一類聲子晶體角梁的振動(dòng)帶隙研究

舒海生，高恩武，張 法，李世丹，董立強(qiáng)

(哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院702所，哈爾濱 150001)

聲子晶體通過(guò)周期性地改變材料參數(shù)和(或)結(jié)構(gòu)型式，能夠產(chǎn)生不同中心頻率和帶寬的彈性波帶隙(stop band)，在新型聲學(xué)器械、精密機(jī)械手、高精度穩(wěn)定平臺(tái)等減振降噪領(lǐng)域具有潛在的工程應(yīng)用價(jià)值?，F(xiàn)有的聲子晶體研究主要集中在帶隙形成機(jī)理分析和帶隙計(jì)算方法探索等［1-7］領(lǐng)域，而實(shí)際應(yīng)用研究［8-9］則較為少見(jiàn)。所針對(duì)的研究對(duì)象基本上是單一構(gòu)型的聲子晶體，例如一維聲子晶體桿、梁、軸［7，9-12］，以及二維聲子晶體格柵和板等［5-6］，而對(duì)實(shí)際應(yīng)用中常見(jiàn)的各種組合形式的結(jié)構(gòu)件卻鮮見(jiàn)分析。一般而言，彎曲振動(dòng)帶隙中心頻率較低，縱向振動(dòng)帶隙中心頻率較高，二者往往不在同一頻段，使用任何一種單一構(gòu)型的結(jié)構(gòu)(例如一維聲子晶體直梁)一般只利用了其彎曲帶隙或縱向帶隙，振動(dòng)衰減頻帶較窄，不僅如此，由于彎曲(縱向)帶隙一般只能對(duì)彎曲(縱向)激勵(lì)才能發(fā)揮抑制作用，對(duì)于擾頻位于縱向(彎曲)帶隙內(nèi)的彎曲(縱向)激勵(lì)這類簡(jiǎn)單構(gòu)型的聲子晶體則無(wú)能為力了，因而存在減振維度低的局限性。實(shí)際振源情況往往是多維的，縱向激擾和彎曲激擾經(jīng)常同時(shí)存在，因而直梁結(jié)構(gòu)便不能很好地滿足多維減振需求。為此，本文給出了一類聲子晶體角梁結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)由兩根聲子晶體梁以某一角度通過(guò)扭簧聯(lián)接而成。一方面這種結(jié)構(gòu)能夠在組成梁之間實(shí)現(xiàn)彎曲振動(dòng)和縱向振動(dòng)的轉(zhuǎn)化，使得彎曲帶隙可以被用于控制縱向激擾，縱向帶隙也可以被用于抑制彎曲激擾，從而獲得了寬頻多維減振性能。另一方面，通過(guò)引入扭簧有效地加強(qiáng)了組成梁之間的“彈簧-振子”效應(yīng)，在增加了總體振動(dòng)帶隙的寬度和衰減量的同時(shí)，還提高了低頻減振能力，從而使得聲子晶體角梁的減振頻帶得到進(jìn)一步拓寬。

1 聲子晶體角梁振動(dòng)理論分析

圖1給出了聲子晶體角梁的結(jié)構(gòu)示意圖，下梁(梁Ⅰ)和上梁(梁Ⅱ)通過(guò)扭簧連接，兩梁之間的初始夾角可以變動(dòng)，設(shè)為θ(0＜θ＜180°)，梁Ⅰ末端的加載角為α(0≤α≤90°)。上下兩梁材料分布和周期結(jié)構(gòu)尺寸完全相同。聲子晶體角梁是一種特殊類型的曲梁，其振動(dòng)可解耦為角梁平面內(nèi)振動(dòng)和垂直于角梁平面的面外振動(dòng)。本文主要研究面內(nèi)振動(dòng)，重點(diǎn)考察聲子晶體角梁的面內(nèi)二維寬頻減振性能。

