林木風(fēng)倒動態(tài)模型的建立與分析

賈 杰，李靜輝

（東北林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，哈爾濱 150040）

風(fēng)倒是森林中最常見的自然災(zāi)害，也是形成林隙的主要原因。風(fēng)倒現(xiàn)象主要是指林木在風(fēng)荷載作用下發(fā)生傾倒，甚至連根拔起的現(xiàn)象。其破壞方式包括了干折、根折和連根拔起等三種。其成為森林生態(tài)的一個擾動因子。根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示，全世界每年非災(zāi)害性風(fēng)倒造成的木材減產(chǎn)在15%以上［1］。風(fēng)力對林木的結(jié)構(gòu)、組成、樹冠結(jié)構(gòu)、物種組成及植物生長等都有很大的影響。近年來，隨著全球氣候環(huán)境的急劇變化，風(fēng)倒導(dǎo)致森林破壞的情況頻繁發(fā)生。因此，展開對風(fēng)倒機理的相關(guān)研究日益受到科學(xué)研究人員的重視，搞清風(fēng)倒的機理對于木材生產(chǎn)實踐和生態(tài)學(xué)的理論研究都有極其重要的意義。

目前，國內(nèi)很多學(xué)者在林木風(fēng)倒機理方面進行了深入的研究，李國旗等［2］利用現(xiàn)有理論研究了位于不同風(fēng)壓和高度處樹木的應(yīng)力分布規(guī)律。陳少雄［3］、陳士銀［5］等學(xué)者基于野外調(diào)查和統(tǒng)計的方法分別研究了泡桐、桉樹和木麻黃等樹種的抗風(fēng)性與個體特征之間的關(guān)系。代力民等［6］從生態(tài)學(xué)角度出發(fā)研究林隙的形成原因。上述研究涉及風(fēng)倒的力學(xué)理論模型的較少，只有哈爾濱工業(yè)大學(xué)的張少實課題組［7］做過一些研究，分別從靜力學(xué)和動力學(xué)角度建立了風(fēng)倒的模型，并展開了相應(yīng)的分析，但是這種動力學(xué)模型是基于云杉單個物種且簡化成一端固定，一端連接質(zhì)量團的彈性桿，這種模型單一且局限性很大。在國外，例如英國、加拿大、美國等一些歐美國家學(xué)者，對張子松、西特云杉等樹種的風(fēng)倒機理進行了深入的、廣泛的研究［9］。通過動力學(xué)理論推導(dǎo)，結(jié)合野外試驗中林木和土壤力學(xué)參數(shù)的測定，地形數(shù)字高層模型和實物模型風(fēng)洞試驗，獲得了復(fù)雜地形下和不同林分密度時的風(fēng)場分布，建立了一系列力學(xué)方程來描述林木的抗風(fēng)性［10］，對風(fēng)倒的力學(xué)機理也進行了相應(yīng)的闡述，形成若干關(guān)于林木風(fēng)倒機理的模型。如MC2［11］、HWIND［12］等，盡管這些研究代表了風(fēng)倒機理研究的國際先進水平，但主要是基于材料力學(xué)方法的線性力學(xué)模型［13］。雖然正確的描述了風(fēng)倒機理的許多方面，但受研究條件等的限制在系統(tǒng)設(shè)計時對關(guān)鍵環(huán)節(jié)進行了簡化，造成模型與實際情況之間的誤差。所以如何正確建立風(fēng)倒的力學(xué)模型，和建立模型時對實際情況進行怎樣的簡化或近似，而使模型與實際情況達到最大的吻合，成為了風(fēng)倒現(xiàn)象研究的最主要問題。

本文在考慮林木外部形態(tài)的前提下給出假設(shè)條件，將林木看成由一根無質(zhì)量彈性桿連結(jié)，并建立了林木的動態(tài)力學(xué)模型，列寫出模型的振動方程，邊界條件和初始條件，同時將平均和動態(tài)的風(fēng)速、平均和動態(tài)的位移、以及莖部的力與力矩都聯(lián)系在一起，假設(shè)這些力和力矩是折斷現(xiàn)象的標準值。充分考慮風(fēng)、樹和根系三者的關(guān)系，推導(dǎo)出無阻尼和有阻尼情況下林木風(fēng)倒的動態(tài)模型，為后續(xù)林木風(fēng)倒的頻率域、時域分析奠定理論基礎(chǔ)，同時也為風(fēng)荷載作用下系統(tǒng)的受迫振動以及風(fēng)倒的條件分析提供理論模型。

