農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格波動(dòng)時(shí)的數(shù)理微分模型分析

夏凡捷，夏新念

（1.武漢大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，武漢 430072；2.武漢工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，武漢 430074）

農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格波動(dòng)時(shí)的數(shù)理微分模型分析

夏凡捷1，夏新念2

（1.武漢大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，武漢 430072；2.武漢工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，武漢 430074）

價(jià)格理論是微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的核心，供求關(guān)系是經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的起點(diǎn)。長(zhǎng)期以來(lái)，人們對(duì)價(jià)格形成機(jī)制以定性的探討為主，較少或缺乏定量的分析研究。文章嘗試運(yùn)用數(shù)理分析方法，以典型農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格波動(dòng)為例，探討在完全競(jìng)爭(zhēng)條件下均衡價(jià)格的市場(chǎng)實(shí)現(xiàn)機(jī)制。文中不僅發(fā)現(xiàn)了采用標(biāo)準(zhǔn)二階微分模型最能恰當(dāng)描述農(nóng)產(chǎn)品在競(jìng)爭(zhēng)條件下的價(jià)格波動(dòng)過(guò)程，而且還揭示了決定二階微分模型參數(shù)的信息其實(shí)還隱藏在供求關(guān)系之中。

均衡價(jià)格；供求彈性；動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)；數(shù)理微分模型；蛛網(wǎng)模型；價(jià)格變動(dòng)加速度

0 引言

市場(chǎng)是商品交換的場(chǎng)所，也是商品的生產(chǎn)者之間、商品生產(chǎn)者與商品消費(fèi)者之間競(jìng)爭(zhēng)的場(chǎng)所。競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果導(dǎo)致商品的供給、需求的變化，進(jìn)而影響到商品價(jià)格的變化。商品的供求及價(jià)格決定，即市場(chǎng)中的均衡分析是經(jīng)濟(jì)分析中的最基本的問(wèn)題之一。其中價(jià)格理論是微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的核心，供求關(guān)系是經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的起點(diǎn)。長(zhǎng)期以來(lái)，對(duì)價(jià)格形成機(jī)制的探討一直是經(jīng)濟(jì)學(xué)關(guān)注的重點(diǎn)問(wèn)題之一，但常常是以靜態(tài)或比較靜態(tài)的方式研究該問(wèn)題，缺乏動(dòng)態(tài)和定量的考察。在國(guó)外，現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)大量運(yùn)用動(dòng)態(tài)分析來(lái)考察有關(guān)的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題[1]，發(fā)展出一門(mén)稱(chēng)作動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)（或經(jīng)濟(jì)動(dòng)力學(xué)）的學(xué)科。本文試圖從完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)出發(fā)，以典型農(nóng)產(chǎn)品為例，借薦物理學(xué)分析方法，建立均衡價(jià)格（或均衡產(chǎn)量）的數(shù)理微分動(dòng)態(tài)模型。

靜態(tài)均衡分析是在假定市場(chǎng)已處于均衡狀態(tài)的情況下，分析經(jīng)濟(jì)變量達(dá)到均衡的條件，并考察均衡狀態(tài)的特性及其影響因素，這時(shí)不用考慮時(shí)間的影響。在均衡分析過(guò)程中，假定商品數(shù)量對(duì)價(jià)格的變化能夠得到即時(shí)的反應(yīng)。也就是說(shuō)商品價(jià)格的變化會(huì)立即作用于商品的供給和需求，并同時(shí)引起供給量和需求量的變化。

但在現(xiàn)實(shí)生活中，市場(chǎng)諸因數(shù)往往是隨時(shí)間而變的，當(dāng)價(jià)格變化后，許多商品的需求量和供給量對(duì)價(jià)格變化的反應(yīng)在時(shí)間上并不一致。一般來(lái)說(shuō)，需求量對(duì)價(jià)格的反應(yīng)是即期的，可以用即時(shí)反應(yīng)來(lái)表示，而供給量對(duì)價(jià)格的反應(yīng)往往有一個(gè)滯后期，尤其對(duì)于農(nóng)產(chǎn)品類(lèi)商品更為典型。如果能動(dòng)態(tài)地研究均衡價(jià)格的實(shí)現(xiàn)過(guò)程就是一項(xiàng)很有意義的工作，為達(dá)到該目的，此時(shí)若借用物理學(xué)中動(dòng)力學(xué)分析方法（或經(jīng)濟(jì)學(xué)中被稱(chēng)之為動(dòng)態(tài)分析的方法），就能達(dá)到事半功倍的效果。

