自由曲面數(shù)控加工的實時自適應(yīng)進給速度規(guī)劃算法

董靖川，王太勇，丁彥玉，李 勃，劉 喆

（1. 天津大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院，天津 300072；2. 天津大學(xué) 機構(gòu)理論與裝備設(shè)計教育部重點實驗室，天津300072；3. 天津大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津，300072）

0 引言

進給速度規(guī)劃對數(shù)控機床的加工效率、輪廓精度、振動和表面質(zhì)量等方面有重要影響。對于自由曲面的加工，CAM軟件生成的程序包含了大量的由小線段組成的刀具路徑。數(shù)控系統(tǒng)需要在機床性能的約束條件下對進給速度曲線進行優(yōu)化，以減少加工時間并獲得平滑的進給運動。

為了實現(xiàn)小線段程序的高速平滑加工，在數(shù)控系統(tǒng)中引入了前瞻算法。前瞻算法提前預(yù)讀若干程序段，并通過對預(yù)讀程序段的分析實施加減速處理。Han等人[1]引入了預(yù)讀緩沖區(qū)實現(xiàn)對小線段的速度規(guī)劃。Hu等人[2]討論了小線段轉(zhuǎn)角的約束條件，并對前瞻段數(shù)和時間的關(guān)系進行了仿真。Luo等人[3]發(fā)表一種通過雙向鏈表數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)的通過速度規(guī)劃算法。Ye等人[4,5]對小線段幾何特征進行分類，引入了包含多個小線段的規(guī)劃元。但是該方法中要求規(guī)劃元內(nèi)小線段數(shù)目基本相等，而且需要根據(jù)經(jīng)驗指定。

小線段路徑在轉(zhuǎn)角位置具有方向不連續(xù)性。為了提高加工速度，降低沖擊，很多學(xué)者應(yīng)用曲線擬合或插值的方法修改程序中的加工路徑以提高連續(xù)性[6～8]。但曲線構(gòu)造、速度規(guī)劃和插補的方法需要的運算量非常大，而且會產(chǎn)生一定的誤差。實際上，在生成自由曲面加工程序時，由于原始刀具路徑本身是連續(xù)曲線，可以通過提高CAM軟件的直線擬合精度減小生成的程序中相鄰小線段間的方向變化。但在復(fù)雜曲面加工中，刀具路徑的曲率變化范圍很大，在高曲率位置如果以高速進給會產(chǎn)生很大的沖擊，需要進行適當控制[10]。同時，在不同曲面相交的位置刀具進給方向也會發(fā)生突變，需要預(yù)先檢測并處理。

本文針對自由曲面數(shù)控加工的小線段程序，提出了一種自適應(yīng)進給速度規(guī)劃算法。通過分析小線段間幾何關(guān)系對曲率進行估計，在此基礎(chǔ)上實施進給速度調(diào)整。同時檢測進給速度具有較大突變的轉(zhuǎn)角位置，進行速度限制。在前瞻處理中采用了具有限制加加速度的7段加減速曲線，給出了不同情況下的規(guī)劃解。在該算法中開發(fā)了目標速度濾波器，以減小進給速度波動，并降低速度規(guī)劃單元的數(shù)量，減少實時運算負擔(dān)。最后，通過仿真和實際加工測試驗證了本文算法的有效性。

1 自適應(yīng)進給速度調(diào)整

1.1 加工路徑曲率估計

在自由曲面的高速加工中，如果采用恒定的進給速度加工，那么在到達刀具路徑曲線上大曲率的位置時將產(chǎn)生極大的加速度沖擊，導(dǎo)致輪廓誤差增大和機床結(jié)構(gòu)振動。為了達到平穩(wěn)的加工效果，數(shù)控系統(tǒng)需要在大曲率位置自動減速，降低法向加速度。在三維空間中，對于解析式已知的參數(shù)曲線，曲率κ可由下式確定：

然而，對于由微小線段組成的加工路徑，無法獲得曲率的解析表達式，因此只能根據(jù)線段間的幾何關(guān)系對曲率進行估算。

首先考慮對于圓的等弦高誤差小線段逼近，如圖1所示。其中，φ為兩個小線段間的夾角，S為小線段長度，則可求得半徑R為：

注意到在生成自由曲面的數(shù)控加工程序時，為了減少小線段的數(shù)目，CAM軟件同樣會采取等弦高誤差的方法用小線段生成加工路徑?？梢愿鶕?jù)小線段的長度及線段間的夾角構(gòu)造一個近似曲率圓?C，如圖2所示，并用其半徑作為曲率半徑的估計。假設(shè)加工路徑上某個小線段的長度為S，該線段與上一線段間的夾角為φ，則曲率半徑估計值?ρ為：