1 模型建立

基本的力學(xué)模型如圖1所示，兩部分集中質(zhì)量，一部分代表樹冠（對樹木而言）的集中質(zhì)量，一部分代表根系的集中質(zhì)量。這兩部分質(zhì)量由一根無質(zhì)量彈性桿連結(jié)，其長度等價于從地面到樹冠的重心。模型系統(tǒng)各個要素部分的受力介紹如下:①將在莖稈頂部作用的振動風(fēng)載荷定義為P。②樹冠的等價質(zhì)量定義為m。（之所以是等價，是因為可以適當(dāng)?shù)目紤]莖稈的質(zhì)量，給出適當(dāng)?shù)脑试S系數(shù)，將莖稈的質(zhì)量加在上部集中載荷處）③樹冠的慣性質(zhì)量定義為是上部集中質(zhì)量的瞬時位移。④在樹干高度為處的位移為y，根據(jù)經(jīng)典的歐拉公式，可以知道在x處的力矩為是莖稈的彈性模量，I是莖稈的在處的慣性矩，定義EI為抗彎剛度。⑤將根系對于旋轉(zhuǎn)的阻力矩定義為是單位角度阻力矩系數(shù)，可以看出集中質(zhì)量的旋轉(zhuǎn)慣性力定義為0，H為下部集中質(zhì)量的慣性矩系數(shù)。

基于前期文獻的參考，本文采用的模型是合理的，也是實際的。由于樹木在傾斜的過程中根部的集中質(zhì)量是變化的，所以必須考慮到根部的旋轉(zhuǎn)慣性力也是變化的，如果這點做不到的話，那么根系處的土壤對模型的作用力只能作用在莖稈處，考慮到根系及土壤的變化和風(fēng)倒現(xiàn)象聯(lián)系緊密，條件⑥是必需的。而模型系統(tǒng)的阻尼主要來自于三個方面:在莖稈和根系處的能量消耗，空氣對于樹木運動的阻力，樹木相互之間的影響。而分析時先考慮無阻尼情況。一個優(yōu)化的、簡易的、可變性很強的模型是很容易將無阻尼推廣到阻尼情況下。

先考慮圖1上半部分的平衡關(guān)系，可以得到:整體阻力矩和根部所傾斜的角度成比例。⑥將下部

圖1 力學(xué)模型圖Fig.1 The mechanical model

如果假設(shè)風(fēng)力用正弦函數(shù)的形式給出Pejωt，而P是振動的最大值，j是－1的平方根，ω是角頻率（等于2πn，n是自然頻率），t表示時間，同理將y可以寫成yejωt，而Y可以寫成yejωt，現(xiàn)在可以將等式變成:

上面的等式可以根據(jù)如下三個邊界條件來求解:

①當(dāng)x=0時，y=0。

②當(dāng)x=X時，y=Y。

③當(dāng)x=0時，

這個等式即風(fēng)力對根部所產(chǎn)生的力矩和根系的阻力矩加上下部集中質(zhì)量的慣量相平衡，也可以寫成:當(dāng)x=0時，如果將樹干底部所產(chǎn)生的彎矩用Bejωt的形式給出，那么對于公式 （2），根據(jù)三個邊界條件，用代數(shù)方法便可以求解，得到如下公式:

在上式中，ω是一個無量綱的角頻率，ω=ωn（X/g）0.5且:

公式描述了樹干底部彎矩波動和風(fēng)力波動之間的關(guān)系，從公式中可以看出B/PX隨著ω以及三個參數(shù)α、β、γ的變化而變化。

在較低頻率下，即相應(yīng)于系統(tǒng)平均值的情況，當(dāng)ω趨于0的時候，可以得到:

因此只有α對系統(tǒng)具有重要的作用。從公式（4）可以看出，α是一個關(guān)于系統(tǒng)參數(shù)很復(fù)雜的函數(shù)。但是，如果適當(dāng)選取系統(tǒng)參數(shù)的時候（較大的樹冠質(zhì)量m，較小的阻力矩系數(shù)k），這時B/PX趨于無窮。這剛剛符合靜態(tài)不穩(wěn)定現(xiàn)象——樹冠太重，以至于根系不能承擔(dān)其重量。在現(xiàn)實中有一類現(xiàn)象和這個非常吻合，在經(jīng)過長時期的降雨后，林木樹冠重量增加，但是其根系的支持力卻在下降，只要在微風(fēng)情況下就會會發(fā)生傾覆現(xiàn)象。

對于系統(tǒng)的自然頻率，當(dāng)β很小，令公式（3）中分母為0（即B/PX趨于無窮），這是可以得到兩個解，（αg/（1－α）X0.5/2π和（（1－α）g/（1－γ）βX）0.5/2π，兩者即為系統(tǒng)的自然頻率。

基于其他學(xué)者前期的研究工作，本文給出典型的稻類、有葉懸鈴樹、無葉懸鈴樹和西特云杉等四類林木的模型參數(shù)值，見表1。

表1 模型參數(shù)值Tab.1 Values of parameters in the model

表2 參數(shù)α、β、γ及導(dǎo)出的自然頻率Tab.2 Derived parametersα、β、γ and calculated natural frequencies

