GNSS多系統(tǒng)基線解算中的病態(tài)性分析與評(píng)價(jià)

王勝利 王 慶 高 旺 潘樹(shù)國(guó)

(1東南大學(xué)儀器科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210096)

(2東南大學(xué)交通學(xué)院，南京 210096)

(3安徽理工大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，淮南 232001)

隨著北斗二代區(qū)域?qū)Ш较到y(tǒng)(BDS)的建成和投入使用，GNSS高精度定位進(jìn)入了多系統(tǒng)融合定位時(shí)代［1］.GPS，GLONASS以及目前的BDS衛(wèi)星星座存在著一定的差異［2-3］.GPS包含6個(gè)衛(wèi)星軌道面，軌道平均高度約為2.02×104km，衛(wèi)星運(yùn)行周期約為11.967 h;GLONASS包含3個(gè)衛(wèi)星軌道面，軌道平均高度約為1.91×104km，衛(wèi)星運(yùn)行周期約為11.250 h;BDS星座設(shè)計(jì)除了通常采用的MEO衛(wèi)星外，還包括了5顆地球靜止軌道(GEO)衛(wèi)星和5顆傾斜地球同步觀測(cè)(IGSO)衛(wèi)星.GEO衛(wèi)星和IGSO衛(wèi)星均為高軌衛(wèi)星，其軌道高度約為3.6×104km，目前兩者均已入軌組網(wǎng)運(yùn)行;4顆MEO衛(wèi)星也陸續(xù)發(fā)射成功.在GNSS基線解算模型中，由于模糊度參數(shù)的存在，解算模型普遍存在病態(tài)性［4-5］，解決的方法主要是通過(guò)多歷元觀測(cè)使衛(wèi)星與測(cè)站之間的幾何關(guān)系發(fā)生變化，而這種變化主要依賴(lài)站星之間的角度變化.不同的軌道高度和運(yùn)行特點(diǎn)導(dǎo)致衛(wèi)星的運(yùn)行角速度不同.在采樣率相同的情況下，站星角度變化程度的不同，會(huì)造成模糊度解算過(guò)程中方程病態(tài)性程度不同.

本文從分析衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的角速度出發(fā)，研究了衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)角速度與載波雙差解算中模型病態(tài)性的關(guān)系.然后，結(jié)合病態(tài)性系統(tǒng)分析理論，利用條件數(shù)法，對(duì)比分析了GPS，GLONASS以及BDS在基線解算過(guò)程中法方程系數(shù)矩陣的條件數(shù)及其變化特點(diǎn)，并且對(duì)多系統(tǒng)融合后的解算模型病態(tài)性進(jìn)行了分析.

1 GNSS基線解算模型

載波雙差基線解算模型的誤差方程為［6］

式中，vn，k為觀測(cè)值殘差，n，k分別為非參考衛(wèi)星和參考衛(wèi)星的數(shù)量;λ為載波波長(zhǎng);Δ▽Nn，k為站星雙差模糊度;Δ▽Ln，k為常數(shù)項(xiàng);δx，δy，δz為測(cè)站間三維坐標(biāo)分量參數(shù);ln，k，mn，k，wn，k為對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分量參數(shù)系數(shù).

基線解算過(guò)程中的模糊度解算一般是基于整數(shù)最小二乘理論的，參數(shù)估計(jì)通過(guò)浮點(diǎn)解、整周模糊度的搜索、固定解等3個(gè)步驟來(lái)實(shí)現(xiàn)［7］.由于電離層殘差對(duì)模糊度存在較大的影響，通常使用無(wú)電離層組合模型進(jìn)行計(jì)算，此時(shí)式(1)中λ可表示窄巷波長(zhǎng)，且λ=c/(f1+f2)，其中c為光速，f1，f2分別為GNSS系統(tǒng)中2個(gè)載波信號(hào)的頻率.

式(1)可簡(jiǎn)化為如下的誤差方程形式:

其最小二乘解為

式中，V為殘差向量;B為誤差方程系數(shù);P為權(quán)陣;L為常數(shù)項(xiàng);X為未知參數(shù)，^X為X的最小二乘解.X可表示為

令N=BTPB為未知參數(shù)的法方程系數(shù)矩陣，則式(3)可改寫(xiě)為

式中，W=BTPL.

