脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)的模擬方法及其在輸電線路風(fēng)振計(jì)算中的應(yīng)用

沈國(guó)輝，黃俏俏，郭 勇，邢月龍，樓文娟，孫炳楠

（1．浙江大學(xué) 土木工程學(xué)系，浙江 杭州 310058；2．浙江省電力設(shè)計(jì)院，浙江 杭州 310007）

0 引 言

結(jié)構(gòu)風(fēng)振時(shí)程分析需要有作為輸入的脈動(dòng)風(fēng)荷載，由于輸電塔是格構(gòu)式透空結(jié)構(gòu)，不能像房屋結(jié)構(gòu)那樣采用測(cè)壓試驗(yàn)獲得脈動(dòng)風(fēng)荷載，因此需要采用人工模擬方法來(lái)獲得。脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)的模擬主要是具有相關(guān)性的風(fēng)速時(shí)程模擬，在風(fēng)速時(shí)程基礎(chǔ)上獲得脈動(dòng)風(fēng)荷載時(shí)程。

脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)的模擬方法中，主要采用諧波合成法［1－4］（WAWS法）和線性濾波法［5－8］（AR 法）。以往的研究中，在輸電塔的風(fēng)場(chǎng)模擬方面以上兩種方法均有采用［9－10］，在輸電塔線體系的風(fēng)場(chǎng)模擬上只有采用諧波分解法［11－12］的實(shí)例。在應(yīng)用諧波合成法時(shí)，風(fēng)譜有多種選擇，算法也有很多，如基于快速傅里葉變換（FFT）［11］和基于特征值分解（POD）［13］等，模擬的風(fēng)場(chǎng)還有一維風(fēng)場(chǎng)［11］和三維風(fēng)場(chǎng)的區(qū)分［12］?？梢?jiàn)脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)的模擬有很多選擇，使查閱這些文獻(xiàn)的讀者感到迷惑，同時(shí)根據(jù)筆者的廣泛文獻(xiàn)查閱，并沒(méi)有研究針對(duì)各種方法的適用性和計(jì)算效率進(jìn)行過(guò)對(duì)比，也沒(méi)有研究比較過(guò)各種模擬方法得到的計(jì)算結(jié)果。

基于以上背景，本文應(yīng)用各種脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)的模擬方法模擬出輸電塔和塔線體系的脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)，考慮一維風(fēng)場(chǎng)和三維風(fēng)場(chǎng)情況，對(duì)比各種方法的計(jì)算效率和計(jì)算結(jié)果，分析各種模擬方法的適用性和等價(jià)性，最后討論單塔和塔線體系風(fēng)振計(jì)算結(jié)果的差異，對(duì)輸電線路和其他構(gòu)筑物的脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)模擬具有工程參考價(jià)值。

1 脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)的數(shù)值模擬方法綜述

1．1 諧波合成法（WAWS法）

Rice［1］提出諧波合成法的基本思想，模擬一維單變量的平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程。Shinozuka［2］提出用WAWS法模擬平穩(wěn)隨機(jī)場(chǎng)的基本理論，解決多變量均勻高斯隨機(jī)過(guò)程，如下式所示：

式中，Hik（ωl）為互功率譜密度矩陣S（ωl）的 Cholesky分解矩陣H（ωl）中的元素，ψkl為兩個(gè)不同作用點(diǎn)之間的相位角，θik為介于0～2π之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，m 為模擬的點(diǎn)數(shù)。Yang等［3］在計(jì)算中綜合FFT技術(shù)，大大提高該類方法的計(jì)算效率。為獲得較長(zhǎng)的模擬周期，Deodatis［4］引入雙索引頻率概念，消除模擬過(guò)程中的周期性。

當(dāng)模擬的點(diǎn)數(shù)較多時(shí)，需要對(duì)每一個(gè)模擬點(diǎn)的互譜密度矩陣進(jìn)行Cholesky分解，計(jì)算量很大，同時(shí)考慮相位角后的互譜密度矩陣為復(fù)數(shù)矩陣，有可能變成不正定而導(dǎo)致互譜密度矩陣不能進(jìn)行Cholesky分解。李黎等［13］用POD分解來(lái)代替Cholesky分解，解決了該問(wèn)題，如下所示：

