GM（1，1）模型和Verhulst模型的改進(jìn)及其應(yīng)用＊

肖嵐菁，劉紅良

（1.長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)，湖南長(zhǎng)沙 410129；2.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南湘潭 411105）

GM（1，1）模型和Verhulst模型的改進(jìn)及其應(yīng)用＊

肖嵐菁1，劉紅良2

（1.長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)，湖南長(zhǎng)沙 410129；2.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南湘潭 411105）

基于殘差修正對(duì)GM（1，1）模型和Verhulst模型進(jìn)行改進(jìn)，利用所改進(jìn)的模型分別對(duì)湖南省固定資產(chǎn)投資和水稻產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)測(cè).預(yù)測(cè)結(jié)果表明，改進(jìn)后的模型模擬精度明顯優(yōu)于原來(lái)模型模擬精度，改進(jìn)的方法分別更適合于固定資產(chǎn)投資和水稻產(chǎn)量的預(yù)測(cè).

回歸分析；灰色預(yù)測(cè)；GM（1，1）模型；Verhulst模型

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，現(xiàn)代科技的不斷進(jìn)步，人們?cè)絹?lái)越重視預(yù)測(cè)在生活中的應(yīng)用.目前，常用的預(yù)測(cè)模型包括回歸模型、指數(shù)平滑法、灰色GM（1，1）模型及Verhulst模型等［1－6］，這些模型各有優(yōu)勢(shì)，被廣泛應(yīng)用于國(guó)民經(jīng)濟(jì)、風(fēng)電功率、用電負(fù)荷及投資等許多科學(xué)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的預(yù)測(cè)中.但這些模型若單獨(dú)使用，則存在預(yù)測(cè)精度不高等缺點(diǎn).為此，筆者首先綜合使用這些模型，基于殘差修正來(lái)改進(jìn)GM（1，1）模型及Verhulst模型.

固定資產(chǎn)投資是建造和購(gòu)置固定資產(chǎn)的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，是社會(huì)固定資產(chǎn)再生產(chǎn)的主要手段，在整個(gè)社會(huì)投資中占據(jù)主導(dǎo)地位.因此，預(yù)測(cè)固定資產(chǎn)投資總額成為社會(huì)經(jīng)濟(jì)研究中的重要內(nèi)容.為了較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)湖南省2013年每個(gè)月份固定資產(chǎn)投資所需資金總額，有必要建立湖南省的固定資產(chǎn)投資模型.一個(gè)社會(huì)的固定資產(chǎn)投資往往受到許多因素的制約，而且這些因素之間又保持著錯(cuò)綜復(fù)雜的聯(lián)系，因此，運(yùn)用結(jié)構(gòu)性的因果模型分析和預(yù)測(cè)往往比較困難.

糧食產(chǎn)業(yè)作為農(nóng)業(yè)的重要組成部分，其意義不言而喻.自古以來(lái)，無(wú)糧則不穩(wěn)，糧食產(chǎn)量的高低，對(duì)穩(wěn)定中國(guó)安定團(tuán)結(jié)的政治局面、順利開(kāi)展中國(guó)社會(huì)主義現(xiàn)代化各項(xiàng)事業(yè)建設(shè)、構(gòu)建社會(huì)主義和諧社會(huì)等都有重要意義.同時(shí)，作為糧食安全保障的一個(gè)重要組成部分，糧食的產(chǎn)量安全是中國(guó)應(yīng)對(duì)國(guó)際糧食危機(jī)的重要舉措之一.因此，無(wú)論是對(duì)中國(guó)目前經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r的認(rèn)識(shí)，還是對(duì)未來(lái)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的預(yù)測(cè)，糧食問(wèn)題的研究都具有十分重要的意義，而合適的糧食預(yù)測(cè)方法就顯得非常重要.

首先研究湖南省水稻產(chǎn)量未來(lái)的走勢(shì).考慮到湖南省水稻產(chǎn)量呈“S”型序列，因此將基于殘差修正的Verhulst模型應(yīng)用于湖南省水稻產(chǎn)量的預(yù)測(cè)，這樣不僅保留了Verhulst模型［4］的優(yōu)勢(shì)和特點(diǎn)，而且比Verhulst模型具有更高的精度.