由文獻(xiàn)［8-9］可知，當(dāng)式(5)中的系數(shù)陣N和常數(shù)項(xiàng)W分別含有小誤差δN和δW時(shí)，相應(yīng)的未知參數(shù)向量的解X產(chǎn)生誤差δX，其對(duì)應(yīng)的關(guān)系為［8］

式中，cond(N)= N－1N 表示矩陣N的條件數(shù).從式(6)可以看出，條件數(shù)表示法方程系數(shù)矩陣N和常數(shù)項(xiàng)W的相對(duì)擾動(dòng)對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響程度.當(dāng)法方程系數(shù)矩陣N的條件數(shù)很大(即法方程嚴(yán)重病態(tài))時(shí)，即使N和W的擾動(dòng)很小，也會(huì)導(dǎo)致參數(shù)解產(chǎn)生很大的偏差.因此，條件數(shù)通常用于衡量參數(shù)估計(jì)模型中的病態(tài)性.

2 基線解算模型的病態(tài)性分析

GPS和GLONASS均為中軌衛(wèi)星，BDS則以高軌衛(wèi)星為主，不同的軌道高度導(dǎo)致衛(wèi)星運(yùn)行的速度(特別是角速度)不同，故歷元間的站星幾何結(jié)構(gòu)變化程度也不同.尤其是對(duì)于北斗區(qū)域?qū)Ш较到y(tǒng)中的GEO衛(wèi)星，它相對(duì)地球近乎靜止，導(dǎo)致歷元間方程相關(guān)性較大［9-12］，給模糊度解算帶來(lái)了嚴(yán)重的病態(tài)性.GPS，GLONASS與BDS中的衛(wèi)星運(yùn)行角速度見(jiàn)圖1.由圖可知，GLONASS衛(wèi)星的運(yùn)行角速度最快，北斗衛(wèi)星運(yùn)行角速度最慢，且GEO衛(wèi)星的運(yùn)行角速度遠(yuǎn)小于GPS和GLONASS.據(jù)此推斷，在模糊度解算過(guò)程中，GEO衛(wèi)星對(duì)應(yīng)的方程在歷元間只要有很小的變化，就會(huì)導(dǎo)致法方程出現(xiàn)嚴(yán)重的病態(tài)性，進(jìn)而造成模糊度解算不穩(wěn)定和求解時(shí)間過(guò)長(zhǎng)的問(wèn)題.

圖1 衛(wèi)星運(yùn)行角速度

本文采用東南大學(xué)3S技術(shù)研發(fā)中心于2012年7月15日采集的GPS，GLONASS和BDS三個(gè)系統(tǒng)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)三系統(tǒng))的數(shù)據(jù)，取其中3個(gè)時(shí)段(每段時(shí)間為1 h)的數(shù)據(jù)，驗(yàn)證基線解算模型隨著基線長(zhǎng)度的增加和觀測(cè)時(shí)間的延長(zhǎng)而產(chǎn)生的病態(tài)性特征，即基線解算模型病態(tài)性的時(shí)空特性.為了消除衛(wèi)星數(shù)可能對(duì)病態(tài)性造成的影響，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中每個(gè)時(shí)段內(nèi)3個(gè)系統(tǒng)取相同數(shù)目的共視衛(wèi)星，即在GPS，GLONASS，BDS系統(tǒng)中各選擇7顆衛(wèi)星.實(shí)驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)圖2.圖中，A=cond(N).

圖2 基線解算模型病態(tài)性的時(shí)空特性

從圖2可以看出，在基線解算過(guò)程中，基線長(zhǎng)度對(duì)于模糊度求解的病態(tài)性幾乎沒(méi)有影響，起決定性影響的是觀測(cè)時(shí)間的長(zhǎng)短.為了分析3個(gè)系統(tǒng)病態(tài)性之間的區(qū)別，選擇3個(gè)時(shí)段的觀測(cè)數(shù)據(jù)，分別對(duì)各系統(tǒng)模型病態(tài)性隨時(shí)間變化的特性進(jìn)行比較，結(jié)果見(jiàn)圖3.

