基于橢圓方向窗的非下采樣Contourlet域圖像去噪算法

金彩虹

(南京曉莊學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，江蘇 南京 211171)

圖像閾值去噪因其算法簡(jiǎn)單而成為圖像去噪的主流方向，其中，Chen等［1-2］提出的NeighShrink算法，將鄰域的概念用于圖像去噪，通過(guò)計(jì)算鄰域窗內(nèi)所有小波系數(shù)的平方和來(lái)設(shè)定閾值，考慮了子帶系數(shù)的層內(nèi)相關(guān)性，較Donoho［3］的全局閾值能更好地適應(yīng)圖像的細(xì)節(jié)特征，降低了全局閾值因過(guò)度扼殺分解系數(shù)造成的圖像細(xì)節(jié)的損失。但是，NeighShrink算法采用各向同性的正方形鄰域窗對(duì)系數(shù)進(jìn)行閾值處理，沒(méi)有考慮子帶能量聚集的方向特性，在信號(hào)的能量聚集處不能獲得最優(yōu)的去噪效果。另外，由于二維小波基函數(shù)的支撐區(qū)間是正方形，當(dāng)尺度變細(xì)時(shí)，二維小波只能用點(diǎn)來(lái)逼近圖像中具有線奇異特征的邊緣細(xì)節(jié)，不能實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像的最優(yōu)稀疏逼近。2006年，Cunha等［4］提出非下采樣Contourlet變換的概念。該變換基函數(shù)支撐區(qū)間不是正方形，而是長(zhǎng)度的平方與寬度成正比，當(dāng)尺度變細(xì)時(shí)，Contourlet基函數(shù)用類似于線段的長(zhǎng)條形結(jié)構(gòu)來(lái)逼近圖像，實(shí)現(xiàn)了圖像的最優(yōu)稀疏逼近。而且，該變換沒(méi)有下采樣過(guò)程，變換具有平移不變性，能有效抑制小波變換由于不具有平移不變性特征而造成的恢復(fù)圖像的偽吉布斯失真。

本文根據(jù)圖像經(jīng)多尺度多方向非下采樣Contourlet分解后，各方向子帶不同的能量聚集特性，用主軸方向與子帶頻率分解方向正交(也就是圖像能量聚集方向)、長(zhǎng)軸與短軸的比例與非下采樣Contourlet基函數(shù)支撐區(qū)間相匹配的橢圓方向窗作為鄰域窗，通過(guò)最小化Stein的無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)，確定該鄰域窗的最佳大小和最佳閾值。然后在該最佳橢圓方向窗內(nèi)，用最佳閾值對(duì)窗中心系數(shù)進(jìn)行基于NeighShrink算法的閾值去噪處理，實(shí)現(xiàn)信號(hào)與噪聲的有效分離。

1 非下采樣Contourlet變換

Cunha等［4］提出由非下采樣塔狀濾波器組(nonsubsampled pyramid，NSP)將圖像分解為低頻部分和高頻部分，再由非下采樣方向?yàn)V波器組(nonsubsampled directional filter banks，NSDFB)將高頻部分分解為若干個(gè)方向，實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像的非下采樣Contourlet變換。非下采樣塔狀濾波器組(圖1)采用àtrous算法［5］設(shè)計(jì)滿足Bezout恒等式［6］的雙通道濾波器結(jié)構(gòu)。能實(shí)現(xiàn)完全重構(gòu)的濾波器組滿足:

式中:H0(z)——低通分解濾波器;H1(z)——高通分解濾波器;G0(z)——低通重構(gòu)濾波器;G1(z)——高通重構(gòu)濾波器。

圖1 非下采樣塔狀濾波器組Fig.1 Non-subsampled pyramid filters

圖2 非下采樣方向?yàn)V波器組Fig.2 Non-subsampled directional filter banks

大小為N×N的圖像f(x，y)經(jīng)非下采樣Contourlet變換，可表示為

式中:bJ——低頻子帶系數(shù);cj，k(m，n)——高頻子帶系數(shù);j——系數(shù)所在尺度;k——系數(shù)所在方向;2lj——j層總的分解方向數(shù);m，n——系數(shù)所在位置。

2 基于橢圓方向窗的鄰域圖像去噪算法

設(shè)二維含噪圖像Y(x，y)=f(x，y)+N(x，y)，f(x，y)是期望圖像，N(x，y)是方差為的高斯白噪聲。NeighShrink圖像去噪算法，根據(jù)鄰域窗rx，y內(nèi)所有高頻子帶系數(shù)平方和的大小決定窗中心系數(shù)cj，k(m，n)是置零還是收縮，即鄰域窗中心系數(shù)cj，k(m，n)的估計(jì)值(m，n)為