表2給出了α、β、γ的詳細數(shù)值，以及根據(jù)以上關(guān)系所導(dǎo)出的自然頻率。很明顯，這三個參數(shù)都是無量綱量，可以適用于任何情況，具有普遍意義。而根據(jù)理論計算所得到的較低頻率值和表1中所獲得的測量值有很好的吻合，盡管在表1中對個別參數(shù)進行了大膽的假設(shè)。但在計算懸鈴樹質(zhì)量的時候，并不是根據(jù)實際測量得到，而是根據(jù)在位移已知的情況下，反向計算樹冠集中質(zhì)量，所以從某種意義上說，所預(yù)想的頻率值并不完全獨立。

圖2描述了四種不同林木B/PX和頻率n的關(guān)系，（a）是稻類植物的曲線圖，（b）和 （c）是懸鈴樹在有葉和無葉情況下的曲線圖，（d）是西特云杉的曲線圖。四個曲線圖有一些共同的特點，在較低頻率時，比率是連續(xù)的，但當(dāng)?shù)谝粋€自然頻率鄰近的時候，所有圖的比率都趨于無限。在自然頻率處，比率發(fā)生突變，產(chǎn)生了一個不連續(xù)的現(xiàn)象，在頻率稍高于自然頻率的時候，所有圖示中比率都幾乎降為0，當(dāng)頻率逐漸增加到接近較高自然頻率的時候，比率急劇上升且發(fā)生突變，這和第一個自然頻率處的現(xiàn)象比較相似。這些高頻率峰是較低頻率值的2～3倍。高頻率峰的出現(xiàn)可能是由于在森林中采取不恰當(dāng)?shù)念l率譜所造成的。最新的研究表明，樹的波動事實上不是隨機的，而是在自然中有間斷的波動。也就說這些頻率峰并不是前面所提到的較高頻率，而是在較低頻率下的諧振動給人們造成的假象。鑒于沒有明顯的數(shù)據(jù)表明較高頻率可以在實踐中得到檢驗，可以對模型進行簡化。

圖2 不同樹木和頻率的關(guān)系曲線圖Fig.2 Different trees and freguency relationship

2 模型的簡化

從表2中β值可以看出，β一般都比較小，可以β讓取0值，這是一個合理的假設(shè)，那么公式（3）可以變成:

公式中的無量綱角頻率

在公式 （3）中，沒有模擬較高的自然頻率，但在計算β值的時候，公式 （3）和公式 （9）并沒有太大的區(qū)別。根據(jù)公式 （8），可以重建簡化后系統(tǒng)的動態(tài)模型，在無阻尼情況下:

基于簡化后的模型，系統(tǒng)可以模擬有阻尼情況下的運動形式，如下。

c表示有阻尼情況下的阻尼率。公式 （11）是有阻尼諧振動下的標準公式，B/PX與無量綱角頻率ωn的關(guān)系是:

公式 （11）和 （12）從本質(zhì)上揭示了系統(tǒng)的控制參數(shù)是無量綱的角頻率，從公式 （4）和公式（9）又可以看出，角頻率只是一個和系統(tǒng)本身參數(shù)以及阻尼率有關(guān)的量。當(dāng)ωn取1.8，就可以得到B/PX在不同阻尼率情況下的與頻率ω的關(guān)系，如圖3所示。

圖3 在阻尼諧振動下的轉(zhuǎn)移函數(shù)Fig.3 Transfer function for damped harmonic oscillator

由公式 （12）可以看出，無量綱的自然角頻率對估計林木的穩(wěn)定性是一個極其有用的參數(shù)，和穩(wěn)定性有著直接的關(guān)系。比率B/PX實際上是相對于靜態(tài)風(fēng)載作用于上部集中質(zhì)量所產(chǎn)生的力矩的放大率，在沒有阻尼情況下，將趨于無窮?；谀芰糠?，得到樹木的自然頻率，其表達式為

式中:nn表示有量綱的自然頻率，λ是常數(shù)，a表示莖稈底部的半徑，ρw表示樹木的密度。對于剛度比較大的樹干，即k和EI都比較大的時候，式（4）和 （9）給出了nn的計算方法:

公式 （13）和 （14）看起來很近似，其中ρwπa2和m/X都表示在長度方向的質(zhì)量集度。但公式 （13）的優(yōu)點在于考慮了根和土壤的影響，因為不同土壤潮濕程度對自然頻率都會有影響。