從圖3可以看出，在基線模糊度解算過(guò)程中，GLONASS法方程系數(shù)矩陣的條件數(shù)最小，即平差方程的病態(tài)性最弱，GPS次之，BDS最強(qiáng)，這與3個(gè)系統(tǒng)角速度的快慢順序一致.由此可見(jiàn)，衛(wèi)星角速度越快，在同樣時(shí)間內(nèi)基線解算模型中3個(gè)坐標(biāo)分量系數(shù)變化越大，則模型的病態(tài)性越弱，坐標(biāo)分量參數(shù)與模糊度參數(shù)越容易分離，最終模糊度收斂速度越快.在現(xiàn)階段的BDS中，由于GEO衛(wèi)星和IGSO衛(wèi)星的數(shù)量居多，且GEO衛(wèi)星的角速度較小，單獨(dú)使用BDS進(jìn)行基線解算時(shí)模糊度收斂速度較慢，故需進(jìn)行多系統(tǒng)融合.

圖3 GPS，GLONASS和BDS基線解算條件數(shù)對(duì)比

3 GNSS多系統(tǒng)融合的病態(tài)性分析

多系統(tǒng)基線解算時(shí)，各系統(tǒng)解算模型具有共同的未知參數(shù)——基線坐標(biāo)增量，故可進(jìn)行融合解算.解算公式為

式中，kG，kR，kC分別表示GPS，GLONASS以及BDS解算過(guò)程中參考衛(wèi)星的編號(hào);λG，λR，λC分別表示GPS，GLONASS以及BDS解算過(guò)程中參考衛(wèi)星的波長(zhǎng).

模糊度解算過(guò)程中的病態(tài)性主要是由歷元間坐標(biāo)增量參數(shù)系數(shù)的緩慢變化造成的.多系統(tǒng)融合解算時(shí)，由于共同坐標(biāo)增量參數(shù)的存在，利用GPS和GLONASS較BDS病態(tài)性弱的特點(diǎn)，可以加速坐標(biāo)增量參數(shù)與其他參數(shù)的有效分離;同時(shí)，較多的觀測(cè)方程提供了較多的多余觀測(cè)量.因此，對(duì)于BDS，多系統(tǒng)融合解算能夠改善其嚴(yán)重的病態(tài)性.

多系統(tǒng)融合模型的病態(tài)性分析仍然使用上述3個(gè)時(shí)段的數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)圖4.

圖4 多系統(tǒng)融合基線解算條件數(shù)對(duì)比

從圖4可以看出，多系統(tǒng)融合基線解算時(shí)，使用GPS或GLONASS與BDS構(gòu)成的兩兩組合或者3個(gè)系統(tǒng)組合后的條件數(shù)并不是簡(jiǎn)單的折中，而是更接近于病態(tài)性較弱組合的條件數(shù).雖然BDS獨(dú)立解算時(shí)存在嚴(yán)重的病態(tài)性，但多系統(tǒng)組合后的病態(tài)性不會(huì)受其影響而明顯變差，這有利于多系統(tǒng)融合中BDS模糊度的快速收斂.

4 結(jié)語(yǔ)

本文從分析GNSS各系統(tǒng)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的角速度出發(fā)，采用條件數(shù)方法，基于實(shí)際數(shù)據(jù)驗(yàn)證分析了基線解算過(guò)程中的病態(tài)性.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在多系統(tǒng)GNSS基線解算中，GLONASS解算的病態(tài)性最弱，GPS次之，兩者都優(yōu)于目前的BDS.這與GPS，GLONASS和BDS的軌道高度特征和運(yùn)行速度是相對(duì)應(yīng)的，低軌道高度對(duì)應(yīng)較快的角速度，歷元間幾何結(jié)構(gòu)的快速變化有利于改善模型求解參數(shù)時(shí)的病態(tài)性.此外，還對(duì)多系統(tǒng)融合解算后的病態(tài)性進(jìn)行了分析.結(jié)果表明，多系統(tǒng)融合后的病態(tài)性不會(huì)受BDS影響而明顯變差，這有利于多系統(tǒng)融合中BDS模糊度的快速收斂.

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