圖1 圓的等弦高誤差小線段逼近

圖2 小線段加工路徑的曲率半徑估計

按照式和估計曲率時，需要進行耗時的三角函數(shù)計算。在實時速度規(guī)劃中，可以用以下方法避免三角函數(shù)計算。如圖3所示，假設(shè)相鄰兩個小線段的單位方向向量分別為1e和2e，則：

單位方向向量e1和e1還可以進一步用于插補計算。

圖3 用向量關(guān)系求解

1.2 進給速度調(diào)整

若刀具路徑上某一點的曲率為κ，進給速度為v，則該點的法向加速度nA為：

假設(shè)加工過程中允許的最大法向加速度為Anmax，曲率半徑估計值為κ?，由式可知進給速度v應(yīng)滿足：

對于刀具路徑上一個小線段，假設(shè)其編程進給速度為pv，則其目標運行速度tv可設(shè)置為：

另外，如圖3所示，在加工路徑的上兩個小線段的夾角位置，由于有速度方向的突變，可能造成沖擊。在對連續(xù)曲面加工時，一般相鄰小線段間夾角接近180°，沖擊較小。但在刀具路徑不連續(xù)的地方，例如兩個曲面的相交位置，則可能造成較大沖擊。因此必須限制速度突變。設(shè)伺服系統(tǒng)允許的最大突變?yōu)閙axvΔ，則轉(zhuǎn)角處進給速度cv應(yīng)滿足：

2 前瞻速度規(guī)劃

2.1 限制加加速的加減速方法

對于運動路徑上的每一個速度規(guī)劃單元（簡稱規(guī)劃元），給定其運動距離、起始速度、目標速度和結(jié)束速度，為了獲得平滑的進給運動，需要應(yīng)用適合的加減速方法得到其速度規(guī)劃曲線。限制加加速度的加減速方法具有連續(xù)的梯形加速度曲線，減少了對結(jié)構(gòu)的沖擊。完整的加減速曲線包含7段[9]，如圖4所示。圖中，t，S，v，A，J分別表示時間，位移，速度，加速度和加加速度。在每個段內(nèi)的運動方程為

根據(jù)機床特性，可以設(shè)定最大加加速度J和最大加速度Amax，則最大加加速時間Tj為:

在對小線段路徑進行速度規(guī)劃時，在長度較短或速度變化較小的情況下，加減速曲線可能少于7段。速度規(guī)劃需要確定加減速曲線包含哪些階段，并確定各階段的運行時間。給定規(guī)劃元長度S，起始速度vs，目標運行速度vt和目標結(jié)束速度vet，通過位移方程和速度方程可解出各段運行時間，具體規(guī)劃算法如下：

圖4 完整的限制加加速度加減速曲線

1）計算臨界距離1cS

4）計算臨界距離c4S

6）計算臨界距離c5S

在求解某些規(guī)劃結(jié)果時需要解高次多項式方程，可以采用Newton-Raphson迭代方法求得數(shù)值解，其中迭代初始值可設(shè)為

2.2 前瞻速度規(guī)劃

在速度規(guī)劃中，為了減少不必要的加減速，縮短加工時間，希望每個規(guī)劃元的目標結(jié)束速度vet盡量大。在實時前瞻速度規(guī)劃中，控制器通過提前預(yù)讀多個規(guī)劃元確定當前規(guī)劃元的 vet。假設(shè)前瞻緩沖區(qū)內(nèi)已預(yù)讀了N個規(guī)劃元，其中第k個規(guī)劃元的長度和目標速度分別為 S (k)和 vt(k)，由式確定的第 k -1個和第k個規(guī)劃元間的轉(zhuǎn)接點速度限制為 vc(k - 1 )，設(shè) vme(N)=0，則以第N段到第1段的順序依次應(yīng)用以下反向速度規(guī)劃得到 vet。

