基于四元數(shù)表示的彩色圖像泊松噪聲去噪

陳北京 戴 慧 劉全升 舒華忠

(1南京信息工程大學(xué)計(jì)算機(jī)與軟件學(xué)院,南京 210044)(2南京信息工程大學(xué)江蘇省網(wǎng)絡(luò)監(jiān)控工程中心,南京 210044)(3南京工程學(xué)院計(jì)算機(jī)工程學(xué)院,南京 210013)(4南布列塔尼大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室,法國(guó)瓦納 56017)(5東南大學(xué)影像科學(xué)與技術(shù)實(shí)驗(yàn)室,南京 210096)

數(shù)字圖像在獲取、數(shù)字化和傳輸過(guò)程中易受到各種噪聲的干擾．為了提高圖像質(zhì)量,在圖像應(yīng)用系統(tǒng)中對(duì)圖像進(jìn)行去噪處理是不可缺少的環(huán)節(jié)[1-3]．目前已有很多針對(duì)灰度圖像的工作,但彩色圖像去噪受到的關(guān)注相對(duì)較少．對(duì)于彩色圖像去噪,主要有2類(lèi)方法:基于分量獨(dú)立處理的方法和基于向量的方法．第1類(lèi)方法采用針對(duì)灰度圖像的算法處理彩色圖像的每個(gè)分量,再對(duì)各個(gè)分量的處理結(jié)果進(jìn)行整合;該類(lèi)方法的不足是沒(méi)考慮到3個(gè)分量的整體性以及它們之間的相關(guān)性[1-4]．第2類(lèi)方法則將每個(gè)像素作為一個(gè)三維向量進(jìn)行整體處理．彩色圖像具有向量特性和3個(gè)分量之間的強(qiáng)頻譜相關(guān)性[2],第2類(lèi)方法較容易平滑邊緣和細(xì)節(jié)[2-3]．

四元數(shù)[5]是傳統(tǒng)復(fù)數(shù)的推廣,1個(gè)四元數(shù)包含1個(gè)實(shí)部和3個(gè)虛部．上世紀(jì)90年代,國(guó)內(nèi)外部分學(xué)者開(kāi)始將四元數(shù)的相關(guān)理論引入到彩色圖像處理中[2-4,6-11]．將彩色圖像的每個(gè)像素值采用1個(gè)純四元數(shù)來(lái)表示,3個(gè)分量作為其3個(gè)虛部．彩色圖像四元數(shù)表示方法的主要優(yōu)勢(shì)在于,在多維空間上將彩色圖像像素作為一個(gè)矢量進(jìn)行整體處理,而非3個(gè)分量分別處理,而且考慮了色彩關(guān)聯(lián)．該方法已經(jīng)成功應(yīng)用于彩色圖像去噪[2-4,6-8]、分割[9]、模式識(shí)別[10]和水印[11]等領(lǐng)域．

目前,一些四元數(shù)濾波器相繼被提出并應(yīng)用于彩色圖像去噪,如四元數(shù)加權(quán)向量中值濾波器[2]、四元數(shù)開(kāi)關(guān)向量中值濾波器[6]、四元數(shù)開(kāi)關(guān)濾波器[3]、四元數(shù)Gabor濾波器[4]、四元數(shù)奇異值分解濾波器[7]、四元數(shù)理想低通濾波器[8]、四元數(shù)Butterworth低通濾波器[8]以及四元數(shù)高斯低通濾波器[8]．前3種濾波器主要針對(duì)脈沖噪聲,后5種則是通用型濾波器．據(jù)查,目前還沒(méi)有特別針對(duì)泊松噪聲的四元數(shù)濾波器．泊松噪聲在光量子計(jì)算成像系統(tǒng)(如CCD固態(tài)光電檢測(cè)器陣列、天文成像和計(jì)算X射線成像CR等)中很常見(jiàn)[12]．

近些年,Buades等[13-14]提出的非局部均值濾波器(non-local means filter,NLMF)因其突出的表現(xiàn)和直觀簡(jiǎn)單的理論基礎(chǔ)受到越來(lái)越多的關(guān)注．NLMF的基本思想是,利用2個(gè)圖像宏塊的相似性,計(jì)算自適應(yīng)均值濾波權(quán)值,并進(jìn)行加權(quán)平均處理．最近,Jin等[15-16]針對(duì)泊松噪聲提出了最優(yōu)權(quán)值NLMF(optimal weights NLMF,OWNLMF),對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該濾波器優(yōu)于現(xiàn)有的多種濾波器．

本文基于彩色圖像四元數(shù)表示方法和四元數(shù)代數(shù)理論,提出四元數(shù)OWNLMF(quaternion OWNLMF,QOWNLMF)，并將其推廣應(yīng)用于彩色圖像泊松噪聲去噪中．

1 四元數(shù)及四元數(shù)彩色圖像表示方法

一個(gè)四元數(shù)q可以表示為

q=a+bi+cj+dk

(1)