式中φk（ω）和ηk（ω）是S（ω）的特征向量和特征值。若前Ns階振型包含的能量足夠大，采用模態(tài)截?cái)嗉夹g(shù)，可以大大提高計(jì)算效率：

基于POD分解的WAWS法得到的隨機(jī)風(fēng)速時(shí)程模擬公式為：

1．2 線性濾波器法（AR法）

Gerch等［5］首先提出將線性濾波技術(shù)用于生成隨機(jī)時(shí)間序列等工程問(wèn)題，Li等［6］對(duì)線性濾波法進(jìn)行了不斷改進(jìn)，發(fā)展了可以用AR、ARMA等模型模擬多維多變量的隨機(jī)過(guò)程，曾憲武［7］、鮑侃袁［8］等都在脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)模擬中應(yīng)用了AR法。線性濾波器法實(shí)質(zhì)上是由前面連續(xù)幾個(gè)時(shí)刻的隨機(jī)量來(lái)推導(dǎo)后面特定時(shí)刻的隨機(jī)量，具有時(shí)間相關(guān)性。

AR法可考慮各個(gè)模擬點(diǎn)的空間相干性，但AR法不像WAWS法無(wú)條件收斂，時(shí)間步長(zhǎng)不能太小，太小精度反而會(huì)降低，時(shí)間步長(zhǎng)一般不小于0．1s。脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程可由下式來(lái)模擬：

式中，X，Y，Z為坐標(biāo)向量矩陣，p為模型階數(shù)，Δt是模擬風(fēng)速時(shí)程的時(shí)間步長(zhǎng)，Ψk為自回歸系數(shù)矩陣，N（t）為均值為零且具有給定協(xié)方差的正態(tài)分布隨機(jī)過(guò)程。

2 輸電線路的實(shí)例及其風(fēng)場(chǎng)模擬

2．1 輸電塔和塔線體系介紹

以某輸電線路為例進(jìn)行分析，輸電塔總高為34m，呼稱高為26m，塔身平面形狀為正方形，如圖1所示。輸電線由3根導(dǎo)線和2根地線組成，導(dǎo)線的掛線絕緣子長(zhǎng)度為3m，檔距為300m。導(dǎo)（地）線型號(hào)及相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 導(dǎo)（地）線的型號(hào)及參數(shù)Table 1 Model and characteristics of wire

單塔的有限元建模時(shí)采用三維梁?jiǎn)卧獊?lái)模擬輸電塔的桿件，節(jié)點(diǎn)板和爬梯等采用質(zhì)量單元來(lái)模擬，每個(gè)塔由564個(gè)梁?jiǎn)卧?8個(gè)質(zhì)量單元組成，單塔的有限元模型如圖1所示。塔線體系包含兩個(gè)輸電塔和三檔輸電線，每檔內(nèi)輸電線采用100個(gè)僅受拉的三維桿單元［14］來(lái)模擬，絕緣子采用三維桿單元來(lái)模擬，塔線體系的有限元模型如圖2所示。

圖1 單塔的有限元模型Fig．1 Finite element model of isolated tower

圖2 塔線體系的有限元模型Fig．2 Finite element model of tower line system

2．2 輸電塔和塔線體系的脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)模擬

針對(duì)輸電塔和塔線體系分別模擬其順風(fēng)向的脈動(dòng)風(fēng)，本文以橫導(dǎo)線方向作為正迎風(fēng)方向。采用常見(jiàn)的3種方法進(jìn)行風(fēng)場(chǎng)模擬：（1）基于FFT變換的WAWS法（WAWS，F(xiàn)FT）；（2）基于POD分解算法的 WAWS法（WAWS，POD）；（3）AR 法。在基于POD分解算法的WAWS法計(jì)算中，單塔的截止振型數(shù)Ns取20，塔線體系的Ns取50，在AR法中自回歸階數(shù)p取4。