然后研究湖南省全社會(huì)固定資產(chǎn)投資額未來(lái)的走勢(shì).利用GM（1，1）模型對(duì)其預(yù)測(cè)，得到殘差序列，再對(duì)殘差序列進(jìn)行回歸分析，之后利用殘差預(yù)測(cè)結(jié)果修正GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)結(jié)果.殘差修正后的預(yù)測(cè)結(jié)果誤差顯著減少，更符合實(shí)際情況.

1 GM（1，1）模型的改進(jìn)

其中a，b為灰參數(shù).進(jìn)一步可得GM（1，1）模型（1）的參數(shù)序列a－＝a，

（b）T的最小二乘估計(jì)

對(duì)（4）式作一次累減還原計(jì)算，得到原始序列X0的GM（1，1）預(yù)測(cè)模型

這里：β0，β1，...，βp是p＋1個(gè)未知參數(shù)，稱(chēng)為回歸系數(shù)；x為解釋變量；x（t）為被解釋變量.

利用GM（1，1）模型預(yù)測(cè)模型（5）.用序列觀察值減去預(yù)測(cè)值，可得到殘差序列

然后以殘差序列ε0為觀測(cè)時(shí)間序列建立回歸分析模型，得到殘差序列的預(yù)測(cè)值ε－0（k），k＝1，2，...，從而基于回歸分析殘差修正的GM（1，1）模型模擬的還原值為

2 Verhulst模型的改進(jìn)

Verhulst模型是1837年德國(guó)生物學(xué)家Verhulst在研究生物繁殖規(guī)律時(shí)提出來(lái)的.其基本思想是，生物個(gè)體數(shù)量呈指數(shù)增長(zhǎng)，受周?chē)h(huán)境的限制，增長(zhǎng)速度逐漸放慢，最終穩(wěn)定在一個(gè)固定值.Verhulst模型主要用來(lái)描述具有飽和狀態(tài)的過(guò)程，即S形過(guò)程.GM（1，1）模型適用于具有較強(qiáng)指數(shù)規(guī)律的序列，只能描述單調(diào)的變化過(guò)程，對(duì)于非單調(diào)的擺動(dòng)發(fā)展序列或有飽和的“S”型序列，若采用該灰色模型則預(yù)測(cè)誤差較大，預(yù)測(cè)精度不滿足實(shí)際要求.

引入Verhulst模型［8］

通過(guò)類(lèi)似于獲得（3）式的過(guò)程，可得Verhulst模型（9）的參數(shù)序列＝（a，b ）T的最小二乘估計(jì)為＝（BTB）－1BTY，其中

進(jìn)一步，得到Verhulst模型的時(shí)間響應(yīng)式為

利用Verhulst模型預(yù)測(cè)，用序列觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值，可得到殘差序列

3 改進(jìn)的GM（1，1）模型模型在固定資產(chǎn)投資中的應(yīng)用

下面以湖南省2012年3—12月的固定資產(chǎn)投資額的實(shí)際序列與擬合序列的誤差精度分析，來(lái)比較GM（1，1）模型（1）和改進(jìn)GM（1，1）模型（8）的優(yōu)劣.表1示出湖南省2012年3—12月固定投資額實(shí)際數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來(lái)源于湖南統(tǒng)計(jì)信息網(wǎng).

表1 湖南省2012年3—12月固定投資額實(shí)際數(shù)據(jù)

首先利用GM（1，1）模型對(duì)湖南省固定資產(chǎn)投資額進(jìn)行預(yù)測(cè)，由（3）式得模型的系數(shù)＝利用（7）式得到殘差序列.然后對(duì)殘差序列進(jìn)行二次擬合，得到殘差序列的關(guān)系式為x＝72.25t2－556.92t＋520.02.進(jìn)一步，利用（8）式得到基于回歸分析殘差修正的GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)結(jié)果.GM（1，1）模型和修正的GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)結(jié)果及相對(duì)殘差如表2所示.表2結(jié)果表明，基于回歸分析殘差修正的GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)結(jié)果誤差更小，可靠性更高，更適合于固定資產(chǎn)投資的預(yù)測(cè).

