建筑平屋面排水的數(shù)學(xué)模型及解答

丁 杰 周 清 劉海員 宋真真

(濱州市規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院，濱州 256600)

0 引言

屋面排水設(shè)計(jì)是建筑設(shè)計(jì)中一項(xiàng)非常重要的工作[1－7].合理的排水坡度可以使雨水順利排入雨水管中，從而避免過度積水造成的屋面滲露或者破壞.對(duì)于建筑坡屋面，雨水可以沿著起坡方向匯入檐溝，然后，在檐溝中的雨水可以沿著指定的坡度匯入雨水管.但是，對(duì)于平屋面則要建筑師設(shè)定合理的排水坡度，同時(shí)借助于找坡層，才能使雨水按照合理的流線導(dǎo)入雨水管，因此，研究平屋面排水問題對(duì)于建筑師有著非常重要的意義.

1 屋面排水的基本要求

根據(jù)《屋面工程技術(shù)規(guī)范》(以下簡(jiǎn)稱《技術(shù)規(guī)范》)與《民用建筑設(shè)計(jì)通則》，屋面排水方式主要分為內(nèi)排水、外排水和組合排水[2].多數(shù)情況采用外排水，只有在外排水有困難時(shí)才會(huì)考慮使用內(nèi)排水.屋面找坡方式通常分為材料找坡與結(jié)構(gòu)找坡，本文主要討論材料找坡的情況.

(1)對(duì)于排水坡度而言，從排水角度考慮，要求排水坡度越大越好.但從結(jié)構(gòu)上、經(jīng)濟(jì)上及人們活動(dòng)的角度考慮，則要求坡度越小越好.《技術(shù)規(guī)范》規(guī)定，當(dāng)采用材料找坡時(shí)，排水坡度不宜大于2%[1].

(2)對(duì)于雨水管而言，雨水口或雨水管的間距應(yīng)根據(jù)其排水能力、屋面和檐溝坡度等因素考慮決定，一般不宜大于24 m.并且雨水管徑不得小于100 mm.匯水面積小于150 m2的屋面不宜只設(shè)一個(gè)雨水口.在同一匯水區(qū)域內(nèi)，雨水立管不應(yīng)小于兩條，且負(fù)荷均勻.

(3)對(duì)于材料找坡層，建筑工程做法中最常采用的是水泥珍珠巖找坡層.根據(jù)以往學(xué)者研究結(jié)論[2－3]及工程經(jīng)驗(yàn)可知，找坡層的最薄處不宜小于30 mm.

建筑是藝術(shù)與自然科學(xué)的結(jié)合體，優(yōu)秀的建筑作品不僅在外觀上給人賞心悅目的感覺，在內(nèi)涵上更是閃爍著理性的光芒，這在建筑屋面排水設(shè)計(jì)上得以充分的體現(xiàn).合理的排水坡度其本質(zhì)上是如何將一個(gè)建筑學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決.國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)建筑屋面排水都有過系統(tǒng)和深入的研究[6－7].本文將選擇建筑設(shè)計(jì)中最常見的平屋面作討論，結(jié)合以往學(xué)者的研究成果，按照數(shù)學(xué)方法建立數(shù)學(xué)模型，然后對(duì)數(shù)學(xué)模型加以解答，從而尋求排水問題的最優(yōu)解.

2 矩形平屋面排水的數(shù)學(xué)模型及解答

矩形平屋面排水分為單坡排水與雙坡排水.所謂單坡排水是指雨水沿著一個(gè)坡度匯入落水管，單坡排水適用于小面積屋面，多數(shù)的雨蓬、陽臺(tái)頂面及連廊頂面等多設(shè)計(jì)為單坡排水.單坡排水設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，雨水沿固定坡度匯入落水管內(nèi)，各點(diǎn)找坡層厚度可以通過排水長(zhǎng)度與坡度相乘得到.同時(shí)，單坡排水可以看做雙坡排水的一種特殊情況，本文主要討論平屋面雙坡排水.

平屋面雙坡排水是屋面排水中應(yīng)用最廣泛、排水性能最好的一種排水方式.其原理是在一個(gè)方向起大坡(也叫主坡)，在另一個(gè)方向起小坡(也叫副坡).主坡是水流主向，副坡可以使其他方向的水流坡向主坡，主坡與副坡交匯在雨水管處，從而將屋面的雨水排出.

雙坡排水可以利用副坡改變坡度的大小與方向，同時(shí)還可以根據(jù)實(shí)際需要改變副坡的起坡位置，所以排水方式較單坡排水靈活的多.正是基于此，在實(shí)際工程中，雙坡排水一般可以設(shè)計(jì)成兩種形式:一種是固定副坡排水坡度變化副坡起始位置;另一種是固定副坡起始位置變化副坡排水坡度.兩種方法在數(shù)學(xué)解答上都是合理的.