國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者給出了各種順風(fēng)向的風(fēng)速譜，如Davenport譜、Harris譜和Kaimal譜等，本文計(jì)算采用Davenport譜：

式中V10為10m高度的基本風(fēng)速，k為地面粗糙度系數(shù)。

頻域內(nèi)脈動(dòng)風(fēng)的相干特性采用相干函數(shù)來(lái)表示，相干函數(shù)是沿距離遠(yuǎn)近呈指數(shù)衰減的曲線。常用的有Davenport相干函數(shù)、日本規(guī)范AIJ建議的相干函數(shù)和鹽谷（Shiotani）相干函數(shù)。本文采用Davenport提出的相干函數(shù)［15］：

指數(shù)衰減系數(shù)為：

表2給出了脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)模擬的參數(shù)，其中單塔工況沿高度模擬34個(gè)點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)于迎風(fēng)面的各層節(jié)點(diǎn)；塔線體系包括兩個(gè)輸電塔和三檔輸電線，輸電線中的導(dǎo)線和地線每隔30m設(shè)置一個(gè)模擬點(diǎn)，塔線體系共有227個(gè)模擬點(diǎn)。

表2 各種模擬情況選取的參數(shù)Table 2 Calculating parameters used in different simulations

2．3 風(fēng)振時(shí)程分析的計(jì)算方法

利用風(fēng)場(chǎng)模擬方法得到風(fēng)速時(shí)程，可轉(zhuǎn)化得到脈動(dòng)風(fēng)荷載時(shí)程，作用于結(jié)構(gòu)上任一點(diǎn)M坐標(biāo)的瞬時(shí)風(fēng)速u（M，t）由兩部分組成：平均風(fēng)速ˉu（M）和脈動(dòng)風(fēng)速u′（M，t），根據(jù)準(zhǔn)定常假定，結(jié)構(gòu)上任意一點(diǎn)所受的風(fēng)荷載F（M，t）計(jì)算公式為：式中ρ為空氣的密度，CD為構(gòu)件的截面阻力系數(shù)，A為該區(qū)域結(jié)構(gòu)的迎風(fēng)面積。將風(fēng)荷載直接施加于輸電塔和塔線體系的三維有限元模型上相應(yīng)層的各個(gè)節(jié)點(diǎn)上，采用Newmark法進(jìn)行時(shí)程分析，計(jì)算中考慮結(jié)構(gòu)的幾何非線性。

3 基于一維風(fēng)場(chǎng)模擬的計(jì)算結(jié)果

一維風(fēng)場(chǎng)只考慮順風(fēng)向，只用順風(fēng)向的風(fēng)速譜進(jìn)行分析，不考慮橫風(fēng)向、豎直向與順風(fēng)向的相關(guān)性。

3．1 單塔情況下的風(fēng)致響應(yīng)

分別采用上述三種脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)的模擬方法，模擬單塔34個(gè)節(jié)點(diǎn)的風(fēng)速時(shí)程，三種模擬方法的計(jì)算效率如表3所示。表3中的所有數(shù)據(jù)為在同一臺(tái)計(jì)算機(jī)中的計(jì)算時(shí)間，表3中括號(hào)內(nèi)數(shù)字表示模擬的點(diǎn)數(shù)，一維表示模擬一維風(fēng)場(chǎng)，三維表示模擬三維風(fēng)場(chǎng)。由表3的第一行數(shù)據(jù)可知，三種方法都可以進(jìn)行單塔在一維風(fēng)場(chǎng)下的數(shù)值模擬，速度均較快。

表3 各種工況下各種方法的計(jì)算效率Table 3 Calculating efficiency of different simulations using different methods

