基于真實(shí)能量衰減方程的水面特效模擬

莊甘霖，陳秀宏

（江南大學(xué) 數(shù)字媒體學(xué)院，江蘇 無(wú)錫214122）

0 引 言

水面是現(xiàn)實(shí)世界里最常見的一種自然景觀，也是必不可少的組成部分，真實(shí)水面的模擬對(duì)于增加虛擬自然環(huán)境的沉浸感可以起到非常重要的作用。水面模擬在游戲、影視、虛擬現(xiàn)實(shí)各領(lǐng)域中有著廣泛的用途。作為自然景物模擬的重要內(nèi)容，對(duì)流體、水面的模擬正日益引起人們的關(guān)注。從科學(xué)的角度來(lái)看，自然景物的真實(shí)感以及建模與繪制的實(shí)時(shí)性是其難點(diǎn)所在。由于水的形狀是動(dòng)態(tài)的、不固定的，且極不規(guī)則，因此不能用靜態(tài)的幾何多邊形來(lái)表示；并且水面的光影效果取決于各種光線的反射和折射，它們的比例會(huì)根據(jù)視點(diǎn)位置的不同而不同，因此找到一種合適的模型來(lái)模擬真實(shí)效果并不容易。由于人們對(duì)視覺(jué)體驗(yàn)的要求不斷提高，在實(shí)現(xiàn)大規(guī)模、高精度、絢麗特效的同時(shí)，高負(fù)荷的計(jì)算帶來(lái)的時(shí)間與資源的消耗又對(duì)實(shí)時(shí)性提出了嚴(yán)峻的考驗(yàn)。近年來(lái)，基于波形分析的水面特效模擬在真實(shí)性與實(shí)時(shí)性上找到了一個(gè)不錯(cuò)的平衡點(diǎn)，得到了廣泛的研究與應(yīng)用。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，Max在1981年提出把整個(gè)水面作為高度場(chǎng)，通過(guò)正弦函數(shù)來(lái)模擬水面。在Max方法的啟發(fā)下，越來(lái)越多的人開始研究將水波曲面作為一個(gè)參數(shù)曲面來(lái)處理，然后用波形函數(shù)來(lái)描述水波的外觀形狀和運(yùn)動(dòng)效果。Peachey在此基礎(chǔ)上，使用了平面波方程，通過(guò)改變參數(shù)得到不同的水面效果。1986年Fournier和Reeves在波形函數(shù)中首次采用了Gerstner波函數(shù)。這種方法很好的解決了把波形作為高度場(chǎng)時(shí)，不能很好的表現(xiàn)激烈的水面環(huán)境的不足，使得算法的適用環(huán)境更加廣泛。Perlin在文中還特別提到了模型的實(shí)際效果比它的物理意義更為重要。2001年，Tessendorf又對(duì)Gerstner波中的參數(shù)和疊加規(guī)律進(jìn)行了深入的研究。童若鋒借鑒了Peachey的算法，將水網(wǎng)格進(jìn)行更進(jìn)一步的細(xì)分，同時(shí)通過(guò)對(duì)水面網(wǎng)格的擾動(dòng)操作，來(lái)產(chǎn)生逼真的水面微觀效果，并且很好的解決了水面模擬不夠光滑的問(wèn)題。國(guó)內(nèi)對(duì)于基于Gerstner波模擬海浪有著廣泛的研究［1－3］。王海玲等［4］在2011年利用改進(jìn)的曲面熵算法對(duì)水面進(jìn)行動(dòng)態(tài)分區(qū)，對(duì)不同區(qū)域施加不同程度的水面擾動(dòng)，通過(guò)修正紋理映射位移的方法提高水面質(zhì)感。對(duì)于水波模擬中GPU技術(shù)的應(yīng)用，文［5－7］也各自做出了不錯(cuò)的效果。在能量衰減方面，陳和平等在2005年在算法中考慮增加了水波衰減效應(yīng)的模擬功能，方法是將每次計(jì)算出的新振幅按一定的衰減率減小，因移位運(yùn)算具有快捷性，衰減率選取1／16或1／32等。劉潔［8］等在模擬海浪時(shí)使用了線性衰減，波的振幅隨著時(shí)間的變化衰減至0。黃玲［9］等則根據(jù)波浪理論使用了風(fēng)速影響下的振幅A＝4.416＊10－3v2.5。2010年，侯學(xué)隆［10］等研究了基于方向譜的海浪合成方法，其中也根據(jù)波浪理論使用頻譜得到了單元波振幅的變化。