圖1 聲子晶體角梁結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Angle-type beam of PCs

面內(nèi)振動(dòng)又可以分為彎曲振動(dòng)和縱向振動(dòng)兩部分，對(duì)于每一段梁來(lái)說(shuō)，如梁Ⅰ或者梁Ⅱ，面內(nèi)彎曲振動(dòng)和面內(nèi)縱向振動(dòng)是解耦的，而對(duì)于整個(gè)角梁來(lái)說(shuō)，由于在梁Ⅰ，梁Ⅱ結(jié)合處存在彎曲振動(dòng)和縱向振動(dòng)之間的相互轉(zhuǎn)化，從而將使得聲子晶體角梁的總振動(dòng)表現(xiàn)出耦合特性。

當(dāng)彎曲波或縱波在單獨(dú)的梁Ⅰ或梁Ⅱ中傳播時(shí)，不同周期間的傳遞關(guān)系可寫(xiě)為:

不妨設(shè)在結(jié)合處梁Ⅰ為第n周期，梁Ⅱ?yàn)榈?周期。根據(jù)結(jié)合處梁Ⅰ和梁Ⅱ的位移、應(yīng)力、轉(zhuǎn)角和彎矩等協(xié)調(diào)條件，有:

其中:K為扭轉(zhuǎn)彈簧的扭轉(zhuǎn)剛度，θ為梁Ⅰ與梁Ⅱ的夾角;為梁Ⅰ在X=na處Y向位移，為梁Ⅱ在X=0處Y向位移;為梁Ⅰ在X=na處X向位移，為梁Ⅱ在X=0處X向位移;為梁Ⅰ在X=na處的彎矩為梁Ⅱ在X=0處的彎矩;為梁Ⅰ在X=na處的彎角為梁Ⅱ在X=0處的彎角;為梁Ⅰ在X=na處的法向力，為梁Ⅱ在X=0處的法向力;為梁Ⅰ在X=na處的剪力，為梁Ⅱ在X=0處的剪力，即:

式(9)～(14)可進(jìn)一步寫(xiě)成矩陣形式:

限于篇幅，此處不再列出K0和H0。

由式(1)、(2)、(15)可推得:

其中:

式(17)即為由梁Ⅰ遠(yuǎn)端傳入的彎曲波和縱波在角梁中向梁Ⅱ遠(yuǎn)端傳播的傳遞矩陣，可以看出，總傳遞特性不僅取決于周期結(jié)構(gòu)單梁本身的傳遞矩陣Ta1、Tb1的共同作用，從而使得彎曲帶隙和縱向帶隙的作用同時(shí)發(fā)揮成為可能，同時(shí)還要受到角梁結(jié)合處耦合作用的影響，例如夾角θ和扭簧剛度K等參數(shù)的作用，進(jìn)而使得整個(gè)角梁又將呈現(xiàn)出一些新的特征。

2 聲子晶體角梁的數(shù)值分析

根據(jù)傳遞矩陣法分析結(jié)果，采用MATLAB7.1軟件進(jìn)行了數(shù)值求解。各參數(shù)設(shè)置如下:取梁Ⅰ、梁Ⅱ均為三周期，截面直徑D=0.015 m，a1=0.15 m，a=0.3 m，K=1 N·m/(°)。鋁的材料參數(shù)為:密度 2 799 kgm-3，彈性模量 7.21e10 Pa，泊松比 0.345 1;有機(jī)玻璃參數(shù)為:密度1 062 kgm-3，彈性模量 0.32e10 Pa，泊松比0.333 3。加載的位移幅值u0=0.001 m，加載角分別取 α =0°，α =90°，角梁夾角分別取 45°，90°，135°。六種情況的數(shù)值分析結(jié)果如圖2，圖3，圖4所示。

圖2 夾角90°扭轉(zhuǎn)剛度1N·m/(°)的聲子晶體角梁振動(dòng)傳遞率曲線Fig.2 Vibration transmissibility of right-angle type beam with 1 N·m/(°)the torsional rigidity