為了驗(yàn)證上述三種方法模擬脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程的有效性，用PSD函數(shù)對(duì)風(fēng)速時(shí)程求自功率譜S（n），與Davenport譜進(jìn)行比較，第30個(gè)模擬點(diǎn)的PSD譜和Davenport譜的比較見(jiàn)圖3。由圖3可知，上述三種方法模擬獲得的風(fēng)速時(shí)程PSD譜和目標(biāo)譜吻合很好，說(shuō)明上述三種方法均能有效地模擬隨機(jī)風(fēng)速時(shí)程。三種方法的相干性也吻合較好，限于篇幅，在此不再給出。

根據(jù)三種風(fēng)場(chǎng)模擬方法得到的風(fēng)速時(shí)程，進(jìn)行輸電塔的風(fēng)振時(shí)域分析，獲得輸電塔各高度的位移和加速度響應(yīng)的均方根σs和σa，如圖4所示，圖中縱坐標(biāo)的高度h數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)于輸電塔迎風(fēng)面右側(cè)各層節(jié)點(diǎn)，以下各圖同。由圖4可見(jiàn)三種模擬方法得到的位移和加速度響應(yīng)基本一致，說(shuō)明三種模擬方法均可以用來(lái)模擬單塔在一維情況下的脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)。

3．2 塔線體系情況下的風(fēng)致響應(yīng)

對(duì)塔線體系的227個(gè)點(diǎn)進(jìn)行風(fēng)速時(shí)程模擬，由于模擬的點(diǎn)數(shù)較多，互譜密度矩陣出現(xiàn)不正定情況，無(wú)法進(jìn)行Cholesky分解，則基于FFT變換的WAWS法不能應(yīng)用。因此塔線體系的風(fēng)場(chǎng)模擬采用基于POD分解算法的WAWS法和AR法。塔線體系227個(gè)節(jié)點(diǎn)風(fēng)速模擬所需的時(shí)間見(jiàn)表3，可以發(fā)現(xiàn)AR法的效率不如基于POD分解的WAWS法。圖5給出基于上述兩種模擬方法計(jì)算獲得的位移和加速度響應(yīng)均方根，可以發(fā)現(xiàn)兩種方法的計(jì)算結(jié)果比較接近，兩種方法均適用于塔線體系的脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)模擬。

圖5 塔線體系工況的風(fēng)致響應(yīng)Fig．5 Wind－induced responses of tower line system

3．3 單塔和塔線體系情況的比較

前面2節(jié)分別針對(duì)單塔和塔線體系的風(fēng)振響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算，下面以基于POD分解算法的WAWS法計(jì)算結(jié)果為例，分析單塔和塔線體系響應(yīng)的差別，如圖6所示。由圖6可知，對(duì)于位移和加速度響應(yīng)的均方根，塔線體系的結(jié)果均比單塔大。在對(duì)輸電線路進(jìn)行風(fēng)振分析時(shí)，建議考慮塔線體系情況。

4 基于三維風(fēng)場(chǎng)模擬的計(jì)算結(jié)果

上一節(jié)的一維風(fēng)場(chǎng)只考慮了順風(fēng)向，而忽略風(fēng)場(chǎng)在順風(fēng)向、橫風(fēng)向和豎直向的相關(guān)性，下面為考慮三維風(fēng)場(chǎng)的計(jì)算結(jié)果。為了考慮三個(gè)方向脈動(dòng)風(fēng)速的相關(guān)性，S（ω）中的各個(gè)元素Sij（ω）為3×3的子矩陣，這樣S（ω）為3n×3n矩陣形式：

式中u、v和w分別代表順風(fēng)向、橫風(fēng)向和豎直向。

圖6 單塔和塔線體系的風(fēng)致響應(yīng)結(jié)果比較Fig．6 Comparison of wind－induced response of isolated tower and tower line system

本文順風(fēng)向風(fēng)譜采用Davenport譜，豎風(fēng)向風(fēng)譜采用Lumley－Panofsky譜：

順風(fēng)向與豎風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)速的交叉譜如下：

Solari［16］通過(guò)大量的實(shí)測(cè)，認(rèn)為橫風(fēng)向與順風(fēng)向不存在相關(guān)性，同時(shí)橫風(fēng)向與豎直向也不存在相關(guān)性，因此本文不考慮這些相關(guān)性。