1 蛛網(wǎng)模型

蛛網(wǎng)模型是動(dòng)態(tài)模型中出現(xiàn)得較早的一種模型，它雖是一種圖解模型，但由于具有形象直觀、便于分析等優(yōu)點(diǎn)，長(zhǎng)期以來(lái)一直用于價(jià)格形成機(jī)制的定性說(shuō)明中。一般用作對(duì)生產(chǎn)周期較長(zhǎng)的商品（如農(nóng)產(chǎn)品、畜產(chǎn)品）的價(jià)格和產(chǎn)量的觀察、預(yù)測(cè)。

蛛網(wǎng)模型的假定條件[2]是：（1）生產(chǎn)者開(kāi)始生產(chǎn)某種產(chǎn)品到該種產(chǎn)品上市需要一定的時(shí)間，市場(chǎng)信息極不靈通，生產(chǎn)者對(duì)其產(chǎn)品的預(yù)期價(jià)格和預(yù)期需求一無(wú)所知，只好以上期的價(jià)格作為本期供給量的依據(jù)QS(t)=QS(Pt-1)，但產(chǎn)品需求量卻可以隨市場(chǎng)價(jià)格做即期變動(dòng)Qd(t)=Qd(Pt)；（2）產(chǎn)品均為不耐貯藏的商品，為了減少損失，需要在當(dāng)期（年）清空市場(chǎng)，即Qd(t)=QS(t)；3）市場(chǎng)成交價(jià)格取決于在給定的供給量QS(t)下消費(fèi)者愿意支付的價(jià)格，即成交價(jià)格Pd(t)=Pd(QSt)。

在上述假定下，只要供給和需求滿(mǎn)足一定的條件，是可以自動(dòng)實(shí)現(xiàn)價(jià)格均衡的?，F(xiàn)以一個(gè)西瓜市場(chǎng)（或生豬市場(chǎng)）以一年為周期的價(jià)格波動(dòng)中自動(dòng)趨向市場(chǎng)均衡的示例來(lái)做說(shuō)明[3]。假設(shè)西瓜供給函數(shù)為：QS(t)=-0.5+8p(t-1)，西瓜的需求函數(shù)為：Qd(t)=7.0-12 p(t)。西瓜不易保存，為了減少損失，當(dāng)年生產(chǎn)的西瓜必需當(dāng)年銷(xiāo)售完畢，即：QS(t)=Qd(t)。如果供給過(guò)多，市場(chǎng)價(jià)格必然下降；如果供給不足，市場(chǎng)價(jià)格自然上升。市場(chǎng)價(jià)格完全取決于消費(fèi)者愿意支付的價(jià)格。于是價(jià)格會(huì)往復(fù)波動(dòng)起來(lái)。假設(shè)初期西瓜的價(jià)格是0.8元/千克，運(yùn)用蛛網(wǎng)模型可畫(huà)出價(jià)格蛛網(wǎng)圖。如圖1所示。

圖1 市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)的蛛網(wǎng)模型

從圖中可看出，市場(chǎng)價(jià)格最后將趨于均衡價(jià)格。

2 一階差分模型

由于蛛網(wǎng)模型的定性意義大于定量作用，如果要想較好地使用數(shù)學(xué)，上述過(guò)程實(shí)際上可通過(guò)差分方法表示出來(lái)。若上年（2000年）西瓜價(jià)格是0.8元/千克，則當(dāng)年（2001年）的價(jià)格是：7.0-12p(2001)=-0.5+8×p(2000)=-0.5+8×0.8 ，得：p（2001）=0.09166元/千克。依次類(lèi)推，依據(jù)p(t+1)=7.5+p(t)2/3，可逐年算出西瓜其它年的價(jià)格：

由此可見(jiàn)，西瓜價(jià)格逐年變動(dòng)，但總是圍繞均衡價(jià)格p*=0.375（元/千克）上下波動(dòng)，并逐漸趨于均衡價(jià)格。

蛛網(wǎng)模型是一種圖解模型，能夠說(shuō)明價(jià)格變動(dòng)的趨勢(shì)，并判斷均衡價(jià)格。但模型相當(dāng)粗糙，難以看出時(shí)間在其中的具體作用過(guò)程。不管是蛛網(wǎng)模型，還是一階差分模型，連續(xù)的時(shí)間在模型中都是離散的。價(jià)格在一年中只能取一個(gè)值，但這個(gè)值是平均值、最終值？還是最大值、加權(quán)平均值？難以辨別。蛛網(wǎng)模型只能看作是動(dòng)態(tài)模型的初級(jí)近似。

3 一階微分模型

為了克服上述模型的不足，可將價(jià)格看作是隨時(shí)間連續(xù)變化的函數(shù)。假設(shè)在需求、供給曲線(xiàn)都不變的條件下，再來(lái)考察價(jià)格隨時(shí)間的變化過(guò)程。