式中λ為閾值。

cj，k(m，n)估計(jì)的準(zhǔn)確度由閾值和鄰域窗的大小及形狀決定。傳統(tǒng)閾值采用universal全局閾值，鄰域窗選擇固定大小的方形窗［8-10］(如3×3，5×5等)或有一定自適應(yīng)能力的方形窗［11-12］。然而，圖像經(jīng)多級(jí)非下采樣Contourlet分解后，各方向子帶能量分布與分解尺度成反比，且方向子帶能量呈現(xiàn)出各向異性的聚類特性。而高斯噪聲的能量是近似均勻地分布在各子帶上的，所以，采用universal全局閾值和固定大小的方形窗來(lái)估計(jì)高頻子帶系數(shù)cj，k(m，n)會(huì)引入過(guò)多的噪聲，降低信號(hào)水平。為保護(hù)圖像的邊緣方向信息，采用主軸方向與圖像能量聚集方向一致，長(zhǎng)、短軸之比與非下采樣Contourlet基函數(shù)支撐區(qū)間相匹配的橢圓方向窗，并通過(guò)最小化Stein的無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)確定橢圓方向窗的最佳大小和該窗內(nèi)的最佳閾值，在此橢圓方向窗內(nèi)估計(jì)高頻子帶系數(shù)cj，k(m，n)將能獲得比在正方形方向窗內(nèi)更優(yōu)的性能。

j尺度k方向子帶上的橢圓方向窗［13］W(r，a，φj，k)定義為

橢圓方向窗的形狀，即橢圓長(zhǎng)、短軸之比a2為

式中C為常數(shù)，C的大小會(huì)改變橢圓方向窗的面積，但不影響橢圓方向窗的長(zhǎng)、短軸之比。由式(6)可見(jiàn)，第j層的分解方向數(shù)2lj越多，基函數(shù)支撐區(qū)間長(zhǎng)、寬比越大，橢圓方向窗相應(yīng)越狹長(zhǎng)。

橢圓方向窗的主軸方向φj，k為

由式(7)可見(jiàn)，第j層上不同方向子帶的橢圓方向窗的主軸方向與子帶頻率分解方向正交。

橢圓方向窗的大小r通過(guò)最小化Stein的無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)來(lái)確定。在均方誤差(MSE)準(zhǔn)則下，根據(jù)j尺度、k方向子帶上r鄰域窗內(nèi)有噪圖像系數(shù)cr(為方便表達(dá)式的書(shū)寫(xiě)，省略了系數(shù)的尺度、方向和位置的標(biāo)注)確定無(wú)噪圖像的估計(jì)值^θr，就是使無(wú)噪圖像的真實(shí)值θr與^θr的均方誤差最小。θr與^θr的均方誤差為

式中Nr為j尺度、k方向子帶上r鄰域內(nèi)系數(shù)個(gè)數(shù)。由于無(wú)噪圖像的θr不可能得到，所以，在大小為r、閾值為λ的鄰域窗內(nèi)，采用Stein無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)，則均方誤差變?yōu)?/p>

根據(jù)(3)式有

最優(yōu)閾值λt和最佳大小的橢圓方向窗rt，就是使SURE(cr，λ，r)最小，即

非下采樣Contourlet域內(nèi)，基于橢圓方向窗的鄰域圖像去噪算法步驟為:(a)對(duì)含噪圖像進(jìn)行多尺度、多方向非下采樣Contourlet變換，得到bJ和各尺度不同方向的cj，k(m，n)。(b)對(duì)最高尺度bJ給予完全保留，不作任何處理。bJ反映的是整個(gè)圖像的概要，幾乎不包含高頻成分，當(dāng)然也就沒(méi)有噪聲信息。(c)對(duì)j尺度、k方向的cj，k(m，n)按式(3)進(jìn)行鄰域收縮。式(3)中的閾值和子帶大小用式(16)的計(jì)算結(jié)果，鄰域窗的形狀由式(6)給出，鄰域窗的主軸方向由式(7)給出。(d)將收縮處理后的cj，k(m，n)和沒(méi)有處理的bJ一起進(jìn)行非下采樣Contourlet逆變換，得到去噪后的恢復(fù)圖像。

