證券營業(yè)部繳納的委托費（通訊費）、撤單費、查詢費、開戶費、磁卡費以及電話委托、自助委托的刷卡費、超時費等.

由此可見，證券的交易費用除了一部分與證券的交易量有關外，還有一部分與證券的交易量無關，假設無關部分的費用總量為xn＋1.

假設證券投資者初期所擁有的風險資產(chǎn)為x0＝（，x，...，x），經(jīng)過一段投資期后，所擁有的風險資產(chǎn)變?yōu)閤＝（x1，x2，...，xn）.假設u＝（u1，u2，...，un）為投資的上限，并其限制賣空.假設證券投資交易費用中與交易額有關部分的交易費用與交易額成正比，設比例系數(shù)為k，則總的交易費用為k（x）＝

假設投資者投資的總量為M，ri＝，］表示資產(chǎn)i的預期回報額，Ri表示資產(chǎn)i的隨機回報率，則絕對偏差風險函數(shù)為

用li＝［，］表示資產(chǎn)i的流動性值，turni表示資產(chǎn)i的換手率.l0表示投資者給出的流動性的值的要求.由資產(chǎn)的流動性可得到xili≤l0，li＝｜ri｜／turni.那么，帶固定交易費用的平均絕對模糊投資組合模型為

對投資者而言，投資者目的是要求賺錢，故對所投資的股票而言，如果對它的未來收益估計是負面的狀態(tài)，也就是說對股票而言，投資者預期在持有某支股票的期間內(nèi)，股票的價格是下跌的，則投資者不會持有這支股票，會將它拋售.所以，對模糊的投資組合而言，股票未來收益額ri的區(qū)間［，］中的，，根據(jù)投資者的要求可得｜｜＜.

由于模型（6）是一個線性的模型，因此可以用求解線性規(guī)劃的軟件包Lindo或是用Matlab對其求解，得到投資者滿意的投資策略.

4 結(jié)語

根據(jù)模糊規(guī)劃，基于絕對偏差風險函數(shù)，建立了全新的帶固定交易費用的模型.在模型中，引入正態(tài)隸屬函數(shù)和漲跌停板聯(lián)合來估計未來的回報額，這種方法能夠更加客觀反應對未來回報額的估計.引入新的流動性定義方法，使其能夠更加直接體現(xiàn)資產(chǎn)在投資中的流動方便性.對于風險偏好因子，不再簡單地用λ（λ∈［0，1］）來估計，而是用賭博當量法來評估投資者的風險偏好，這樣符合人們的客觀感覺.

對金融市場的摩擦因素，只考慮了帶固定交易費用的情況，但是在實際的教育市場中，還存在許多大量的因素，如可變交易費用、買賣價差等，這些不同的因素會影響投資者的投資者策略.在估計投資者的回報額時，應盡管考慮得比較全面，但也有些缺陷，如人們的心理因素變化——羊群效應，單個投資者總是根據(jù)其他同類投資者的行動而行動，在他人買入時買入，在他人賣出時賣出.此外，實際的投資過程是一個動態(tài)的投資過程，筆者考慮的只是單階段（靜態(tài)）投資過程，如何將其推廣到動態(tài)的情形，另外在股市中，投資的股票數(shù)量只能是十或百的整數(shù)倍，筆者沒有考慮此種情形，這些問題都值得研究.

［1］ MARKOWITZ H.Portfolio Selection［J］.The Journal of Finance，1952，7（1）：77－99.

［2］ MODIGLIANI F，MILLER H M.The Cost of Capital，Corporationb Finance and the Theory of Investment［J］.American Economic Review，1958，48：261－297.

［3］ KONNO H，YAMAZAKI H.Mean-Absolute Deviation Porfolio Optimization Model Its Applications to Tokyo Stock Market［J］.Managenment Science，1991，37：519－529.

［4］ KONNO H.Portfolio Optimization Using L1Risk Function IHSS Report 88-9，Institue of Human and Social Sciences［M］.Tokyo：Tokyo Institute of Technologe，1988.

［5］ TEO K L，YANG X Q.Portfolio Selection Problem with Minimax Type Risk Function［J］.Annals of Operations Research，2001，101：333－349.

［6］ CAI X Q，TEO K L，YANG X Q，et al.Portfolio Optimization Under a Minimax Rule［J］.Managenment Science，2000，46：957－972.

［7］ LI K K，WANG S Y，XU J P，et al.A Class of Linear Interval Programming Problems and Its Application to Portfllio Selection［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2002，10：698－703.

［8］ ZHANG Wei-guo，ZHANG Xi-li，XIAO Wei-lin.Portfolio Selectionunder Possibilistic Mean-Variance Utility and a SMO Alforithm［J］.European Journal Operational Research，2009，197：693－700.

［9］ LIU Shang-tai.The Mean-Absolute Deviation Portfolio Selection Problem with Interval-Valued Returns［J］.Tournal of Computational and Applied Mathematics，2011，235：4 149－4 157.

［10］ CARLSSON C，F(xiàn)ULLéR R，MAJILENDER P.On Possibilistic Mean Value and Variance of Fuzzy Numbers［J］.Fuzzy Sets and Systems，2000，115：315－326.

［11］ 張志鵬，楊朝軍.流動性與收益、收益波動的動態(tài)關系［J］.系統(tǒng)工程理論方法應用，2006，10（5）：393－398.

（責任編輯 向陽潔）

Fuzzy Portfolio with Fixed Transaction Costs

CHENG Yang－jin，YU Shuang，LUO Xiao-qin，YU Rui-hua
（School of Mathematics of Computational Science，Xiangtan University，Xiangtan 411105，Hunan China）

This paper，based on the interval planning method，studies the fuzzy portfolio selection model with fixed transaction costs.The model introduces the function of normal membership，and at the same time，considers the portfolio risk preference.The general portfolio risk preference method definition method is thus modified，which is more consistent with the interval programming，and taking into account the future rate of return，considers the actual situation factors-limit up and limit down.New liquidity definition method is introduced，and the previous defect brought out by turnover rate is overcome.

portfolio；interval planning；function of normal membership；limit up and limit down

O224

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.05.006

1007－2985（2013）05－0021－06

2013－01－07

國家自然科學基金資助項目（51075345）

成央金（1965－），男，湖南婁底人，湘潭大學數(shù)學與計算科學學院教授，主要從事最優(yōu)化理論與算法設計研究.