基于Kriging模型的發(fā)動機罩多目標優(yōu)化設計

陳立娜 張維剛

湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙，410082

0 引言

汽車安全是汽車產業(yè)的三大主題之一，行人保護也日漸成為人們關注的熱點問題。據有關資料統(tǒng)計，在與行人直接相關的交通事故中17.3%的頭部傷害與發(fā)動機罩相關，因此，合理設計發(fā)動機罩的結構與材料，可以大大降低行人在與車輛發(fā)生碰撞時所受的傷害。

在發(fā)動機罩的設計過程中，研究者要綜合考慮安全性、剛度及輕量化等要求，而這些要求往往是相互沖突的，因此發(fā)動機罩的優(yōu)化設計過程是一個多目標優(yōu)化問題。多目標優(yōu)化即是在各個目標之間反復考量，然后找到一個最優(yōu)折中方案。考慮到碰撞過程中的非線性及計算時間長的問題，在處理多目標問題時引入近似模型，在保證一定精度的情況下，構造一個計算量小、計算結果與實際仿真結果相似的數(shù)學模型代替實際仿真程序，并在優(yōu)化迭代過程中不斷更新模型、提高精度，使多目標優(yōu)化更快更有效地達到收斂。

作為一種常用的近似模型，Kriging［1］模型起源于地理空間統(tǒng)計學，是一種估計方差最小的無偏估計模型，具有局部估計特點，可以較好地預估未知函數(shù)點處函數(shù)值的分布情況，進而可以替代原有的目標函數(shù)分析模型，在汽車零部件優(yōu)化設計上具有很大的應用價值。

1 問題描述

1.1 頭部沖擊仿真模擬

取某轎車的發(fā)動機罩為研究對象，主要包括內板、外板、加強板和鉸鏈，如圖1a所示。按照歐洲EEVC／WG17［2］標準建立成人頭部沖擊器，由后蓋（back plate）、球體（sphere）、頭皮（skin）及包裹在外面的空材料殼單元（null shell）組成，如圖1b所示。整個頭錘質量為4.8kg，頭皮厚度為14mm。

參照EEVC標準，建立的頭部撞擊發(fā)動機罩有限元模型如圖2所示。頭部沖擊器與發(fā)動機罩接觸時的速度為40km／h，撞擊角度為65°，撞擊點選擇包絡線范圍（WAD：1500～2100mm）內靠近鉸鏈處位置。

圖1 仿真模型的組成

圖2 頭部撞擊發(fā)動機罩有限元模型

以頭部傷害指標 HIC（head injury criteria）值作為頭部損傷的評價指標：

式中，a為頭部質心合成加速度；t為HIC值達到最大時的時間間隔，在行人事故中計算值最大為15ms。

在LS－DYNA中進行模擬仿真，得到最大加速度值為119.5m／s2，計算所得頭部損傷值（HIC）為1099.51，大于法規(guī)規(guī)定的1000的安全限值。因此，該發(fā)動機罩系統(tǒng)不能滿足法規(guī)要求，而且在CNCAP中得分為0，需要進行改進設計。

1.2 靈敏度分析

為確定發(fā)動機罩各部件對頭部損傷的影響程度，對其進行靈敏度分析。靈敏度分析是指對系統(tǒng)性能因設計變量的變化表現(xiàn)出來的敏感程度的分析，通常用導數(shù)信息來表示。在基于近似模型的優(yōu)化過程中，靈敏度是近似模型相對于設計變量的導數(shù)，這些導數(shù)信息反映了設計變量的改變對目標函數(shù)或約束函數(shù)的影響。

本文以發(fā)動機罩內板 （t1）、外板（t2）、加強板（t3）和鉸鏈（t4）的厚度作為初始參量，運用HIC值對其進行評價，采用最優(yōu)拉丁方法試驗選擇8組樣本點，構造的一階響應面模型為

根據式（2），通過響應面系數(shù)大小比較可以發(fā)現(xiàn)，在各參量中，發(fā)動機罩內板對HIC值影響最大，基于此，下面將對發(fā)動機罩內板進行結構及材料改進研究，使發(fā)動機罩在滿足約束條件下達到性能最優(yōu)。

