以“趙爽弦圖”為模型的中考試題賞析

☉江蘇省泗陽(yáng)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 朱 浩

以“趙爽弦圖”為模型的中考試題賞析

☉江蘇省泗陽(yáng)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 朱 浩

勾股定理是刻畫(huà)直角三角形特征的一條重要定理，它的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證、應(yīng)用蘊(yùn)含著豐富的文化價(jià)值.中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對(duì)勾股定理進(jìn)行了證明.最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的是漢代數(shù)學(xué)家趙爽，他以“弦圖”為基本圖形，后人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”，利用出入相補(bǔ)原理證明了勾股定理，尤其是其中體現(xiàn)出來(lái)的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義.“趙爽弦圖”是一種驗(yàn)證勾股定理的圖形，如圖1所示.利用它驗(yàn)證勾股定理的主要思想是：利用兩種不同的方法計(jì)算同一圖形的面積，得到的結(jié)果應(yīng)該相等.在圖1中，以弦為邊長(zhǎng)的正方形是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的.設(shè)直角三角形中較短的直角邊長(zhǎng)為a，較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為b，斜邊長(zhǎng)為c，則每個(gè)直角三角形的面積為ab，中間小正方形的邊長(zhǎng)為b－a，其面積為（b－a）2.然后利用兩種不同的方法計(jì)算大正方形的面積可得等式c2=4×ab+（b－a）2，化簡(jiǎn)后即可得到勾股定理.在近幾年中考中，以“趙爽弦圖”為模型的一類(lèi)中考試題屢見(jiàn)不鮮.筆者從近幾年全國(guó)各地中考試題中選取具有代表性的幾例與同行分享，不足之處敬請(qǐng)批評(píng)指正.

例1（2009年貴州安順）圖2是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的.在Rt△ABC中，若直角邊AC=6，BC=5，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖3所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”，則這個(gè)風(fēng)車(chē)的外圍周長(zhǎng)（圖3中的實(shí)線）是______.

圖1

圖2

圖3

所以這個(gè)風(fēng)車(chē)的外圍周長(zhǎng)為4（DB+DE）=4×19=76.

點(diǎn)評(píng)：本題以“趙爽弦圖”為背景，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兓玫搅艘粋€(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”，主要考查學(xué)生利用勾股定理求直角三角形邊長(zhǎng)的能力．只要學(xué)生熟悉“趙爽弦圖”的特征及圖3的由來(lái)，就很容易求出EF=5，DB=BF=6．要求DE的長(zhǎng)，只需要找出DE所在的直角三角形，然后利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)，從而可得到“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”的外圍周長(zhǎng)．其實(shí)，利用圖3還可以設(shè)計(jì)出其他數(shù)學(xué)問(wèn)題，如求出“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”的面積，求△DBE的面積等．

例2（2010年廣西河池）如圖4是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形的面積為49，小正方形的面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列四個(gè)說(shuō)法：①x2+y2=49，②x－y=2，③2xy+4=49，④x+y=9.其中說(shuō)法正確的是（ ）.

A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④

圖5

圖4

解析：如圖5，因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e為49，小正方形的面積為4，所以AB2=49，EF2=4.所以AB=7，EF=2.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)有勾股定理與完全平方公式，用含有x，y的代數(shù)式表示正方形ABCE與正方形EFGH的面積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，首先要根據(jù)已知得到x2+y2=49與（x－y）2=4，然后利用完全平方公式即可求出代數(shù)式2xy+4與x+y的值.

例3（2011年浙江溫州）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”（如圖6）.圖7由“弦圖”變化得到的，它是用八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3. 若S1+S2+S3=10，則S2的值是______.

圖6

圖7

點(diǎn)評(píng)：本題巧妙地將“趙爽弦圖”與正方形網(wǎng)格相結(jié)合，得到了正方形ABCD、正方形EFGH和正方形MNKT，這三個(gè)正方形的面積都與構(gòu)成弦圖的直角三角形的邊長(zhǎng)有關(guān).由勾股定理可知，已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)即可求出第三邊的長(zhǎng)，所以只要設(shè)CG=a，CF=b，就可利用勾股定理表示出FG的長(zhǎng)，這也是解決此題的關(guān)鍵之處；然后用含有a、b的代數(shù)式表示出三個(gè)正方形的面積，結(jié)合S1+S2+S3=10可得到關(guān)于a、b的方程.雖然不能直接求出a、b的長(zhǎng)，但可求得a2+b2的值，由此即可得出正方形EFGH的面積，這也體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題方法.

圖8

例5 （2011年安徽）如圖9，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條平行線l1、l2、l3、l4上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0）.

（1）求證：h1=h3；

（2）設(shè)正方形ABCD的面積為S，求證：S=（h1+h2）2+h12；

圖9

解析：如圖10，過(guò)A作AG⊥l3，分別交l2、l3于點(diǎn)H、G.過(guò)點(diǎn)C作CE⊥l2，分別交l2、l3于點(diǎn)E、F.

