面心立方光子晶體中方向性局域態(tài)密度快速計算研究

李凌燕，劉景鋒

(華南農業(yè)大學理學院應用物理系，廣東廣州510642)

一直以來，輻射子自發(fā)輻射的操控是量子光學中一個重要研究方向，自發(fā)輻射的有效控制決定了一系列光電子器件的性能，例如太陽能電池、光輻射二極管以及量子信息科學中的微型激光器和單光子源．

光子晶體對光子的作用與半導體對電子的作用類似，可通過調整光子晶體的結構、填充率以及折射率比來調整光場的分布，從而調整輻射子周圍的環(huán)境．YABLOMOVITCH［1］和 JOHN［2］首次提出利用光子晶體來控制輻射子的光輻射，并受到了實驗研究［3-5］和理論研究［6-9］領域的高度重視．

輻射子的自發(fā)輻射速率與光子局域態(tài)密度成正比［6，10-12］．局域態(tài)密度對自發(fā)輻射具有決定作用，在光子晶體中，如果輻射子(原子和分子)的躍遷偶極矩隨機分布，則局域態(tài)密度可表示為

其中ωnk和En(k，r)分別為電磁場的本征頻率和本征模．在光子晶體內，數值模擬局域態(tài)密度較難，因為局域態(tài)密度的計算需在整個第一布里淵區(qū)完成．WANG［10］提出點群變換的方法極大簡化了局域態(tài)密度的計算．但在大多情況下，量子輻射子(量子點)處于極化狀態(tài)時輻射子的躍遷偶極矩并非隨機分布，而是沿確定方向．輻射子的自發(fā)輻射特性是由方向性局域態(tài)密度決定，在光子晶體內方向性局域態(tài)密度的定義［13］如下其中對k矢量的積分是在整個第一布里淵區(qū)(FBZ)內進行，μd為躍遷偶極矩，ωnk和 En(k，r)分別為相應k點的本征值和本征矢量，n為帶指標．

由于式(2)中局域態(tài)密度對方向的依賴性，欲計算方向性局域態(tài)密度并且避免在整個第一布里淵區(qū)積分，唯一可利用的對稱性是反演對稱性［11-12］．但是反演對稱性僅僅使式(2)的積分縮減到第一布里淵區(qū)的一半．由式(1)和式(2)可知，欲計算局域態(tài)密度或方向性局域態(tài)密度，需計算出相應k點的本征頻率和本征值，由于本征方程的計算耗費時間較長，在半個布里淵區(qū)計算仍比較困難．本文提出一種點群操作法使式(2)的計算可以在簡約布里淵區(qū)進行，因而極大簡化了方向性局域態(tài)密度的計算．

1 理論推導

計算方向性局域態(tài)密度，需求出相應k點的本征值和本征矢量［12］，然后根據磁場Hn(k，r)與電場En(k，r)的關系

求出對應的本征電場．考慮截斷誤差，采用NIKOLAEV等［12］的方法計算本征電場．為節(jié)省計算時間，需布里淵區(qū)內建立在k星中不同k之間的變換關系，由文獻［12］，有

其中 α［Fn(k表示對矢量Fn(kt)-1r)旋轉，上式可利用 KAZUAKI［15］方法證明．此處討論面心立方結構光子晶體，平移矢量t=0．

第一布里淵區(qū)在點群操作下不變［10］，式(2)在第一布里淵區(qū)的積分滿足如下變換關系

其中αi(i=1，2，3，…nG)屬于相應的晶體點群操作．定義平均可積函數:

其中nG是相應點群的群員個數(即簡約布里淵區(qū)的個數)，利用關系 ωnk=ωna［k］(k 星中各 k 點對應的本征頻率相同)對式(7)在整個第一布里淵區(qū)積分，可得

利用群的封閉性和平均可積函數得出方向性局域態(tài)密度:

容易證明平均可積函數Fn(k，r)對應k星中不同 k 點的值不變，即 Fn(αj［k］，r)=Fn(k，r)．因而式(9)的積分可在簡約布里淵區(qū)完成．注意到，對2個矢量同時進行操作時，其標量積保持不變，可得到對k點的操作與對實空間點操作的關系:

考慮平均可積函數與上式的操作關系，面心立方結構光子晶體中方向性局域態(tài)密度表示如下

2 計算結果與討論

根據MONKHORST等［16］的方法在第一布里淵區(qū)產生16 384個粗格點及1 048 576個精細格點;然后計算粗格點上的本征場En(k，r)和本征值ωnk的值;最后利用插值算法求出精細格點上的值．本文采用725個平面波解磁場對應的本征方程．

計算采用NIKOLAEV［12］提出的面心立方結構:由二氧化鈦(TiO2)球殼構成的反結構，球殼的內半徑為r = 0．25(a 為晶格常數)，外半徑為 1．09r，球殼的介電常數ε=6．5，球殼內為空氣球，并且相鄰2個空氣球之間是由半徑為0．4r的空氣柱相連．

在由硅殼構成的面心立方反結構中，對于某些k點和實空間r 的值如表1所示，采用Schoenflies符號表示空間的點群操作，k點屬于k星．為證明實空間點與k 點之間操作關系μd·En(α［k］，的正確性，僅考慮k星中的幾個一般的k點．不失一般性，任意選擇偶極方向 μd=(1，2，3)/為簡化描述，分別用代表和的值．通過表1可驗證反演關系［12］和式(10)的正確性．

為了驗證點群操作方法對處理方向性局域態(tài)密度的有效性，將計算的偶極矩方向沿［1，1，0］空間點位于(0．25，0．25，0)a(a是晶格常數)的方向性局域態(tài)密度與NIKOLAEV［12］的計算結果比較(圖1)，本文的結構因子以解析形式給出，而文獻［14］通過離散傅立葉變換方式得到，二者結果吻合，略微差別．計算中，在簡約布里淵區(qū)選取408-k個點，同時采用插值算法節(jié)省計算時間，而文獻［12］在半個布里淵區(qū)選取145708-k個點，同時采用插值法計算耗費時間較短，計算速度(耗時15min)是文獻［12］(耗時4d)的360倍(145708/408=360)．

表1 面心立方結構中Table 1 The results of

表1 面心立方結構中Table 1 The results of

α α［k］α-1 r α-1［μd］/ 14 Eαk1Eαrμ1Eαk2Eαrμ2Eαk3Eαrμ3 E (0．8，0．4，0．2) (0．2，0．1，0．05) (1．0，2．0，3．0)0．000 9 0．000 9 0．109 4 0．109 4 0．014 3 0．014 3 I (-0．8，-0．4，-0．2)(-0．2，-0．1，-0．05)(-1．0，-2．0，-3．0)0．000 9 0．000 9 0．109 4 0．109 4 0．014 3 0．014 3 C4x (0．8，0．2，-0．4) (0．2，-0．05，0．1) (1．0，-3．0，2．0) 0．061 2 0．061 2 0．001 9 0．001 9 0．135 2 0．135 2 IC4x (-0．8，-0．2，0．4)(-0．2，0．05，-0．1)(-1．0，3．0，-2．0) 0．061 2 0．061 2 0．001 9 0．001 9 0．135 2 0．135 2 C-1 4x (0．8，-0．2，0．4) (0．2，0．05，-0．1) (1．0，3．0，-2．0) 0．045 3 0．045 3 0．003 2 0．003 2 0．163 4 0．163 4 IC-1 4x (-0．8，0．2，-0．4)(-0．2，-0．05，0．1)(-1．0，-3．0，2．0) 0．045 3 0．045 3 0．003 2 0．003 2 0．163 4 0．163 4 C3xyz (0．4，0．2，0．8) (0．05，0．2，0．1) (3．0，1．0，2．0) 0．001 6 0．001 6 0．036 8 0．036 8 0．003 6 0．003 6 C-1 3xyz (0．2，0．8，0．4) (0．1，0．05，0．2) (2．0，3．0，1．0)0．014 9 0．014 9 0．037 5 0．037 5 0．022 2 0．022 2

圖1 方向性局域態(tài)密度計算結果與Nikolaev計算法的對比Figure 1 Comparison to Nikolaev method on orientation-dependent local density of states

3 結論

通過理論分析和數值模擬的方法研究了面心立方結構光子晶體中電場在倒格空間k點和實空間r點的變換關系．推導出了方向性局域態(tài)密度的平均可積函數．計算的方向性局域態(tài)密度與Nikolaev的結果相吻合，且計算速度更快．說明采用點群操作方法是正確有效的．在同樣精度下，本文的算法極大程度加快了方向性局域態(tài)密度的計算速度．

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