表2 改進(jìn)模型與原模型計(jì)算結(jié)果比較

湖南省2013年1—6月的固定資產(chǎn)投資額預(yù)測(cè)如表3所示.表3結(jié)果表明，改進(jìn)后的模型預(yù)測(cè)湖南省固定資產(chǎn)投資趨勢(shì)將變緩，更適合于實(shí)際情況.

表3 預(yù)測(cè)湖南省2013年1—6月的固定資產(chǎn)投資額萬(wàn)元

4 改進(jìn)的Verhulst模型在水稻產(chǎn)量中的應(yīng)用

以湖南省水稻產(chǎn)量為例，該省2002—2009年水稻產(chǎn)量如表4所示，數(shù)據(jù)來(lái)源于湖南統(tǒng)計(jì)信息網(wǎng).由表4可知，其產(chǎn)量數(shù)據(jù)是呈“S”型增長(zhǎng)的［9］，故在不考慮外界環(huán)境因素對(duì)湖南省今后幾年經(jīng)濟(jì)作物發(fā)展影響的前提下，分別利用Verhulst模型和基于GM（1，1）模型殘差修正的Verhulst模型對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè).記（k），（k）和Δ（k）分別表示Verhulst模型的預(yù)測(cè)結(jié)果、絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差，（k），ε＊（k）和Δ＊（k）分別表示改進(jìn)Verhulst模型的預(yù)測(cè)結(jié)果、絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差，所得結(jié)果如表5所示.2個(gè)模型對(duì)湖南省水稻產(chǎn)量的預(yù)測(cè)趨勢(shì)如圖1所示.

表4 湖南省2002—2009年水稻產(chǎn)量值

表5 預(yù)測(cè)結(jié)果及誤差

由表5及圖1結(jié)果可知，基于GM（1，1）改進(jìn)的Verhulst模型模擬結(jié)果比Verhulst模型模擬結(jié)果更為精確，相對(duì)誤差更小，且平均相對(duì)誤差小于0.04，改進(jìn)的模型更適合對(duì)湖南省水稻產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)測(cè).

圖1 水稻產(chǎn)量預(yù)測(cè)趨勢(shì)

5 結(jié)語(yǔ)

固定資產(chǎn)和水稻產(chǎn)量由于受自然災(zāi)害、經(jīng)濟(jì)規(guī)律及政策等因素的影響而產(chǎn)生隨機(jī)波動(dòng)，波動(dòng)的周期、幅度和持續(xù)時(shí)間不是一致的，因此利用殘差修正能克服隨機(jī)因素帶來(lái)的不確定性.修正后的模型更適合于預(yù)測(cè)固定資產(chǎn)和水稻產(chǎn)量.

［1］ 郭廣猛.用GM（1，1）模型和Verhulst模型進(jìn)行建筑物沉降預(yù)測(cè)［J］.巖土工程界，2000，3（10）：33－37.

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（責(zé)任編輯 向陽(yáng)潔）

Improved GM（1，1）Model and Verhulst Model with Their Applications

XIAO Lan-jing1，LIU Hong-liang2
（1.Nanya Middle School of Changsha，Changsha 410129，China；2.School of Mathematics and Computational Science，Xiangtan University，Xiangtan 411105，Hunan China）

The GM（1，1）model and Verhulst model are improved based on residual modification.These improved models are used to predict investment of fixed assets and rice production in Hunan province.The predicting results show that the improved models are better than the previous models and more suitable to predict the investment of fixed assets and rice production.

regression analysis；gray forecast；GM（1，1）model；Verhulst model

O212

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.05.005

1007－2985（2013）05－0016－05

2013－06－20

湖南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目（11C1220）

劉紅良（1979－），男，湖南湘鄉(xiāng)人，湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院副教授，博士，主要從事微分方程數(shù)值方法及數(shù)學(xué)建模研究.