關(guān)于丟番圖方程x3－1＝13py2的整數(shù)解

管訓(xùn)貴，杜先存

（1.泰州學(xué)院 數(shù)理信息學(xué)院，江蘇 泰州 225300；2.紅河學(xué)院 教師教育學(xué)院，云南 蒙自 661199）

方程

是一類重要的丟番圖方程，其整數(shù)解已有不少人研究過.柯召、孫琦［1－2］證明了當(dāng)D＞2，D 無平方因子且不含6k＋1型的素因子時，方程（1）無非平凡解；但當(dāng)D 含6k＋1型的素因子時，方程（1）的非平凡解的求解較為困難.羅明［3］給出了方程x3±1＝14y2的所有解，羅明、黃勇慶［4］給出了方程x3－1＝26y2的所有解，韓云娜［5］給出了方程x3－1＝38y2的所有解.

引理1［6］20設(shè)p 是一個奇素數(shù)，則丟番圖方程4x4－py2＝1 除開p＝3，x＝y(tǒng)＝1 和p＝7，x＝2，y＝3外，無其他的正整數(shù)解.

引理2［6］260設(shè)p 是一個奇素數(shù)，則丟番圖方程x4－py2＝1除開p＝5，x＝3，y＝4和p＝29，x＝99，y＝1 820外，無其他的正整數(shù)解.

引理3［6］69丟番圖方程x2－3y4＝1僅有正整數(shù)解x＝2，y＝1和x＝7，y＝2.

本文利用遞歸序列、同余式、平方剩余、Pell方程的解的性質(zhì)證明了如下定理：

證明 因為gcd（x－1，x2＋x＋1）＝1或3，故方程（2）給出以下8種可能的分解.

以下討論這8種情況所給的方程（2）的整數(shù)解.

對于情形Ⅰ：解第二式，得x＝0，－1，均不適合第一式，故該情形下方程（2）無整數(shù)解.

因為u2≡0，1，4（mod8），利用同余的性質(zhì)可知情形Ⅱ、情形Ⅲ、情形Ⅳ不成立.

對于情形Ⅴ：將第一式代入第二式得（2v）2－3（26pu2＋1）2＝1，故有

2＋是Pell方程X2－3Y2＝1的基本解，因此有26pu2＋1＝±yn（n∈Z），即26pu2＝±yn－1.又因為y－n＝－yn，所以只需考慮

若n≡0（mod2），則yn≡0（mod2），此時式（3）不成立；若n≡3（mod4），則yn≡7（mod8），由式（3）知2u2≡6（mod8），即u2≡3（mod4），這也不可能；所以必有n≡1（mod4）.令n＝4k＋1（k∈Z），容易驗證下列各式成立：

將n＝4k＋1及式（5）～式（7）代入式（3）得，26pu2＝y(tǒng)4k＋1－1＝2x2k＋1y2k，即

又因為gcd（x2k＋1，y2k）＝gcd（2x2k＋3y2k，y2k）＝gcd（2x2k，y2k）＝gcd（2，y2k）＝2，所以下列情形之一成立：

由式（9）得4a4－3＝1.根據(jù)引理1知，a2＝1，此時，x2k＋1＝2，則k＝0，于是方程（2）的整數(shù)解（x，y）＝（1，0）.

由式（10）的第二式得xkyk＝b2，考慮到gcd（xk，yk）＝1，有xk＝s2，yk＝t2，故（s2）2－3t4＝1，根據(jù)引理3知，s2＝1，此時，xk＝1，則k＝0，但由式（10）的第一式知，x1≠26pa2，所以方程（2）無整數(shù)解.

由式（11）的第二式得xkyk＝pb2，考慮到gcd（xk，yk）＝1，有

由引理2知，方程（15）僅有整數(shù)解（s，t）＝（±1，0），此時，y2k＝0，則k＝0.但由式（11）的第一式知，x1≠26a2，所以方程（2）無整數(shù)解.

若式（14）成立，則

由引理3知，方程（16）僅有整數(shù)解（p，s，t）＝（7，±1，±2）和（2，±1，±1），但p≡1（mod12），不可能.

由式（12）的第二式得xkyk＝13b2，仿照式（11）的討論知，不可能.故該情形下方程（2）僅有整數(shù)解（x，y）＝（1，0）.

對于情形Ⅵ：將第一式代入第二式得3（2u2＋1）2－13p（2v）2＝－1，故 有3（2u2＋1）2≡－1（mod13），解得u2≡7，5（mod13）.但 模13的Legendre符號（）＝）＝－1，故該情形下方程（2）無整數(shù)解.

對于情形Ⅶ：將第一式代入第二式得3（26u2＋1）2＋1＝4pv2，則有pv2≡1（mod13），但（）＝－1，故該情形下方程（2）無整數(shù)解.對于情形Ⅷ：由第二式得

因為方程X2－39Y2＝－3有一個結(jié)合類解，其基本解為6＋，而Pell方程U2－39V2＝1的基本解為25＋4，故方程（17）的全部整數(shù)解為

但Un為奇數(shù)，所以式（18）不成立.故該情形下方程（2）無整數(shù)解.

綜上，丟番圖方程（2）僅有整數(shù)解（x，y）＝（1，0）.

［1］柯召，孫琦.關(guān)于丟番圖方程x3±1＝Dy2［J］.中國科學(xué)，1981，24（12）：1453－1457.（Ke Zhao，Sun Qi.On the Diophantine Equation x3±1＝Dy2［J］.Science in China，1981，24（12）：1453－1457.）

［2］柯召，孫琦.關(guān)于丟番圖方程x3±1＝3Dy2［J］.四川大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1981，18（2）：1－6.（Ke Zhao，Sun Qi.On the Diophantine Equation x3±1＝3Dy2［J］.Journal of Sichuan University：Natural Science，1981，18（2）：1－6.）

［3］羅明.關(guān)于不定方程x3±1＝14y2［J］.重慶交通學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，1995，41（3）：112－115.（Luo Ming.On the Diophantine Equation x3±1＝14y2［J］.Journal of Chongqing Jiaotong University：Natural Science，1995，41（3）：112－115.）

［4］羅明，黃勇慶.關(guān)于不定方程x3－1＝26y2［J］.西南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2007，29（6）：5－7.（Luo Ming，Huang Yongqing.On the Diophantine Equation x3－1＝26y2［J］.Journal of Southwest University：Natural Science，2007，29（6）：5－7.）

［5］韓云娜.關(guān)于Diophantine方程x3－1＝38y2［J］.科學(xué)技術(shù)與工程，2010，10（1）：169－171.（Han Yunna.On the Diophantine Equation x3－1＝38y2［J］.Science Technology and Engineering，2010，10（1）：169－171.）

［6］曹珍富.丟番圖方程引論［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1989.（Cao Zhenfu.Introduction to Diophantine Equations［M］.Harbin：Harbin Institute of Technology Press，1989.）