已知需求函數(shù)為：Qd(t)=bd-adp(t)，ad＞0；供給函數(shù)為：QS(t)=-bs+asp(t)，aS＞0。并假定某一個(gè)時(shí)刻由于某種原因價(jià)格未能處在均衡價(jià)格位置。由瓦爾拉斯穩(wěn)定性判定條件知[4]，如果存在超額需求，即E(pt)=Qd(t)-QS(t)并是正的，買(mǎi)主傾向于提高他們的出價(jià)；如果存在超額供給，即超額需求E(pt)=Qd(t)-QS(t)并是負(fù)的，則賣(mài)主傾向于降低他們的價(jià)格。于是有理由相信，超額需求（或超額供給）的存在是引起價(jià)格變動(dòng)的主要原因。即價(jià)格變動(dòng)量與超額需求成正比，據(jù)此可假設(shè)有一階微分方程成立：

從數(shù)學(xué)角度看，這是一階線(xiàn)性常微分方程式，它的通解是：p=Ce-(ad+as)t/μ+p*。其中：p*=(bd+bs)/(ad+as)?？紤]初始條件，當(dāng)t=0時(shí)，p=p0。故C=p0-p*。則一階微分模型的最終解為：p=(p0-p*)e-(ad+as)t/μ+p*。當(dāng)t→∞時(shí)，p→p*。該模型也說(shuō)明了經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間后，產(chǎn)品價(jià)格將趨于均衡價(jià)格。

圖2 一階模型價(jià)格變動(dòng)趨勢(shì)

一階微分模型雖是數(shù)學(xué)解析模型，可以對(duì)價(jià)格進(jìn)行分析和計(jì)算，也能判斷價(jià)格的走勢(shì)。但從圖2看，它并沒(méi)有即時(shí)反映價(jià)格在均衡價(jià)格上下隨時(shí)間波動(dòng)的情況，這說(shuō)明它還只是反映了價(jià)格變動(dòng)規(guī)律的一個(gè)側(cè)面。因此它應(yīng)屬于一個(gè)不完全的動(dòng)態(tài)模型。

4 二階微分模型辨析

一階微分模型認(rèn)為，超額需求（或超額供給）的存在是影響價(jià)格變動(dòng)的主要原因。表面上看，此觀點(diǎn)不錯(cuò)，但若仔細(xì)思考起來(lái)，卻似乎沒(méi)有這么簡(jiǎn)單。回想物理學(xué)在伽利略及以前時(shí)代，人們對(duì)力的認(rèn)識(shí)，雖已有所了解，但仍很模糊。對(duì)力是如何影響運(yùn)動(dòng)的以及是不是引起物體運(yùn)動(dòng)的直接原因還認(rèn)識(shí)不清。自從亞里士多德時(shí)代以來(lái)，人們就曾樸素地認(rèn)為，重力是致使物體下落（位置變化）的直接原因，并且憑直覺(jué)直觀地認(rèn)為越重的物體下落越快。直到伽利略做出傳說(shuō)中的比薩斜塔實(shí)驗(yàn)，并在“關(guān)于兩門(mén)新科學(xué)的對(duì)話(huà)”等名篇中說(shuō)明了兩個(gè)不同重量（但同體積）的物體下落也能一樣快，通過(guò)實(shí)證推翻了近兩千年存在于人們頭腦中的不正確的東西。并將運(yùn)動(dòng)區(qū)分出速度與加速度的不同，并首次提出了加速度的概念。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，才由天才的牛頓總結(jié)出牛頓定律，說(shuō)明力是產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)變化的原因，而不是直接對(duì)運(yùn)動(dòng)（位置變化）發(fā)生影響。

伽利略自由落體實(shí)驗(yàn)給我們對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究帶來(lái)這樣啟示：它說(shuō)明重力在一般情況下雖然導(dǎo)致物體的下落（位置變化），但重力不是引起物體位置變化的直接原因，重力不與速度成正比，重力直接影響的實(shí)際上是加速度（速度的變化率）大小。若物體有加速度，則物體速度必然變化，物體最終位置當(dāng)然相應(yīng)發(fā)生變化。有重力，就有加速度，這是現(xiàn)代物理學(xué)常識(shí)，但正是這一點(diǎn)在當(dāng)時(shí)還經(jīng)歷了一個(gè)相當(dāng)漫長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)過(guò)程。

此解顯示出，價(jià)格將作無(wú)休止的波動(dòng)，并不收斂于均衡價(jià)格。與一階模型相比較，一階模型只收斂，不波動(dòng)；此處二階模型只波動(dòng)，不收斂。看來(lái)它們都未完全準(zhǔn)確反映價(jià)格既波動(dòng)又收斂的實(shí)際情況。