圖1 雙坡排水建筑模型

圖2 雙坡排水?dāng)?shù)學(xué)模型

雙坡排水的建筑模型如圖1所示，主坡沿MN方向，主坡大小為i%，副坡分別沿ND與NC方向，排水坡度大小為iA%，iB%，雨水管設(shè)置在N點(diǎn).與之對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型為圖2，可以得到:

主坡與副坡的關(guān)系:

同時(shí)，O，P為主坡MN上的點(diǎn)，則有:

結(jié)合(1)～(3)式可以推導(dǎo)出方程:

同時(shí)，結(jié)合幾何關(guān)系:

方程(4)可以表達(dá)為:

方程(6)表現(xiàn)為兩種解答，也就是說雙坡排水坡度通?？梢栽O(shè)計(jì)為兩種形式:

(1)當(dāng)已知主排水坡度i%、副排水坡度iA%，iB% 時(shí)，方程(6)的解答為:

(2)當(dāng)已知主排水坡度i%，副坡起始位置DE，CF時(shí)，方程(6)的解答為:

(7)，(8)式是在已知不同條件下的兩種解答，其本質(zhì)是一樣的，并且兩種解答都是正確的.

N點(diǎn)位于最底點(diǎn)，找坡層厚度應(yīng)滿足最小厚度:

各點(diǎn)的找坡層厚度為:

3 圓形(圓弧)平屋面排水的數(shù)學(xué)模型及解答

建筑師為了突出造型效果，往往把建筑物設(shè)計(jì)成各種形狀.除了上面介紹的矩形屋面外，圓形(圓弧)屋面在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用.

圓形平屋面與圓弧平屋面排水原理是一致的，圓弧平屋面可以看作圓形屋面的一部分.圓形(圓弧)平屋面的單坡排水平面可看作一個(gè)圓柱體(找坡層)被一個(gè)坡度很小的斜面(排水面)切割而成.同上述矩形單坡排水情況相似，起坡層厚度可通過流水的距離與排水坡度相乘得到.同時(shí)，單坡排水也可以看做雙坡排水的特例.所以，本文主要討論雙坡排水的情況.同矩形屋面一樣，圓形(圓弧)雙坡排水的排水坡度仍然由大坡(主坡)和小坡(副坡)組成.主坡代表排水的主方向，副坡將不同方向的水導(dǎo)入主坡或者雨水管.

圓形雙坡排水與矩形雙坡排水原理大致相同，不同的是需要借助輔助線建立方程.圖3為雙坡排水的建筑圖，i% 表示主坡，iA%，iB% 表示副坡，圓半徑為R.為了求解，做輔助線GE，HF，F(xiàn)C，CE.圖4為數(shù)學(xué)模型，可以得到:

圖3 圓形平屋面雙坡排水建筑圖

圖4 圓形平屋面雙坡排水?dāng)?shù)學(xué)模型

主坡與副坡的關(guān)系:

并且:

同時(shí)，M點(diǎn)、N點(diǎn)是主坡上的點(diǎn)，那么有:

得到方程:

并且，同時(shí):

方程(16)可以表達(dá)為:

式(18)從形式上與式(6)完全一致，這也說明圓形平屋面雙向排水與矩形平屋面雙向排水原理是一致的.同樣，式(18)的解答表現(xiàn)為兩種形式:

(1)當(dāng)已知主排水坡度i%、副排水坡度iA%，iB% 時(shí)，方程(18)的解答為:

(2)當(dāng)已知主排水坡度i%，副坡起始位置FH，EG時(shí)，方程(18)的解答為:

C點(diǎn)位于最底點(diǎn)，找坡層厚度應(yīng)滿足最小厚度

各點(diǎn)的找坡層厚度為:

4 工程綜合算例

某屋面由圓形與矩形組合而成，圓形半徑為2 m，其余尺寸如圖5所示.雨水管位置如圖5所示，設(shè)計(jì)此屋面排水.

解答:本工程采用單向雙坡排水，需要聯(lián)合利用矩形雙向雙坡排水與圓形雙向雙坡排水加以解答.由本文以上分析可知，本題同樣存在兩種解法:

解法一 假設(shè)主坡坡度為2%;副坡坡度分別為1.5%與1%，根據(jù)公式(7)及公式(19):

根據(jù)公式(9)～(12)及公式(21)～(25)，各個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的找坡層厚度為:

解法二 假設(shè)主坡排水坡度為2%，副坡起坡位置均為1.2 m，根據(jù)公式(8)及公式(20):

根據(jù)公式(9)～(12)及公式(21)～(25)，各點(diǎn)的找坡層厚度為:

圖5 算例解答一

圖6 算例解答二

5 結(jié)論

建筑設(shè)計(jì)中的屋面形式各種各樣，但其都是由基本元素(絕大多數(shù)情況為矩形與圓形)組成的.只要分析清楚其組成元素，并且借助于合理的數(shù)學(xué)方法，建筑師便可以設(shè)計(jì)出合理的排水方案，屋面排水問題即迎刃而解.

[1]屋面工程技術(shù)規(guī)范(GB50345－2004)[S].北京:中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2004.

[2]民用建筑設(shè)計(jì)通則(GB50352－2005)[S].北京:中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2005.

[3]徐國(guó)明.平屋面找坡層做法探討[J].建筑技術(shù)，1997(6):49.

[4]黃慧芳.屋面找坡層標(biāo)高的計(jì)算[J].山西建筑，2012，38(6):106 －107.

[5]楊煥利，王玉秋.平屋面排水設(shè)計(jì)新方案[J].雞西大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，5(1):68 －70.

[6]封 敏.大面積工業(yè)或公共建筑屋面雨水系統(tǒng)的選擇[J].建筑施工，2005，27(7):66－72.

[7]張志利.屋面排水的細(xì)部構(gòu)造及處理[J].山西建筑，2007，33(35):150 －151.