如圖2所示，對(duì)于夾角為90°的聲子晶體角梁，當(dāng)加載角為0°，在0～8 000 Hz范圍內(nèi)形成了420～1 020 Hz，1 220 ～1 620 Hz，2 020 ～5 620 Hz，6 420 ～8 000 Hz四個(gè)帶隙，在低頻范圍內(nèi)衰減幅值也能達(dá)到-20 dB;當(dāng)加載角為90°時(shí)，在0～8 000范圍內(nèi)形成220～620 Hz，3 220 ～5 620 Hz，6 000 ～8 000 Hz四個(gè)較大的帶隙。類似地，對(duì)于45°夾角角梁，當(dāng)加載角為0°，形成了2 000～5 500 Hz，6 200～8 000 Hz的帶隙，當(dāng)加載角為90°時(shí)形500 ～1 000 Hz，1 200～1 800 Hz，4 000 ～5 200 Hz，6 000～7 000 Hz四個(gè)帶隙，如圖3所示。對(duì)于135°夾角角梁，當(dāng)加載角為0°，形成了2 000～5200 Hz，6 500～8 000 Hz兩個(gè)帶隙，當(dāng)外在激擾的加載角為90°時(shí)形成500～1 000 Hz，1 200～2 200 Hz，4 000～5 300 Hz，6 000～6 800 Hz四個(gè)帶隙，如圖4所示。圖2～4均表明了聲子晶體角梁能夠有效地抑制面內(nèi)各種不同方向的外部激擾，因而具有良好的寬頻多維減振能力。比較而言，90°夾角的聲子晶體角梁的總體減振性能要優(yōu)于其他兩種角梁形式。

圖3 夾角45°扭轉(zhuǎn)剛度1 N·m/(°)的聲子晶體角梁振動(dòng)傳遞率曲線Fig.3 Vibration transmissibility of 45-angle type beam with 1 N·m/(°)the torsional rigidity

圖4 夾角135°扭轉(zhuǎn)剛度1 N·m/(°)的聲子晶體角梁振動(dòng)傳遞率曲線Fig.4 Vibration transmissibility of 135-angle type beam with 1 N·m/(°)of the torsional rigidity

圖5 單梁彎曲振動(dòng)和縱向振動(dòng)傳遞率曲線對(duì)比Fig.5 Comparison of transverse longitudinal vibration transmissibility of straight beam of phononic crystals

3 聲子晶體角梁有限元仿真驗(yàn)證

3.1 聲子晶體直梁的有限元振動(dòng)分析

為了便于理解聲子晶體角梁的振動(dòng)帶隙特性，首先對(duì)3周期的聲子晶體直梁進(jìn)行了有限元仿真計(jì)算。參數(shù)設(shè)置如下:

(1)材料及結(jié)構(gòu)參數(shù):與前同。

(2)網(wǎng)格劃分:自由網(wǎng)格，單元類型solid186，節(jié)點(diǎn)數(shù)6 375，單元數(shù)1 340。

(3)加載:對(duì)于縱向振動(dòng)，施加縱向位移簡(jiǎn)諧激勵(lì);對(duì)于彎曲振動(dòng)，施加橫向位移簡(jiǎn)諧激勵(lì)。位移幅值均為0.001 m，激振頻率為0～10 kHz。