對(duì)單塔的34個(gè)模擬點(diǎn)進(jìn)行考慮三維風(fēng)場(chǎng)的風(fēng)速時(shí)程模擬，發(fā)現(xiàn)無(wú)法進(jìn)行Cholesky分解，則基于FFT變換的WAWS法不能應(yīng)用。目前關(guān)于AR法的模擬理論中還沒(méi)有給出考慮三個(gè)方向相關(guān)性的應(yīng)用。因此采用基于POD分解的WAWS 法，進(jìn)行考慮三維風(fēng)場(chǎng)情況下輸電塔34個(gè)點(diǎn)的脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)模擬，模擬所需時(shí)間見(jiàn)表3，進(jìn)行風(fēng)振計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果與模擬一維風(fēng)場(chǎng)（WAWS，POD）情況進(jìn)行比較，如圖7所示。

由圖7可知，三維風(fēng)場(chǎng)情況和一維風(fēng)場(chǎng)相比，位移響應(yīng)的均方根基本相同，基于三維風(fēng)場(chǎng)的數(shù)據(jù)略大；而加速度響應(yīng)均方根的差別較大，基于三維風(fēng)場(chǎng)的數(shù)據(jù)大很多，說(shuō)明考慮順風(fēng)向與其他方向的相關(guān)性后順風(fēng)向的脈動(dòng)會(huì)更大。對(duì)于考慮三維風(fēng)場(chǎng)后的塔線體系（227個(gè)點(diǎn)），基于FFT變換的WAWS 法和AR法均不能應(yīng)用，而基于POD分解的WAWS法雖然不出錯(cuò)，但經(jīng)歷五天后的計(jì)算后仍沒(méi)有得到模擬結(jié)果，已經(jīng)失去了工程應(yīng)用價(jià)值，在表3中以“非常耗時(shí)”來(lái)表示。

圖7 單塔一維和三維風(fēng)場(chǎng)作用下響應(yīng)結(jié)果比較Fig．7 Comparison of wind－induced responses considering one dimensional and three dimensional wind fields

5 結(jié) 論

本文針對(duì)脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)的模擬方法進(jìn)行系統(tǒng)分析，并應(yīng)用到輸電塔線體系實(shí)例中，有以下主要結(jié)論：

（1）針對(duì)模擬脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)的三種典型方法，當(dāng)模擬參數(shù)相同時(shí)，利用模擬出的風(fēng)速時(shí)程進(jìn)行風(fēng)振分析的結(jié)果基本一致，說(shuō)明三種方法在脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)的模擬原理上都是適用的。

（2）當(dāng)模擬的點(diǎn)數(shù)較多時(shí)，風(fēng)速互譜密度矩陣由于不正定而無(wú)法進(jìn)行Cholesky分解，基于FFT分解的WAWS法不適用，而基于POD分解的WAWS法不存在無(wú)法分解的情況，使用截?cái)囝l率會(huì)使計(jì)算效率提高很多，具體效率見(jiàn)表3。本文推薦基于POD分解算法的WAWS法，其計(jì)算效率高，算法穩(wěn)定。

（3）計(jì)算發(fā)現(xiàn)對(duì)于位移和加速度響應(yīng)的均方根，塔線體系的結(jié)果均比單塔大，在對(duì)輸電線路進(jìn)行風(fēng)振分析時(shí)，應(yīng)考慮塔線體系情況。

（4）計(jì)算發(fā)現(xiàn)，考慮三維風(fēng)場(chǎng)后的位移響應(yīng)均方根比一維風(fēng)場(chǎng)略大，而加速度響應(yīng)均方根大很多，說(shuō)明考慮順風(fēng)向與其他方向的相關(guān)性后順風(fēng)向的脈動(dòng)會(huì)更大。

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