5 有阻尼二階微分模型建立

上述二階模型為什么不收斂于均衡價(jià)格，就在于該模型只考慮影響價(jià)格波動(dòng)的彈性因素，未考慮影響價(jià)格波動(dòng)的阻尼因素。而在蛛網(wǎng)模型中，阻尼因素是隱含存在于圖形之中的，故價(jià)格才能收斂于均衡價(jià)格。但蛛網(wǎng)模型只能給出了圖解結(jié)果。我們知道，在蛛網(wǎng)模型的討論中，并不是任意的供求彈性都能使價(jià)格自動(dòng)調(diào)節(jié)到均衡價(jià)格，在總共三種變化情形中其實(shí)只有一種情形才是收斂的，即是要求需求曲線(xiàn)的斜率ad大于供給曲線(xiàn)的斜率aS。否則就不收斂于均衡價(jià)格。

圖3 價(jià)格波動(dòng)隨時(shí)間變化關(guān)系

從圖3可以形象看出價(jià)格隨時(shí)間的瞬時(shí)變化關(guān)系，并圍繞均衡價(jià)格 p*上下波動(dòng)。波幅Aj=Ae-nTr是隨著時(shí)間的延長(zhǎng)而越來(lái)越小的，最后趨于零。這說(shuō)明這種二階模型比較好地反映了價(jià)格系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)均衡。在現(xiàn)實(shí)生活中，完全競(jìng)爭(zhēng)的農(nóng)產(chǎn)品市場(chǎng)與上述模型較為接近。可以用上述模型解釋農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格波動(dòng)規(guī)律。

6 二階微分模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷

余下的問(wèn)題是，假若有某種方法能夠確定二階模型中的參數(shù)n和ω或c和μ，那么描述價(jià)格波動(dòng)的微分方程就完全決定了下來(lái)。此時(shí)解決問(wèn)題的辦法是：如果價(jià)格波動(dòng)的周期能為某種統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)推斷出來(lái)，上述問(wèn)題就迎刃而解。

7 阻尼系數(shù)與供求彈性的關(guān)系分析

但是，上述計(jì)算二階模型參數(shù)的方法尚存在不足，它需借助于蛛網(wǎng)模型或需單獨(dú)計(jì)算兩個(gè)時(shí)期的Aj和Aj+1，然后才能計(jì)算出ln(Aj/Aj+1)。能不能直接預(yù)測(cè)出這些參數(shù)的數(shù)值呢？

因此，Aj/Aj+1=(ad/aS)2，則 n=ln(Aj/Aj+1)/Tr=2ln|ad/aS|/Tr。這樣就直接建立了阻尼系數(shù)n與供求彈性之間的關(guān)系。代入前述相應(yīng)數(shù)據(jù)后，可以立即算出阻尼系數(shù)n=2ln|12/8|/2=0.40546（1/年），仍然與前述計(jì)算結(jié)果相同。當(dāng)|ad|=|aS|時(shí)，價(jià)格系統(tǒng)將處于循環(huán)波動(dòng)之中。當(dāng)|ad|＜|aS|時(shí)，價(jià)格系統(tǒng)是發(fā)散的。只有當(dāng)|ad|＞|aS|時(shí)，價(jià)格系統(tǒng)波動(dòng)才是收斂的，這與前面蛛網(wǎng)模型的分析也是一致的。

8 結(jié)論

本文針對(duì)完全競(jìng)爭(zhēng)農(nóng)產(chǎn)品市場(chǎng)這一典型市場(chǎng)形態(tài)，運(yùn)用完全的數(shù)理分析方法，實(shí)證分析了西瓜的生產(chǎn)和銷(xiāo)售中的價(jià)格波動(dòng)過(guò)程，剖析了價(jià)格形成機(jī)理，得到了一些有趣的結(jié)論。其動(dòng)態(tài)分析以二階微分方程作為價(jià)格波動(dòng)的主要數(shù)學(xué)模型，是較為全面和準(zhǔn)確的。它雖不能準(zhǔn)確解釋現(xiàn)實(shí)生活中更多的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象（因其影響因素眾多，太復(fù)雜），但作為一種基本數(shù)理模型，二階微分模型還是揭示了價(jià)格波動(dòng)的本質(zhì)的，是在一種理想狀態(tài)中反映價(jià)格周期性波動(dòng)情況的。該法為市場(chǎng)供求關(guān)系中的價(jià)格動(dòng)態(tài)均衡分析帶來(lái)了新思路，并為價(jià)格均衡的數(shù)理分析增添了新方法。

[1]羅納德.肖恩（英）.，動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].吳漢洪等譯北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2003.

[2]馮濤.微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].西安：陜西人民出版社，2001.

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F016

A

1002-6487（2013）14-0058-04

（責(zé)任編輯/亦 民）