2.3 目標速度濾波器

由前瞻算法原理可知，速度元的數(shù)量決定了速度規(guī)劃的實時計算量和加減速的次數(shù)。在加工小線段程序時，如果將每個小線段視為一個規(guī)劃元，則需要大量實時運算，同時加減速限制在每個小線段內(nèi)部，造成過多加減速。為此，本文提出了目標速度濾波器算法，以減少規(guī)劃元的數(shù)量。假設(shè)第k段小線段的目標運行速度為 vtin(k)，則對應(yīng)的濾波器輸出 vtout(k)為

式中a為濾波器參數(shù)，取值范圍[0,1)。目標速度濾波器的作用是，在目標速度變化較小時，延遲目標速度的變化，使相鄰的小線段盡可能以相同的目標進給速度運行，如圖5所示。

圖5 目標速度濾波

若第k段和第 k + 1 段的轉(zhuǎn)角限制速度為 vc(k)，則對于滿足 vtout(k)= vtout(k + 1 )且的相鄰兩個小線段可以合并到一個規(guī)劃元。通過反復(fù)執(zhí)行合并，一個規(guī)劃元可以包含多個微小線段。可見，目標速度濾波器減少了規(guī)劃元數(shù)量，提高了加工效率。

3 實驗測試

首先，在matlab軟件中驗證本文提出的實時自適應(yīng)進給速度規(guī)劃算法的有效性，測試軌跡如圖6所示。該平面圖形由1498條小線段構(gòu)成。根據(jù)本文算法獲得的曲率估計如圖7所示。軌跡規(guī)劃中編程進給速度為1000mm/min，前瞻規(guī)劃緩沖區(qū)大小為10個規(guī)劃元，允許的最大速度突變?yōu)?0mm/s，最大法向加速度為50mm/s2，最大加加速度為50000mm/s3，最大加速度為2500mm/s2，濾波器參數(shù)為0.3。在未開啟目標速度濾波器和開啟目標速度濾波器的情況下，規(guī)劃結(jié)果分別如圖8和圖9所示。可見，開始目標速度濾波器后，速度波動明顯減少，運動軌跡更加平滑，總體運行時間也更少。同時可以看出，進給速度在尖角處和高曲率位置處自動下降，防止產(chǎn)生沖擊，實現(xiàn)了自適應(yīng)調(diào)整。

圖6 平面測試刀具路徑軌跡

圖7 平面測試刀具軌跡曲率估計

圖8 未開啟目標速度濾波器的規(guī)劃結(jié)果

圖9 開啟目標速度濾波器的規(guī)劃結(jié)果

為了驗證實際加工自由曲面零件時的效果，在自行開發(fā)的運動控制卡上實現(xiàn)了本文的算法。該運動控制卡基于ARM處理器和FPGA芯片，其實物如圖10所示。實際加工在一臺加工中心上進行。測試加工程序為三軸聯(lián)動曲面銑削，包含大量小線段，其曲率估計結(jié)果如圖11所示。由于測試程序的進給方向與X軸呈45度夾角，因此看以看出曲率分布并不對稱。測試時編程進給速度為2000mm/min，前瞻規(guī)劃緩沖區(qū)大小為100個規(guī)劃元，允許的最大速度突變?yōu)?0mm/s，最大法向加速度為1000mm/s2，最大加加速度為10000mm/s3，最大加速度為500mm/s2，濾波器參數(shù)為0.3。在加工過程中切削進給平穩(wěn)，沒有振動現(xiàn)象，實際加工效果如圖12所示。

圖10 運動控制卡實物

圖11 曲面銑削刀具路徑的曲率估計結(jié)果

圖12 測試加工的零件

4 結(jié)論

本文針對自由曲面的小線段程序加工問題提出了一種實時自適應(yīng)進給速度規(guī)劃算法。該算法能夠?qū)庸ぢ窂降那蔬M行估計，并在高曲率位置和大速度突變位置自動實施減速，實現(xiàn)了自適應(yīng)進給速度調(diào)整。通過限制加加速的前瞻速度規(guī)劃處理實現(xiàn)了平滑的進給速度曲線。目標速度濾波器的應(yīng)用減少了規(guī)劃元數(shù)量，降低了實時規(guī)劃運算量。仿真和實際加工測試驗證了本文算法的可行性。與傳統(tǒng)方法相比，本文方法不但能夠?qū)崿F(xiàn)基于曲率估計的自適應(yīng)平滑速度規(guī)劃，而且有效降低了小線段程序的前瞻處理運算量，有利于實現(xiàn)高性能數(shù)控加工。

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