關(guān)于阻尼率，阻尼率是由于樹木或者植被的相互影響，空氣動力的阻尼以及樹木本身的阻尼所產(chǎn)生。以西特云杉為例，Milne指出這三者之間的比例關(guān)系是5∶4∶1［14］。從上面的分析可以看出，阻尼率是關(guān)于風(fēng)速的一個常數(shù)。但是必須指出，在空氣動力阻尼和風(fēng)速成比例的情況中，這個假設(shè)和已有關(guān)于空氣動力導(dǎo)納系數(shù)的假設(shè)以及力和風(fēng)速關(guān)系的結(jié)果有些矛盾。但是看到只是林木在柔度比較大的時候，由于其幾何變形大，以至于不能得出阻尼和風(fēng)速的直接關(guān)系。

實際上，已有的研究已經(jīng)測得樹木在風(fēng)載阻力作用下的運動，位移就成為目前研究的一個基本參數(shù)［15］。為了將力學(xué)模型跟觀測相比較，就必須得到位移Y的表達式，從初始的公式 （1）以及公式（11）和 （12），可以得到:

所以，我們可以直接從B得到位移Y。

3 結(jié)論

本文展開對林木風(fēng)倒機理的初步研究，基于林木外部特性，給出了一些理想假設(shè)，由此獲得了林木風(fēng)倒的動力學(xué)模型，結(jié)合外部邊界條件和初始條件，同時考慮平均和動態(tài)的風(fēng)速、平均和動態(tài)的位移、以及莖部的力與力矩之間的關(guān)系，給出樹干底部彎矩和風(fēng)力關(guān)系的物理意義，推導(dǎo)出無阻尼和有阻尼情況下林木風(fēng)倒的動態(tài)模型，并給出位移的計算表達式。數(shù)值計算結(jié)果與實測數(shù)據(jù)的對比顯示出模型的合理性，為后續(xù)的研究提供理論基礎(chǔ)。林木風(fēng)倒機理是一個復(fù)雜的動態(tài)過程，基于理論模型還需要展開進一步相關(guān)的研究，首先，由于樹木的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)和樹冠會對模型產(chǎn)生一些影響，因此需要對模型本身進行一些優(yōu)化和改進，讓模型能夠承受更大的位移和累進的根系變化。其次，基于所獲得的模型，需要在頻率域和時域分別就風(fēng)速譜、風(fēng)力譜、彎矩譜以及最大值彎矩譜進行全面的分析。

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［1］于振良，趙士洞.林隙（Gap）模型研究進展［J］.生態(tài)學(xué)雜志，1996，16（2）:42 －46.

［2］李國旗，安樹青，張紀林，等.海岸帶防護林4種樹木的風(fēng)壓應(yīng)力分析［J］.南京林業(yè)大學(xué)學(xué)報，1999，23（3）:76 －80.

［3］陳少雄，王觀明，羅建中.桉樹幼苗不同株行距配置抗臺風(fēng)效果的研究［J］.林業(yè)科學(xué)研究，1995，8（5）:582 －585.

［4］陳少雄，楊民勝，王理平.尾葉桉造林密度與蓄積量、抗風(fēng)和材性關(guān)系研究［J］.林業(yè)科學(xué)研究，1998，11（4）:435 －438.

［5］陳士銀.木麻黃不同株行距配置抗臺風(fēng)效果［J］.廣東林業(yè)科技，1997，13（2）:44 －46.

［6］代力民，徐振邦，楊 麗.紅松闊葉林倒木貯量動態(tài)的研究［J］.應(yīng)用生態(tài)學(xué)報，1999（10）:513－517.

［7］宋曉鶴.云杉風(fēng)倒靜力學(xué)模型的建立及其分析［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2006.

［8］王 琳.云杉風(fēng)倒動力學(xué)模型的建立與分析［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2006.

［9］賴秋明.云杉風(fēng)倒動力學(xué)問題的研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2008.

［10］Ruel J C，Pin D，Space L，et al.The estimation of wind exposure for windthrow hazard rating:comparison between Strong blow，MC2，topex and a wind tunnel study［J］.Forestry，1997，70（3）:254-266.

［11］England A H，Baker D J，Saunderson S T.A dynamic analysis of windthrow of trees［J］.Forestry，2001，73（3）:225-237.

［12］Benoit R，Desgagne M，Pellerin P，et al.The Canadian MC2:a semi-lagrangian，semi-implicit wideband atmospheric model suited for fine-scale process studies and simulation［J］.Monthly Weather Review，1997，125:2382-2415.

［13］Achim A，Ruel J C，Gardiner B A，et al.Modeling the vulnerability of balsam fir forests to wind damage［J］.Forest Ecology and Management，2005，204:35-50.

［14］Milne R.Dynamics of swaying picea sitchenis［J］.Tree Physiology，1991，9:383-399.

［15］陳俊松，趙 塵，石 迪.森林采運系統(tǒng)動力學(xué)模型研究［J］.森林工程，2011，27（1）:78 －81.