2 發(fā)動機罩內板改進設計

2.1 結構改進

利用拓撲優(yōu)化方法在發(fā)動機罩內板上開孔挖槽改變原結構的材料布置以降低發(fā)動機罩剛度。拓撲優(yōu)化即是在給定的設計區(qū)域內尋求最優(yōu)材料分布。采用變密度法來定義材料的流動規(guī)律，最常用的插值模型為固體各向同性懲罰材料插值模型 （solid isotropic material with penalization，SIMP），它假設設計材料的宏觀彈性常量與其密度是非線性關系，采用懲罰因子抑制介于0～1之間的單元，尋找具有某種度量的結構材料最佳分布形式。

本文采用基于帶權重的折中規(guī)劃法［3］，將多工況載荷對應的多目標函數(shù)轉化為單目標函數(shù)優(yōu)化問題。依據SIMP密度函數(shù)插值模型，在OPTISTRUCT中建立彎曲和扭轉兩種工況下發(fā)動機罩的拓撲優(yōu)化數(shù)學模型，其表達式為

式中，ρ為單元相對密度；V、V＊分別為罩板材料總體積和給定的材料體積上限；m 為載荷工況總數(shù)；Ck（ρ）為第k個工況的柔度目標函數(shù)分別為第k個工況柔度目標函數(shù)的最大值和最小值；P為懲罰因子，P＝3，用以實現(xiàn)對材料中間密度的懲罰。

以彎曲和扭轉工況下發(fā)動機罩的加權應變能最小化為優(yōu)化設計目標，設定體積分數(shù)上限值為0.45，施加對稱約束得到的拓撲優(yōu)化前后的發(fā)動機罩內板幾何模型如圖3所示。

圖3 拓撲優(yōu)化結果前后對比圖

2.2 模型驗證

將初始模型中的發(fā)動機罩內板替換為改進后的內板，在LS－DYNA中進行數(shù)值仿真分析。改進前后頭部質心加速度曲線及碰撞力曲線對比如圖4所示。

由圖4可知，頭部質心加速度曲線及碰撞力曲線在內板改進后的峰值加速度及峰值碰撞力分別下降了14.8%和16.79%，且曲線波形圖基本一致，由于外板的慣性質量產生了第一個峰值，而后與內板接觸產生了第二個峰值，因此，改進后的模型是合理的，可以利用它進行下一步的多目標優(yōu)化設計研究。

圖4 改進前后曲線對比

3 基于Kriging模型的多目標優(yōu)化設計

3.1 樣本點選取

以發(fā)動機罩內板、外板、加強板及鉸鏈的厚度為設計變量t1、t2、t3、t4，初始值分別為0.8mm、0.7mm、0.75mm、2.0mm，根據工程上板料厚度規(guī)定選取各變量取值范圍如下［4－5］：t1，t2，t3∈［0.5，2.0］mm，t4∈［1.5，3.0］mm。利用最優(yōu)拉丁方法在整個設計空間中進行20次全局采樣，然后通過有限元計算程序LS－DYNA及OPTISTRUCT進行仿真計算得到質量、HIC值及模態(tài)值。

3.2 Kriging近似模型

3.2.1 Kriging模型理論

Kriging模型假定的系統(tǒng)響應值與自變量之間的關系為

式中，f（x）為關心的未知函數(shù)；g（x）為以x為自變量的多項式函數(shù)，稱為確定性漂移；z（x）為非零的隨機過程，稱為漲落。

z（x）非零過程漲落統(tǒng)計特征表達式為

式中，σ2為方差；R（xi，xj）為關于樣本中兩個任意樣本點xi、xj的相關函數(shù)；R為ns×ns維對角線為1的對稱正定矩陣，常用高斯函數(shù)作為核函數(shù)。

相比于其他傳統(tǒng)的插值技術，Kriging模型有兩方面的優(yōu)點：第一，Kriging模型以已知信息的動態(tài)構造為基礎，即只使用估計點附近的某些信息；第二，Kriging模型同時具有局部和全局的統(tǒng)計特性，使得其可以分析已知信息的趨勢和動態(tài)。

3.2.2 Kriging模型的建立

由Kriging近似模型理論可知，一旦樣本點（xi，yi）確定，無約束非線性優(yōu)化器便被激活來尋求最大似然函數(shù)值θi。首先隨機確定一組θi值作為初始輸入，然后求出θi相關矩陣R、，進而可以求出R和2，并得出一個最大似然值，該值被返回優(yōu)化循環(huán)來判斷是否取得最大值，當取得最大值時，循環(huán)終止并記錄響應的θ值。由此可建立關于頭部損傷值、質量及模態(tài)的Kriging近似模型fH、fma、fmo。通過求解器求得的似然函數(shù)最大值（MLE）和相關系數(shù)θ分別如表2、表3所示。