(4)分析設(shè)置:諧響應(yīng)分析，F(xiàn)ull算法。

直梁彎曲振動(dòng)和縱向振動(dòng)的傳遞率曲線如圖5所示。彎曲振動(dòng)有5個(gè)帶隙，分別為:420～920 Hz，1 320～1 920 Hz，3 700 ～4 520 Hz，5 320 ～6 220 Hz，8 920 ～10 000 Hz;縱向振動(dòng)有2個(gè)帶隙，分別為2 020～5 620 Hz，6 420～10 000 Hz。彎曲振動(dòng)在縱向帶隙頻帶內(nèi)存在13 個(gè)傳輸共振峰:2 200 Hz，2 560 Hz，2 940 Hz，3 300 Hz，3 620 Hz，4 620 Hz，4 940 Hz，5 280 Hz，6 780 Hz，7 320 Hz，7 840 Hz，8 400 Hz，8 880 Hz，而縱向振動(dòng)在彎曲帶隙內(nèi)也存在2個(gè)傳輸峰:5 660 Hz，6 000 Hz。顯然，除了在二者有限的重合頻帶，聲子晶體直梁并不能實(shí)現(xiàn)面內(nèi)二維寬頻減振。

3.2 聲子晶體角梁的振動(dòng)有限元分析

為便于對(duì)比分析，首先針對(duì)不帶扭簧(直接固聯(lián))的單質(zhì)鋁和單質(zhì)有機(jī)玻璃角梁進(jìn)行了分析，結(jié)果如圖6(a)所示，顯然在0～8 000 Hz范圍內(nèi)基本上沒(méi)有振動(dòng)帶隙，減振性能很差;其次考察了采用扭簧聯(lián)接的單質(zhì)角梁，圖6(b)表明在單質(zhì)鋁角梁，單質(zhì)有機(jī)玻璃角梁中引入扭簧后，表現(xiàn)出了一些有益的減振性能，這種減振性能主要來(lái)源于扭轉(zhuǎn)彈簧、梁Ⅰ和梁Ⅱ之間形成了類似于“彈簧～振子”效應(yīng)的減振結(jié)構(gòu)，這種效應(yīng)在低頻段效果尤為明顯，圖6(c)給出了500 Hz以下固聯(lián)和扭簧聯(lián)接的組合桿減振性能對(duì)比，不難看出后者的低頻減振效果有了明顯增強(qiáng)，這與數(shù)值計(jì)算結(jié)果也是基本吻合的，事實(shí)上，由于扭簧引入后降低了系統(tǒng)總剛度，根據(jù)眾所周知的“彈簧～振子”振動(dòng)模型，低頻減振性能的提高也是顯然的。最后我們進(jìn)一步分析了不帶扭簧和帶扭簧的兩種聲子晶體角梁情況，對(duì)比結(jié)果如圖6(d)所示，顯然，無(wú)論是帶隙寬度還是衰減量，采用扭簧聯(lián)接的聲子晶體角梁都要優(yōu)于直接固聯(lián)的聲子晶體角梁。為此，下面只重點(diǎn)考察扭簧聯(lián)接的聲子晶體角梁的振動(dòng)帶隙。

仿真中分別針對(duì)三種不同夾角(θ)，四種不同扭轉(zhuǎn)剛度(K)的聲子晶體角梁做了計(jì)算，其中，θ分別為45°，90°，135°;K分別為 0.1，1，10，100 N·m/°。各參數(shù)設(shè)置如下:

(1)材料參數(shù):與前同。

(2)網(wǎng)格劃分:自由網(wǎng)格劃分，單元類型solid186，節(jié)點(diǎn)數(shù)10 241，單元數(shù)2 532。

(3)載荷施加:面內(nèi)簡(jiǎn)諧位移激勵(lì)，幅值0.001 m，激振頻率 0 ～8 000 Hz，加載角度分別取0°、45°和90°。

(4)分析設(shè)置:諧響應(yīng)分析，F(xiàn)ull算法。

圖6 各種角梁的振動(dòng)傳遞率曲線對(duì)比Fig.6 Comparison of vibration transmissibility of several kinds of type beam