式中,a,b,c,d∈R;i,j,k為虛數(shù)單位,且滿足如下運(yùn)算法則:

i2=j2=k2=-1, ij=-ji=k

jk=-kj=i, ki=-ik=j

(2)

q的共軛四元數(shù)及模定義為

(3)

(4)

以RGB顏色空間為例,N×N的彩色圖像f(x)(x∈Ω，Ω為二維坐標(biāo)集合)可以表示為

f(x)=fR(x)i+fG(x)j+fB(x)k

(5)

式中,fR(x),fG(x)和fB(x)分別為彩色圖像的紅、綠、藍(lán)通道．

2 最優(yōu)權(quán)值非局部均值濾波器

非齊次泊松過(guò)程模型[12]已被有效應(yīng)用于圖像泊松噪聲去噪工作中．基于該模型,可將觀測(cè)到的泊松噪聲圖像g(y)表示為

g(y)=f(y)+ε(y)y∈Ω

(6)

式中,ε(y)表示均值為0、方差為f(y)的誤差項(xiàng)．因此,泊松噪聲去噪就是在噪聲圖像g(y)中恢復(fù)原始圖像f(y)．

OWNLMF的基本思想是通過(guò)對(duì)獲取圖像g(y)加權(quán)平均來(lái)估計(jì)未知圖像f(x),即

(7)

(8)

(9)

(10)

d(gy,η,gx,η)=

(11)

式中

Δ=(Δ1,Δ2)

(12)

采用拉格朗日乘數(shù)法可得定理1.

(13)

因此,最優(yōu)權(quán)值非局部均值濾波器OWNLMF的定義如下:

(14)

3 四元數(shù)最優(yōu)權(quán)值非局部均值濾波器

將OWNLMF應(yīng)用于彩色泊松噪聲圖像去噪,最直接的方法是采用基于分量獨(dú)立處理的方法,但這樣處理沒(méi)有考慮到彩色圖像中3個(gè)分量的整體性以及它們之間的聯(lián)系．因此,基于彩色圖像四元數(shù)表示法和四元數(shù)代數(shù)理論,本文利用QOWNLMF進(jìn)行彩色圖像去噪．

(15)

由于誤差項(xiàng)ε(y)是均值為0、方差為f(y)的獨(dú)立同分布變量,故式(15)可記為

(16)

對(duì)于式(16)等式右邊的第2項(xiàng),有

εB(y)k)(-εR(z)i-εG(z)j-εB(z)k))=

(17)

式中,εR(y),εG(y)，εB(y)分別為ε(y)的紅、綠、藍(lán)3個(gè)分量;fR(y),fG(y)，fB(y)分別為f(y) 的紅、綠、藍(lán)3個(gè)分量．式(17)中倒數(shù)第2個(gè)等式利用了數(shù)學(xué)期望的線性特性以及ε(y)和ε(z)的獨(dú)立同分布形狀.如果y≠z,則E(εα(y)εβ(z))=0,α,β∈{R,G,B}.

將式(17)代入式(16)可得

(18)

(19)

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)1 采用標(biāo)準(zhǔn)的384×288像素的Barbara圖像,并在該圖像上添加泊松噪聲(見(jiàn)圖1),采用QOWNLMF對(duì)該噪聲圖像進(jìn)行去噪處理．在不同尺寸的搜索窗和相似性窗下,重建圖像和原圖之間的峰值信噪比(PSNR)見(jiàn)圖2．由圖2可知,存在一個(gè)最優(yōu)的搜索窗和相似性窗尺寸對(duì),本實(shí)驗(yàn)中此搜索窗尺寸為19×19像素,相似性窗為7×7像素．當(dāng)搜索窗尺寸為3×3像素時(shí),PSNR值相對(duì)較小,表明在此搜索窗中需要一定量的像素．不管是搜索窗還是相似性窗,PSNR都隨著窗口尺寸的增大先急速增大,達(dá)到最大值后緩慢減小．相對(duì)而言,搜索窗尺寸的變化對(duì)去噪結(jié)果影響更明顯,這主要是因?yàn)樗阉鞔皟?nèi)的像素為去噪后的圖像貢獻(xiàn)其像素值,而相似性窗則只是決定搜索窗內(nèi)像素的加權(quán)系數(shù),相比相似性窗,搜索窗對(duì)最終的像素值貢獻(xiàn)更大．