3 試驗(yàn)結(jié)果與分析

為驗(yàn)證本文算法的有效性，在MATLAB7.0中選擇疊加均值為零，標(biāo)準(zhǔn)差σ分別為15，20，25，30的白噪聲的Lena和Barbara標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像進(jìn)行試驗(yàn)。試驗(yàn)對(duì)文獻(xiàn)［1］中的NeighShrink算法、文獻(xiàn)［11］中的鄰域小波系數(shù)自適應(yīng)降噪算法、文獻(xiàn)［12］中的先優(yōu)化后分類改進(jìn)的小波域去噪算法和本文算法進(jìn)行了比較。試驗(yàn)中前3個(gè)算法中的小波變換選擇db8小波，圖像進(jìn)行4層小波分解，本文算法中的非下采樣Contourlet變換選擇“9-7”塔式分解和方向?yàn)V波器組，圖像進(jìn)行4層分解，各層方向數(shù)為4，4，8，16，各層橢圓方向窗長(zhǎng)、短軸之比a2分別為1，1，2，4。NeighShrink算法采用Chen等［1-2］推薦的universal全局閾值和3×3的固定鄰域窗，其他兩種算法采用原作者建議的自適應(yīng)窗和閾值。去噪結(jié)果的客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)用峰值信噪比(PSNR)衡量。表1比較了不同噪聲等級(jí)下各種算法的PSNR，圖3為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為20時(shí)各種算法對(duì)Barbara含噪圖像的去噪結(jié)果。

由表1可見(jiàn)，采用本文算法得到的恢復(fù)圖像的PSNR值比采用文獻(xiàn)［1］算法得到的恢復(fù)圖像的PSNR值高2.70～3.15 dB，比采用文獻(xiàn)［11］算法得到的恢復(fù)圖像的PSNR值高2.54～2.96 dB，比采用文獻(xiàn)［12］算法得到的恢復(fù)圖像的PSNR值高2.33～2.62dB。采用本文算法得到的恢復(fù)圖像的PSNR值高于采用其他3種算法得到的恢復(fù)圖像的PSNR值，尤其優(yōu)于文獻(xiàn)［1］算法。

表1 幾種算法的去噪圖像峰值信噪比Table 1 Comparison of PSNRs(dB)of de-noised images obtained with different algorithms

圖3 噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ=20的Barbara測(cè)試圖像的去噪結(jié)果比較Fig.3 De-noising results of different algorithms for Barbara pictures at noise levelσ=20

從圖3的視覺(jué)效果圖中可以看出，文獻(xiàn)［1］算法由于去噪時(shí)采用的universal全局閾值和3×3的固定方形鄰域窗，導(dǎo)致去噪后的恢復(fù)圖像有比較明顯的方塊效應(yīng)。文獻(xiàn)［11］和［12］中采用了自適應(yīng)窗和閾值，恢復(fù)圖像的視覺(jué)效果明顯好于采用文獻(xiàn)［1］算法得到的恢復(fù)圖像，沒(méi)有明顯的方塊效應(yīng)，但圖像的紋理細(xì)節(jié)在去噪的同時(shí)有所模糊。本文利用子帶能量的聚類各異性，采用長(zhǎng)、短軸之比與該尺度下非下采樣Contourlet基函數(shù)的支撐區(qū)間相匹配，鄰域窗的主軸方向與圖像能量聚集方向一致的橢圓方向窗，并通過(guò)最小化Stein的無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)獲得橢圓方向窗的最佳大小和該窗內(nèi)的最佳閾值后對(duì)窗中心的系數(shù)估計(jì)，去噪后的恢復(fù)圖像較其他3種算法保留了更多的細(xì)節(jié)信息，圖像中大多數(shù)紋理特征的結(jié)構(gòu)都能被清晰地還原出來(lái)，甚至是Barabara圍巾邊緣上的細(xì)小紋理也得到了較好的恢復(fù)。

4 結(jié) 語(yǔ)

非下采樣Contourlet變換用類似于線段的基結(jié)構(gòu)來(lái)逼近圖像，圖像經(jīng)多尺度、多方向非下采樣Contourlet分解后，能量主要聚集在低頻子帶，高頻子帶上圖像的能量很少，而且子帶頻率越高其上的能量越少，各方向子帶信號(hào)能量是沿著與子帶頻率分解方向正交的方向聚集的。基于子帶能量的這種聚類特性，采用本文定義的橢圓形方向窗對(duì)窗內(nèi)的系數(shù)進(jìn)行去噪處理，可以去掉正方形方向窗中不在能量聚集方向上的點(diǎn)，保證剩下點(diǎn)的方差更接近于待估計(jì)點(diǎn)的方差，實(shí)現(xiàn)了在能量聚集處對(duì)高頻子帶系數(shù)的最佳估計(jì)。試驗(yàn)結(jié)果表明，該算法克服了恢復(fù)圖像中的偽吉布斯失真，在去除噪聲的同時(shí)盡可能多地保留了圖像的邊緣和紋理細(xì)節(jié)，提高了去噪后恢復(fù)圖像的信噪比，獲得了視覺(jué)效果良好的恢復(fù)圖像。

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