表2 Kriging模型最大似然函數(shù)值

表3 Kriging模型相關系數(shù)值

為檢驗近似模型的擬合精度，在設計空間任意選取設計方案外的3組樣本點進行仿真模型與近似模型的對比，擬合情況如表4所示。

表4 近似模型擬合誤差

由表3可見，構建的Kriging模型對質量、HIC及模態(tài)的擬合誤差都控制在1.0%以內，表明建立的近似模型可以高精度地擬合設計變量與響應之間的關系，可以用于進行優(yōu)化設計。

3.3 多目標優(yōu)化

確定優(yōu)化目標為：

（1）頭部損傷值HIC反應了行人頭部在碰撞過程中的損傷程度，要求越小越好［6］，根據歐洲NCAP規(guī)定，要達到四星標準，HIC值應小于650。

（2）考慮到車身輕量化對節(jié)能環(huán)保的重要意義，質量要求越小越好。

（3）模態(tài)分析的主要目的是避免結構模態(tài)與激勵頻率耦合時產生過大的車內噪聲，汽車行駛中因車輪不平衡引起的激勵頻率一般低于11Hz，而怠速為600r／min的四缸發(fā)動機的爆發(fā)頻率為20Hz，因此，發(fā)動機罩的固有頻率應盡量避開這些激勵所產生的頻率。

基于以上分析，建立的發(fā)動機罩多目標優(yōu)化模型為

3.4 優(yōu)化求解

傳統(tǒng)的多目標優(yōu)化方法如加權組合法、目標規(guī)劃法等都是通過某種數(shù)學變換將多目標轉化為單目標進行求解，這種方法在工程應用中往往受設計人員主觀因素的影響，很難取得最優(yōu)解。Deb等［7］提出的NSGA－Ⅱ多目標遺傳算法，是目前公認的求解多目標問題最有效的優(yōu)化算法之一。Zitzler等［8］對 MOGA（多目標遺傳算法）、NSGA（非劣分層遺傳算法）、NPGA（小組決勝遺傳算法）進行了系統(tǒng)的定量實驗比較，發(fā)現(xiàn)NSGA算法的性能是最優(yōu)越的［9］。

本文利用NSGA－Ⅱ算法求解該多目標優(yōu)化模型，選定的個體總數(shù)為30，經過100次遺傳算法迭代得到多目標Pareto最優(yōu)解集。

Pareto解集無論對于設計變量，還是目標值，都為設計人員提供了很大的設計空間，設計者可以根據對目標的期望來選取合適的設計變量。

3.5 優(yōu)化結果分析

考慮到行人安全在三個目標中影響最大，選定內板厚度為0.7mm，外板厚度為0.75mm，加強板厚度為0.8mm，鉸鏈厚度為2.5mm，采用數(shù)值分析的方法進行仿真計算［10－11］。

改進前的初始結構質量為20.63kg，改進后的最優(yōu)結構質量為18.99kg，減少了7.95%；改進前的結構模態(tài)為11.81Hz，改進后的結構模態(tài)為13.07Hz，提高了10.67%，使發(fā)動機罩的防振性能得以優(yōu)化；初始結構在碰撞過程中的頭部損傷值為1099.51，改進后的頭部損傷值為603.25，下降了45.13%，使其性能達到歐洲EEVC的四星標準，對碰撞過程中的行人頭部起到了更好的保護作用。

上述分析結果表明，發(fā)動機罩內板經結構拓撲優(yōu)化改進后，不僅其系統(tǒng)安全性和防振性能得到提高，而且因其結構輕量化更加節(jié)能環(huán)保。

4 結論

基于近似模型的靈敏度分析，針對發(fā)動機罩內板的結構特點，采用建立的Kriging近似模型并結合NSGA－Ⅱ多目標進化算法對改進后的模型進行的優(yōu)化設計。優(yōu)化仿真結果表明，改進后的發(fā)動機罩HIC值下降了45.13%，能夠更好地提高轎車的行人保護性能，同時，質量減輕7.95%、模態(tài)值提高了10.67%，兼顧了安全性、防振及輕量化三項指標，為汽車發(fā)動機罩的研究設計提供了理論依據。

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