圖7給出了90°夾角的聲子晶體角梁在不同扭轉(zhuǎn)剛度和加載角情況下的傳遞率曲線對(duì)比。圖7(a)表明，當(dāng)扭簧剛度從0.1逐漸增加到100時(shí)，低頻區(qū)衰減量有所減小，中高頻區(qū)的帶隙衰減量明顯減弱，但中低頻區(qū)的帶隙衰減基本不變。圖7(b)表明，當(dāng)加載角由0°增加到90°時(shí)，彎曲帶隙內(nèi)衰減量增大，而縱向帶隙內(nèi)衰減量減小，顯示出彎曲振動(dòng)成分開(kāi)始替代縱向振動(dòng)在角梁中占據(jù)了主導(dǎo)地位;在彎曲帶隙和縱向帶隙重合的部分(3 620 Hz～4 530 Hz)情況比較復(fù)雜，規(guī)律不明顯;此外，當(dāng)加載角從0°向90°增加時(shí)，由于兩種振動(dòng)成分的此消彼長(zhǎng)，使得在縱向帶隙中的彎曲波共振峰(2 200 Hz，2 560 Hz，2 940 Hz，3 300 Hz，3 620 Hz，4 620 Hz，4 940 Hz，5 280 Hz，6 780 Hz，7 320 Hz，7 840 Hz)的影響越來(lái)越顯著，進(jìn)而導(dǎo)致當(dāng)加載角度趨于90°時(shí)這些峰附近的減振效果被明顯削弱，反之，當(dāng)加載角趨于0時(shí)，彎曲帶隙中的縱波共振峰(5 660 Hz，6 000 Hz)的影響也會(huì)得到加強(qiáng)?？傮w而言，無(wú)論是何種加載角度，聲子晶體角梁在彎曲帶隙和縱向帶隙兩種帶隙范圍內(nèi)均表現(xiàn)出了較好的減振能力，同時(shí)也表明了該結(jié)構(gòu)在面內(nèi)能夠?qū)崿F(xiàn)二維減振，從而顯著優(yōu)于傳統(tǒng)的聲子晶體直梁的一維、單帶隙的減振性能。不僅如此，由于梁Ⅰ，梁Ⅱ之間形成了類似于“懸臂梁-振子”的結(jié)構(gòu)，特別是引入扭簧后這種效應(yīng)更加明顯，進(jìn)而使得低頻區(qū)也表現(xiàn)出了較好的減振效果，例如在220～900 Hz范圍內(nèi)形成可達(dá)-40 dB的振動(dòng)衰減。

圖7 夾角為90°的聲子晶體角梁在不同扭轉(zhuǎn)剛度和不同加載角情況下的傳遞率曲線對(duì)比Fig.7 Vibration transmissibility of right-angle type beam with the different torsional rigidityand loading angle

圖8 夾角45°的聲子晶體角梁在不同扭轉(zhuǎn)剛度和不同加載角情況下的傳遞率曲線對(duì)比Fig.8 Comparison of vibration transmissibility of 45-angle type beam with the different torsional rigidity and loading angle

夾角45°的聲子晶體角梁仿真結(jié)果如圖8所示。圖8(a)表明對(duì)于夾角45°聲子晶體角梁，隨著扭轉(zhuǎn)剛度從0.1～100 N·m/(°)的逐漸增大，在0～2 000 Hz范圍內(nèi)，減振性能基本相同，在2 000～8 000 Hz范圍內(nèi)隨著扭轉(zhuǎn)剛度的增加減振性能逐漸減小，這一規(guī)律與90°夾角情況是一致的。類似地，圖8(b)也表明，當(dāng)加載角度不同時(shí)，在彎曲帶隙和縱向帶隙范圍內(nèi)仍然具有一定的減振能力，并且隨著加載角的增加，彎曲帶隙內(nèi)的減振性能也逐漸增強(qiáng)，而縱向帶隙內(nèi)則減弱?？傮w來(lái)說(shuō)，45°的聲子晶體角梁也具有明顯的二維減振性能。

