高等數(shù)學研究性教學方案探析

葛倩，李秀珍

(山東建筑大學理學院，山東 濟南 250101)

0 引言

近年來，在國家人才發(fā)展總戰(zhàn)略的指導下，教育部在《關(guān)于進一步加強高等學校本科教學工作的若干意見》中，特別提出“積極推動研究性教學，提高大學生的創(chuàng)新能力”[1]，本科研究性教學逐步成為高等教育教學改革的一個熱點。研究性教學以培養(yǎng)學生的認知能力和創(chuàng)新能力為主要特征，它不同于以單向性知識傳授和知識積累為主的傳統(tǒng)教學，在課堂教學中，強調(diào)發(fā)揮教師的主導作用和學生的主體作用，是“以類似于科學研究的方式組織教學和引導學生獲取、運用知識并培育學生創(chuàng)新精神、提高學生實踐能力的一種新型教學模式”[2]。研究性教學實質(zhì)上就是研討式教學、啟發(fā)式教學和參與式教學。教師以學生的知識積累和教學內(nèi)容為基礎，引導學生創(chuàng)造性地運用所學知識，積極主動地發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題;學生在研究過程中積累知識，鍛煉思維，培養(yǎng)能力，而不是被動地接受教師的灌輸。研究性教學將傳統(tǒng)的注重教師“教”轉(zhuǎn)變?yōu)樽⒅貙W生“學”，充分挖掘?qū)W生潛能，增強學生的學習主動性，而教師是學習的組織者與參與者[3]。高等數(shù)學是一門基礎課程，很大程度上影響著學生整個大學的學習，在高等數(shù)學教學中實施研究性教學，對于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，促進學生專業(yè)課的學習，都有著十分重要的作用。我們在課堂教學、教學實踐、教學資源、教學評價等方面對高等數(shù)學研究性教學的實施進行了探索和改革，努力構(gòu)建一個立體化的高等數(shù)學教學新模式。

1 高等數(shù)學研究性教學問題分析及方案設計

課堂教學是教學中最重要的一個環(huán)節(jié)，研究性教學意味著創(chuàng)新、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造，因此應著眼于教學生學會學習，從強調(diào)依靠教師“教會”，轉(zhuǎn)變?yōu)橐龑W生“學會”，并使學生“會學”，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，夯實學生“終身學習”的基礎。高等數(shù)學的教學就是一個發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程，是一個經(jīng)驗、理解和反思的研究過程，強調(diào)以學生為主體的學習活動對學生理解數(shù)學的重要性[4]。教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程，教師應該站在學生的角度，與學生一起互動研究。

1.1 發(fā)現(xiàn)問題

高等數(shù)學中的許多概念都有著廣泛的應用背景，因此，在學習一個新知識之前，可先由老師把實際問題提出來，引導學生思考，激發(fā)學生的學習興趣。比如在講解曲率的時候，我們先結(jié)合“4.28膠濟鐵路火車脫軌”的實際問題，提出“火車為何在彎道處脫軌”的問題，進一步通過分析鐵軌的彎曲程度與最高限速的關(guān)系、拱橋主拱圈彎曲程度與荷載等級的關(guān)系，提出“如何衡量曲線的彎曲程度”這一數(shù)學問題，從而引入曲率的概念。

1.2 分析問題

分析問題的過程是一個步步深入的過程，教師要扮演一個引導者、合作者的角色，可以通過問題組的方式給學生指明方向，引導學生類比和歸納，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程[5]，讓學生在解決問題的過程中不斷建構(gòu)和完善自己的知識體系，以達到教學目標的要求。

比如在給出曲率的概念推導曲率計算公式的過程中，我們是這樣引導的:

圖1

圖2

觀察上面兩圖，曲線的彎曲程度與哪些量有關(guān)呢?

(1)如圖1所示，弧長不等，切線轉(zhuǎn)角相等的曲線弧，彎曲程度有何不同?

(2)如圖2所示，弧長相等，切線轉(zhuǎn)角不同的曲線弧，彎曲程度有何不同?