圖1 原始Barbara圖像及其泊松噪聲污染圖像

圖2 不同尺寸窗口下QOWNLMF 的去噪結(jié)果

將QOWNLMF與基于向量方法的NLMF(VNLMF)[14]和基于獨(dú)立分量處理方法的OWNLMF(COWNLMF)[15-16]進(jìn)行對(duì)比．利用這些濾波器對(duì)圖1(b)進(jìn)行去噪,計(jì)算去噪結(jié)果與原圖之間的PSNR,并計(jì)算QOWNLMF與VNLMF的PSNR值之差PSNRQV以及QOWNLMF與COWNLMF的PSNR值之差PSNRQC,結(jié)果分別見(jiàn)圖3(a)和圖3(b)．由圖可知,QOWNLMF明顯優(yōu)于另外2種濾波器,PSNR最大差值為搜索窗與相似性窗均為3×3像素時(shí)QOWNLMF和VNLMF之間的差值2.429 8.COWNLMF優(yōu)于VNLMF,這與文獻(xiàn)[15-16]中的結(jié)論一致．圖4展示了不同濾波器采用各自最優(yōu)搜索窗尺寸S1與相似性窗尺寸S2時(shí)的去噪圖像及其差值圖像．其中,對(duì)于VNLMF,S1=9×9像素,S2=5×5像素;對(duì)于COWNLMF,S1=13×13像素,S2=15×15像素;對(duì)于QOWNLMF,的S1=19×19像素,S2=7×7像素．為了更好地展示差值圖像,將差值放大3倍．由圖4可知,QOWNLMF和COWNLMF相對(duì)于VNLMF保留了更多的紋理細(xì)節(jié),特別是在座椅區(qū)域．盡管從肉眼上初看QOWNLMF和COWNLMF效果相當(dāng),但細(xì)看還是能發(fā)現(xiàn)差異,特別是所選區(qū)域的左下角部分．由此可知,QOWNLMF無(wú)論從PSNR數(shù)值方面還是視覺(jué)效果方面都優(yōu)于其他2種濾波器．

實(shí)驗(yàn)2 對(duì)5幅常見(jiàn)圖像以及1幅實(shí)景拍攝圖像添加泊松噪聲(見(jiàn)圖5)．將VNLMF,COWNLMF,QOWNLMF以及基于四元數(shù)奇異值分解的濾波器QSVDF[7]和四元數(shù)高斯低通濾波器QGLPF[8]進(jìn)行對(duì)比．這5種濾波器在各自最優(yōu)搜索窗和相似性窗下對(duì)圖5的去噪結(jié)果見(jiàn)表1．

圖3 不同窗口尺寸下2種濾波器的PSNR值之差

圖4 最優(yōu)搜索窗和相似性窗尺寸下不同濾波器對(duì)圖1(b)的去噪結(jié)果

圖5 6幅泊松噪聲污染圖像

圖6～圖9分別顯示了圖5(a)和(b)的去噪圖像及其差值圖像(差值放大3倍)．由圖可知,由于QOWNLMF和COWNLMF分別采用了使QMSE和MSE最小的最優(yōu)權(quán)值,不管是PSNR值還是視覺(jué)效果上都明顯優(yōu)于其余3種濾波器,再次驗(yàn)證了其有效性．就PSNR而言,QOWNLMF的去噪效果明顯優(yōu)于COWNLMF,其最大PSNR差值為對(duì)圖5(b)去噪時(shí)的結(jié)果1.270 1,最小差值為對(duì)圖5(d)去噪時(shí)的結(jié)果0.378 4;就視覺(jué)方面而言,這2種濾波器的效果相當(dāng),QOWNLMF對(duì)邊緣細(xì)節(jié)保護(hù)相對(duì)更佳,圖7(e)在一些邊緣豐富的區(qū)域(如鼻梁、帽檐和嘴巴區(qū)域)優(yōu)于圖7(d),圖9(e)在冠頂部位優(yōu)于圖9(d)．效果最差的是QSVDF,原因在于QSVDF基于一個(gè)先驗(yàn)假設(shè):小奇異值所對(duì)應(yīng)的特征圖像為噪聲．事實(shí)上這一假設(shè)是不正確的,因?yàn)樵跓o(wú)噪聲污染的圖像中也存在小奇異值．

圖6 最優(yōu)窗口尺寸下各濾波器對(duì)圖5(a)的去噪結(jié)果

圖7 圖6中去噪圖像與原圖像之間的差值圖像

圖8 最優(yōu)窗口尺寸下各濾波器對(duì)圖5(b)的去噪結(jié)果

圖9 圖8中去噪圖像與原圖像之間的差值圖像

表1 不同濾波器的PSNR值

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出一種處理彩色圖像泊松噪聲的四元數(shù)最優(yōu)權(quán)值非局部均值濾波器．該濾波器基于彩色圖像四元數(shù)表示法以及非局部均值濾波器NLMF的基本思想,獲取使重建圖像和原始圖像之間的四元數(shù)均方誤差緊上界最小的權(quán)值,從而構(gòu)造加權(quán)平均濾波器．彩色圖像四元數(shù)表示法將一幅彩色圖像視為一個(gè)整體進(jìn)行處理,并且考慮了色彩之間的關(guān)聯(lián)性．實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,與現(xiàn)有的濾波器相比,QOWNLMF的性能更優(yōu)．

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