夾角為135°的聲子晶體角梁仿真結(jié)果如圖9所示，通過(guò)對(duì)比不難發(fā)現(xiàn)類似的規(guī)律，此處不再贅述。

圖 10 將45°，90°，135°三種夾角類型的聲子晶體角梁進(jìn)行了對(duì)比。圖10(a)表明當(dāng)加載角為0°時(shí)，在彎曲帶隙范圍內(nèi)，夾角為90°的聲子晶體角梁的減振性能明顯要優(yōu)于45°和135°的聲子晶體角梁，在縱向帶隙范圍內(nèi)，則稍弱一些，在彎曲帶隙和縱向帶隙的重合部分(3 620 Hz～4 530 Hz)差別不明顯。圖10(b)表明當(dāng)加載角為90°時(shí)，在彎曲帶隙和縱向帶隙，夾角為90°的聲子晶體角梁減振性能均要明顯優(yōu)于45°和135°聲子晶體角梁。

將有限元仿真結(jié)果與前面的數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較可以發(fā)現(xiàn)，盡管由于分析模型有一定差別(例如有限元模型在結(jié)合處引入了一根柱銷來(lái)模擬轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié))，進(jìn)而導(dǎo)致存在一些偏離之處(例如一些共振峰的位置)，但二者所表現(xiàn)出的現(xiàn)象和規(guī)律是基本一致的，有限元結(jié)果能夠驗(yàn)證理論分析結(jié)果。

圖9 夾角135°的聲子晶體角梁在不同扭轉(zhuǎn)剛度和不同加載角情況下的傳遞率曲線對(duì)比Fig.9 Comparison of vibration transmissibility of 135-angle type beam with the different torsional rigidity and loading angle

圖10 三種聲子晶體角梁在扭轉(zhuǎn)剛度為1 N.m/(°)的振動(dòng)傳遞率曲線對(duì)比Fig.10 comparison of vibration transmissibility of three kinds of angle type beam with 1N.m/(°)of the torsional rigidity

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)聲子晶體角梁的理論分析，數(shù)值計(jì)算和有限元分析，得出了一些有益的結(jié)論:

(1)聲子晶體角梁可以通過(guò)彎曲振動(dòng)和縱向振動(dòng)的轉(zhuǎn)化，使得彎曲帶隙可以被用于控制縱向激擾，縱向帶隙也可以被用于抑制彎曲激擾，從而獲得了寬頻多維減振性能;

(2)通過(guò)引入扭簧聯(lián)接能夠有效地加強(qiáng)組成梁之間的“彈簧-振子”效應(yīng)，不僅可以增加總體振動(dòng)帶隙的寬度和衰減量，而且提高了低頻減振能力，從而使得聲子晶體角梁的減振頻帶得到了進(jìn)一步拓寬。隨著扭簧剛度的增加，低頻區(qū)和中高頻帶隙內(nèi)的衰減量逐漸減弱，但中低頻帶隙內(nèi)的衰減基本不變;

(3)聲子晶體角梁的構(gòu)造角度對(duì)其減振性能有明顯的影響，傳遞率對(duì)比結(jié)果表明90°角梁減振能力明顯優(yōu)于45°和135°情況，因此在實(shí)際的工程運(yùn)用中應(yīng)盡量采用這種結(jié)構(gòu)來(lái)提高減振性能;

(4)加載角對(duì)聲子晶體角梁減振性能也有較大的影響。當(dāng)外部激擾的加載角從0°向90°逐漸增加時(shí)，角梁內(nèi)的振動(dòng)由縱向振動(dòng)占主導(dǎo)地位逐漸過(guò)渡為彎曲振動(dòng)占主導(dǎo)地位，彎曲帶隙內(nèi)的衰減也隨之更加顯著，反之亦然，因此應(yīng)根據(jù)實(shí)際振源特點(diǎn)(如頻段和主要方向)來(lái)選擇合適的安裝位置以獲得最佳的綜合減振效果，例如可以采用最優(yōu)化方法來(lái)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

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