整個推導是由學生在思考的過程中完成的，讓學生在體會到成功的喜悅的同時，也加深了對曲率概念的理解，避免了一知半解的死記公式。

再比如在講解利用格林公式計算曲線積分時，我們依次給出以下問題:

通過對這幾個相似題目的研究、探索，可以引領學生深層次地理解格林公式的適用條件，有效避免解題時機械地套用公式，鍛煉思維的靈活性。

1.3 解決問題

解決問題的過程是一個完善提高的過程。有些問題學生給出的方案中可能會有一些不夠完善的地方，甚至是錯誤，這就需要教師及時糾正總結(jié)，幫助學生規(guī)范解答過程，完善解題思路，提高數(shù)學素養(yǎng)和邏輯思維能力;有些問題還可能會有不同的解決方案，這需要教師引領學生總結(jié)比較，選出最佳方案。同時還應引導學生對所解決的問題進行延伸，舉一反三，觸類旁通。

比如上面推導出曲率的公式之后，可以帶領學生去討論直線、圓直至一般曲線的曲率，再結(jié)合前面提出的“火車脫軌”問題討論鐵路的緩和曲線，深入了解曲率在實際問題中的應用。再如在講完拉格朗日中值定理之后可以給出“四條腿一樣長的正方形椅子放在不平的地上是否總能放穩(wěn)”這個例子，讓學生體會到數(shù)學無處不在。

除了正常課堂教學外，我們采用多留思考題的方式，幫助學生養(yǎng)成深入思考、勤于思考的思維習慣。比如曲率一節(jié)講完后，給出“你能找到自己的方法度量曲線的彎曲程度嗎?”的問題讓學生課后思考。

2 高等數(shù)學研究性教學方法

2.1 創(chuàng)建實踐教學，促進學生的個性發(fā)展

高等數(shù)學雖不像物理、化學等學科一樣有具體的實驗操作，但也可以在教學中增加實踐教學的環(huán)節(jié)，像數(shù)學實驗、數(shù)學建模等，既能幫助學生理解所學知識，還能培養(yǎng)學生“用數(shù)學”的能力，進而提高創(chuàng)新能力。

數(shù)學實驗是計算機技術(shù)和數(shù)學軟件引入教學后出現(xiàn)的新事物，就是借助數(shù)學軟件用實驗的方法來學習掌握數(shù)學知識和解決數(shù)學問題。目的在于提高學生學習數(shù)學的積極性，提高學生對數(shù)學的應用意識并培養(yǎng)學生用所學的數(shù)學知識和計算機技術(shù)去認識問題和解決實際問題的能力，是學生認識數(shù)學規(guī)律、掌握數(shù)學技能的有效途徑[6]。Matlab軟件是一款常用的數(shù)學軟件，它具有語言簡潔緊湊、圖形功能豐富、操作方便靈活的特點[7]，在課堂上掌握了基本的數(shù)學概念之后，安排學生上機，嘗試用Matlab軟件解決相應的計算題，既可以解決課時不足的問題，提高效率;又為數(shù)學的思想與方法注入了更多、更廣泛的內(nèi)容，為學生自主解決工作學習中遇到的問題提供了方法、思路和經(jīng)驗。

在彌補數(shù)學知識遠離生活實際的方面，數(shù)學模型是一個極好的學習題材[8]，將數(shù)學建模的思想穿插到日常教學中去，將契合課程內(nèi)容的模型納入課程體系，可使學生對所學內(nèi)容有更切膚的體驗和深刻的理解。我們選取了一些學生感興趣的實際問題，像存款利息、如何控制體重、如何合理購物、傳染病傳播速度等，每一章內(nèi)容學完之后，給出一到兩個問題，引領學生根據(jù)本章所學知識建立數(shù)學模型，并嘗試用數(shù)學軟件求解數(shù)學模型，將數(shù)學實驗和數(shù)學建模有機結(jié)合，既增加了學生的學習興趣，又培養(yǎng)了學生的建模能力，切實達到了“學有用的數(shù)學”的目的[9]。