點(diǎn)評(píng)：本題將正方形與平行線相結(jié)合，主要考查全等三角形的性質(zhì)和判定、二次函數(shù)的性質(zhì)．初看此題，感覺(jué)無(wú)從下手，其實(shí)圖中隱藏著“趙爽弦圖”，在解題時(shí)若能適當(dāng)添加輔助線，即可構(gòu)造出“趙爽弦圖”，聯(lián)想到“趙爽弦圖”的特點(diǎn)，也可為本題提供解題思路，這也是本題的難點(diǎn)之所在.因此，在教學(xué)中，一定要關(guān)注圖形模型，這些圖形模型的通性通法在解決中考試題時(shí)有著重要的導(dǎo)向作用.

唯獨(dú)有偶，2012年濱州市中考試題中也出現(xiàn)了與此類(lèi)似的問(wèn)題，不同的是將平行線l1、l2、l3、l4間的距離都變?yōu)?個(gè)單位長(zhǎng)度，但其本質(zhì)并沒(méi)有改變，由于圖形中已有“趙爽弦圖”的影子，這在一定程度上降低了試題的難度.

例6 （2012年山東濱州）如圖11，l1、l2、l3、l4是一組平行線，相鄰兩條平行線間的距離都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，正方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D都在這些平行線上.過(guò)點(diǎn)A作AF⊥l3于點(diǎn)F，交l2于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥l2于點(diǎn)E，交l3于點(diǎn)G.

（2）求正方形ABCD的面積；

（3）如圖12，如果四條平行線不等距，相鄰的兩條平行線間的距離依次為h1，h2，h3，試用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面積S.

圖1 1

圖1 2

例7（2013年北京）閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖13，在邊長(zhǎng)為a（a＞2）的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當(dāng)∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°時(shí)，求正方形MNPQ的面積.

小明發(fā)現(xiàn)：分別延長(zhǎng)QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個(gè)全等的等腰直角三角形（如圖14）.

請(qǐng)回答：

（1）若將上述四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)新的正方形（無(wú)縫隙，不重疊），求這個(gè)新的正方形的邊長(zhǎng)；

（2）求正方形MNPQ的面積.

（3）參考小明思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：

圖1 3

圖1 4

圖1 5

分析：（1）四個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為a，故其拼成的正方形的邊長(zhǎng)為a.

（2）如圖14所示，正方形MNPQ的面積等于四個(gè)虛線小等腰直角三角形的面積之和，據(jù)此可求出正方形MNPQ的面積.

（3）參照小明的解題思路，對(duì)問(wèn)題做同樣的等積變換.如圖16所示，三個(gè)等腰△RGF，△PDH，△QEI的面積和等于等邊△ABC的面積，故陰影三角形的面積等于三個(gè)虛線等腰三角形的面積之和，由此列方程可求出AD的長(zhǎng).

圖1 6

圖1 7

解：（1） 如圖14，由已知易知，AR=BF，SB=CG，DH=CT，AE=DW.

所以拼成的新的正方形的邊長(zhǎng)為a.

（3）如圖16，分別延長(zhǎng)RD，PE，QF，交CA，AB，BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，H，I，可得△RGF，△PDH，△QEI是三個(gè)全等的等腰三角形.

將這三個(gè)等腰三角形拼成一個(gè)新的三角形（無(wú)縫隙，不重疊），則這個(gè)新的三角形的邊長(zhǎng)與等邊△ABC的邊長(zhǎng)相等.

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了幾何圖形的等積變換，涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、正三角形、解直角三角形等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．通過(guò)本題可使學(xué)生體會(huì)到運(yùn)用等積變換的數(shù)學(xué)思想不僅簡(jiǎn)化了幾何計(jì)算，而且形象直觀，易于理解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力．在古印度出現(xiàn)過(guò)一種拼圖證明勾股定理的方法，具體做法是：如圖17，首先用一條垂直線和一條水平線將直角三角形較長(zhǎng)直角邊所對(duì)應(yīng)的正方形分成四份，然后通過(guò)平移將兩條直角邊所對(duì)應(yīng)的正方形填入斜邊所對(duì)應(yīng)的正方形之中，便可完成定理的證明，被譽(yù)為“無(wú)字的證明”．本題便是以圖17為模型的中考試題，本題構(gòu)思新穎，設(shè)計(jì)巧妙，是一道不可多得的好題．為了降低試題的難度，本題以閱讀理解題的形式呈現(xiàn)，解答這類(lèi)試題時(shí)首先需要仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真研究材料中介紹的基本方法，透過(guò)閱讀材料看出解決這類(lèi)試題時(shí)應(yīng)采用的解題方法，然后通過(guò)類(lèi)比的方法，結(jié)合所學(xué)知識(shí)靈活地去解答．這類(lèi)試題有利于培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力和創(chuàng)新思維，能培養(yǎng)學(xué)生自主獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，并提高運(yùn)用所獲得的知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

以上所列舉的全國(guó)各地中考試題均以“趙爽弦圖”為背景，真正做到了將數(shù)學(xué)文化滲入了中考.廣大一線教師應(yīng)當(dāng)借助中考試題的引領(lǐng)和導(dǎo)向作用，將數(shù)學(xué)文化真正滲入教材、進(jìn)入課堂、融入教學(xué)，讓數(shù)學(xué)教學(xué)變得生動(dòng)有趣，不但可使學(xué)生理解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)、熱愛(ài)數(shù)學(xué)，而且還可以激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情和學(xué)習(xí)激情，從而真正做到“情感教育”與考試功能的有機(jī)結(jié)合.

1.張寧.以勾股圖為模型的中考試題及其變式探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（1）.