以往的常見水體特效模擬中，往往對(duì)振幅采取線性衰減或者無(wú)衰減。線性與指數(shù)的衰減是憑經(jīng)驗(yàn)、或者是適應(yīng)計(jì)算來(lái)構(gòu)造衰減方程，雖然渲染速度較快但是衰減不真實(shí)，并不能展現(xiàn)水波傳播過(guò)程中真實(shí)的能量變化?；诓ɡ死碚摰恼穹兓匠屉m然有真實(shí)的數(shù)據(jù)指導(dǎo)，但其計(jì)算方法過(guò)于復(fù)雜，使得渲染速度下降，再者它來(lái)源于波浪，模擬常見水體時(shí)很難得到適當(dāng)?shù)牟▌?dòng)效果。本文提出了一種基于Gerstner波模型的水面特效模擬方法。首先融入統(tǒng)計(jì)思想，針對(duì)單一Gerstner波波形變化較少的問(wèn)題，采用三個(gè)Gerstner波進(jìn)行疊加，尋找不同環(huán)境下合適的疊加方式；然后通過(guò)對(duì)水面真實(shí)波動(dòng)過(guò)程的研究，得到水波傳遞時(shí)能量衰減的物理模型，引入能量衰減因子α，建立嶄新的振幅隨時(shí)間衰減的方程，將方程代入Gerstner波函數(shù)，使用新的模型來(lái)模擬水波；最后，引入反射率與透明度，對(duì)不同的環(huán)境與水體通過(guò)立方環(huán)境映射等技術(shù)，得到更好的光影效果，呈現(xiàn)出更真實(shí)的水面特效。

1 Gerstner波

捷克科學(xué)家Jozef Gerstner在1802年首次提出了精確描述任意幅度水波的模型，該模型描述了在水深比波長(zhǎng)大的情況下表面波的擺線運(yùn)動(dòng)。模型中的偏移量由下列方程決定

公式中X0＝（x0，y0）是不受干擾的表面上的點(diǎn)，A是振幅，K是波矢，它是一個(gè)水平向量，方向?yàn)樗▊鞑サ姆较?，k是其大小，其取值與水波的波長(zhǎng)有關(guān)

ω為水波的頻率，取值將在之后討論。

1986年，F(xiàn)ournier和Reeves將Gerstner波引入了計(jì)算機(jī)圖形學(xué)，使用這個(gè)模型模擬水面上獨(dú)立波動(dòng)的點(diǎn)

式中：X ＝ （xt－1，yt－1）——該點(diǎn)上一時(shí)刻的水平面坐標(biāo)值，Dx與Dy——單位波動(dòng)向量K／k在x、y方向上的大小。當(dāng)kA＜1時(shí)，波的形態(tài)是正常的，并且當(dāng)kA越接近于1時(shí)，波峰更尖，波谷更平緩；當(dāng)kA＞1時(shí)，在波峰上將會(huì)形成環(huán)，水波內(nèi)部將會(huì)展示出來(lái)，達(dá)不到預(yù)期的真實(shí)效果。如圖1所示。

圖1 兩個(gè)不同kA的Gerstner波

因此通過(guò)選取不同的振幅與波長(zhǎng)可以得到尖銳程度不同的波形。

Gerstner波的波動(dòng)特性有很大一部分取決于它的頻率ω，根據(jù)流體動(dòng)力學(xué)知識(shí)，波在水深為D的水體中傳播時(shí)