此外，充分利用第二課堂，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神。大學生蘊藏著巨大的學習潛力和探索熱情，對有些問題，我們采用討論班、小辯論的方式展開，讓學生在課下搜集、閱讀大量的材料之后到課堂上報告自己的論點、論據(jù)和證明方法。這樣可增強學生的主動性，提高學生的學習興趣，通過討論、辯論，加深了對知識的理解，有利于培養(yǎng)學生主動學習、自我探索的自學能力以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力。我們還組織了多種多樣的數(shù)學活動，像數(shù)學知識競賽、數(shù)學建模競賽、名師名家講座等等，使學生參與其中，激發(fā)他們的熱情，挖掘他們的潛能，有利于培養(yǎng)學生主動探索新知的學習習慣，營造積極向上的學習氛圍。

2.2 構(gòu)建立體化教學平臺，提供優(yōu)質(zhì)教學資源

研究性教學僅僅依靠課堂是遠遠不夠的，而應該向更廣闊的空間、時間進行延伸，讓學生學會自主獲取知識，這就需要各種學習資源的有力支持。

(1)建立多媒介、多形態(tài)、多用途、多層次的教學資源庫。

我們的資源庫既包括與日常教學相配套的優(yōu)質(zhì)教材、教學輔導書、CAI課件、教學視頻、習題庫等，供學生課前課后自學使用，還包括一些涉及數(shù)學文化、數(shù)學應用的課外閱讀材料，特別是一些英文經(jīng)典文獻，供學有余力的學生使用，以拓寬學生的視野，提高數(shù)學素養(yǎng)。

(2)充分發(fā)揮網(wǎng)絡優(yōu)勢，建立網(wǎng)絡互動教學平臺。

研究性教學是一個溝通與協(xié)作的過程，網(wǎng)絡正好提供了一個交流的空間[10]。為此我們建立了自己的教學網(wǎng)站，網(wǎng)站的建設以服務師生為目的，為方便學生查閱資料，我們將教學資源庫中的電子資源分欄目上傳，并建立清晰的欄目索引;為方便師生課下交流，還開設了網(wǎng)絡答疑、討論交流等欄目;我們還準備建立網(wǎng)絡自測系統(tǒng)，便于學生及時對自己的學習情況進行檢驗。

此外，為豐富學生的課余生活，我們開設了數(shù)學文化、數(shù)學實驗、高等數(shù)學應用等領域的公共選修課，滿足不同專業(yè)學生對數(shù)學知識的需求，給學生更多的選擇空間。

2.3 建立合理的教學評價體系，科學評價學生的學習過程

實施研究性教學的重點是教學過程而不是教學結(jié)果，評價方式應該由終結(jié)性評價轉(zhuǎn)向過程性評價[11]。對教師的評價不能僅看板書是否工整，聲音是否洪亮，層次是否清楚等，而應該從內(nèi)容組織、信息傳遞、師生互動、課堂氣氛、激發(fā)學生興趣等方面進行綜合評價。同時對學生的評價也應該從單一的閉卷考試向多元化的考核方式轉(zhuǎn)化，應貫穿于研究性教學實施前、中、后的全過程[12]，并從基本知識、基本能力、基本方法、基本素養(yǎng)、基本思想和基本活動經(jīng)驗等方面進行全面評價。為了調(diào)動學生平時學習的積極性，我們按照“1+1+x”的模式對學生進行綜合考核，“1+1”是平時成績加期末成績，平時成績主要根據(jù)學生日常的作業(yè)、出勤、課堂表現(xiàn)情況進行評價，期末考試重點考察學生對基本概念、基本理論、基本方法的理解和綜合應用能力，盡量避免繁雜的計算證明題?！皒”是一個開放性的評價，在教學過程中，結(jié)合所學知識，根據(jù)學生的專業(yè)特點，教師給出幾道綜合性的建模應用題，學生自主選擇題目，自由結(jié)合，合作交流，學期末以小論文或?qū)嶒瀳蟾娴男问教峤谎芯拷Y(jié)果，教師給出綜合評價。這樣既拓展了學生的學習方式，鍛煉了學生的研究能力，培養(yǎng)了學生的成就感，還為學生日后進行畢業(yè)設計打下了基礎。

總而言之，高等數(shù)學由傳統(tǒng)式教學向研究性教學的轉(zhuǎn)變是一個長期而系統(tǒng)的過程，這需要我們廣大的教師不斷地充實自己，提高科學素養(yǎng)，同時也需要硬件的支持和學生的配合。

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