當(dāng)水體的深度與水波波長(zhǎng)相近時(shí)，水體會(huì)對(duì)波的傳播有更強(qiáng)的阻尼作用。通常情況下，當(dāng)D＞λ／2時(shí)，由tanh函數(shù)的曲線接近于1，公式可簡(jiǎn)化為

從而有

g為重力加速度，取為9.8 m／s2。

單一的Gerstner波無(wú)法滿足對(duì)各種波形的需要，經(jīng)實(shí)驗(yàn)分析，3個(gè)Gerstner波的疊加可以在效果和運(yùn)算時(shí)間上得到很好的平衡

使用下面的公式得到疊加后水波各點(diǎn)的位置

從圖2可以看出，選擇合適的Gerstner波進(jìn)行疊加，可以得到所需的各種波形。

圖2 3個(gè)Gerstner波疊加效果

2 能量衰減

能量以波速在介質(zhì)中伴隨著波一起傳播。單位時(shí)間內(nèi)沿波速方向、垂直通過(guò)單位面積的平均能量稱為能流密度，也稱為波的強(qiáng)度，用I表示。能流密度是矢量，在各向同性均勻介質(zhì)中，能流密度矢量方向與波速μ方向相同。水波的能流密度為

公式表明，水波的能流密度 （波的強(qiáng)度）大小與振幅A的平方成正比，與頻率ω的平方成正比，與波速μ也成正比。

波在介質(zhì)中傳播時(shí)，介質(zhì)總要吸收波的部分能量，因而波的強(qiáng)度將逐漸減弱，這種現(xiàn)象稱為波的吸收。實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)波通過(guò)距離為dx的介質(zhì)薄層時(shí)，波的強(qiáng)度增量dI（dI＜0）正比于入射波的強(qiáng)度I與介質(zhì)的距離dx，即

比例常數(shù)α是一個(gè)與介質(zhì)的性質(zhì)、溫度及波的頻率有關(guān)的量，稱為介質(zhì)的吸收系數(shù)，也就是波的能量衰減因子。積分后得

式 （13）中I0和I分別為t＝0和t＝t處波的強(qiáng)度。在模擬水波時(shí)，假設(shè)水波的傳播速度μ＝1不變，則由式（11）與式 （13）可得振幅隨時(shí)間衰減的函數(shù)

函數(shù)曲線如圖3所示。

圖3 振幅衰減函數(shù)曲線

將式 （14）代入式 （10）有

對(duì)比于式 （10），式 （15）將振幅隨時(shí)間衰減的方程（式 （14））代入Gerstner波模型，使得在模擬水波時(shí)可以呈現(xiàn)出水波傳播過(guò)程中能量的衰減，并且引入了衰減因子α，可以根據(jù)環(huán)境、水體的不同選擇合適的α，得到更加真實(shí)的效果。

3 水面光影

3.1 立方環(huán)境映射

環(huán)境映射是一種常用的渲染反光表面的紋理映射技術(shù)。其基本原理是將反光物體所在的周邊環(huán)境存儲(chǔ)在稱為環(huán)境圖的紋理中。渲染物體時(shí)根據(jù)表面的反射向量到環(huán)境圖中采樣作為反射顏色。環(huán)境映射假定物體的尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于它與周邊環(huán)境的距離，是一種近似的方法。但如果使用得當(dāng)可以產(chǎn)生非常逼真的鏡面反射效果。

立方環(huán)境映射是環(huán)境映射技術(shù)的一種，在三維圖形渲染和游戲中得到廣泛的使用。如圖4所示，立方環(huán)境映射假想有一個(gè)巨大的立方體環(huán)繞在物體周圍。物體所在的周邊環(huán)境被映射到立方體的6個(gè)面上，然后存儲(chǔ)為六幅紋理圖像。這六幅紋理圖像就構(gòu)成了立方環(huán)境映射的環(huán)境圖。紋理采樣時(shí)假想從立方體中心發(fā)出一條沿反射向量R方向的射線，并計(jì)算該射線與立方體面的交點(diǎn)，然后根據(jù)相交面確定是六幅圖像中的那一幅，再根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)在該圖像中按照二維紋理的方式采樣。

3.2 水面反射

圖4 立方環(huán)境映射

實(shí)現(xiàn)水面反射效果的一種常用方法是使用環(huán)境映射。如圖5所示，P是水面上一點(diǎn)，N是P點(diǎn)處的單位法線向量，C是照相機(jī) （觀察者）的位置。

圖5 水面反射效果的實(shí)現(xiàn)

首先計(jì)算從P指向照相機(jī)的單位向量V

然后計(jì)算V相對(duì)于法線N的反射向量R

R與反射紋理平面的交點(diǎn)D

由于

所以

使用D作為紋理坐標(biāo)到反射平面中采樣得到P點(diǎn)處的反射顏色。

3.3 水面折射

圖6中，d為水面到水底的平均深度，ηi與ηr分別為空氣與水的折射率，θi與θr分別為折射光 （入射光）與界面法線的夾角，由斯涅耳定律可知

則折射向量

將其單位化有

T與折射紋理平面的交點(diǎn)E

圖6 水面折射效果的實(shí)現(xiàn)

由于

所以

使用E作為紋理坐標(biāo)到折射平面中采樣得到P點(diǎn)處的折射顏色。

3.4 顏色融合

在得到P點(diǎn)的反射顏色Creflect與折射顏色Crefract后，通過(guò)下面的公式得到P點(diǎn)的最終顏色：

式中：Cambient、Cspecular與Cdiffuse——環(huán)境光、鏡面反射光與漫反射光，fspecular與fdiffuse——鏡面反射系數(shù)與漫反射系數(shù)。r與t——水面的反射率與透明度，根據(jù)不同環(huán)境下的不同水體，調(diào)節(jié)r與t可以得到理想的水面光影。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

根據(jù)以上方法，模擬水面特效。采用 Windows XP平臺(tái)下的Visual C＋＋6.0和OpenGL 2.0進(jìn)行繪制。硬件平臺(tái)為 Pentium Dual－Core E6700 3.2GHz，2GDDR3－1333內(nèi)存，顯卡為 ATI Radeon HD 4350。

圖7為模擬結(jié)果，其中圖7 （a）、圖7 （b）、圖7（d）分別為衰減因子α為0.01時(shí)，時(shí)刻t分別為1秒、100秒和250秒時(shí)的場(chǎng)景截圖。圖7（c）、圖7（e）分別為線性衰減時(shí)刻t分別為100秒和250秒時(shí)的場(chǎng)景截圖。反射率為0.8、透明度為0.2。

從模擬結(jié)果來(lái)看，振幅的線性衰減過(guò)程是均勻過(guò)度的，顯得較為生澀，真實(shí)能量的衰減則較為柔和，更加自然。配合新的能量源產(chǎn)生的波形，便可得到理想的水面波動(dòng)效果。在1440×900的分辨率下，渲染幀數(shù)達(dá)到了224幀每秒，可以滿足各種游戲和動(dòng)畫場(chǎng)景的需要。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)真實(shí)水波物理特性的研究，得到了嶄新的水波傳播時(shí)能量衰減的方程。將其帶入Gerstner波模型模擬水波，使用反射率與透明度控制光影效果，得到了更加真實(shí)的水面特效以及不錯(cuò)的渲染速度。而且此方法簡(jiǎn)單，適用性強(qiáng)，在多種軟、硬件平臺(tái)下都得到了理想的效果，有很強(qiáng)的通用性。

圖7 真實(shí)能量衰減與線性衰減的比較

下一步的工作重心將會(huì)放在水面刻蝕等光學(xué)效果以及浪花、漣漪等物理過(guò)程的研究。并進(jìn)一步挖掘GPU的潛能，提高渲染速度。

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