瀝青路面黏彈性泊松比近似方法的比較

陳靜云 孫依人 劉佳音 徐輝

(大連理工大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院，大連 116024)

瀝青混合料是一種典型的黏彈性材料，其泊松比是一個(gè)與加載時(shí)間(或頻率)相關(guān)的函數(shù)，而非彈性材料通常采用的常數(shù)0.35［1］.若要客觀反映瀝青路面的實(shí)際行為特性，應(yīng)采用黏彈性泊松比對(duì)其進(jìn)行分析.伴隨著計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的提高，以有限元法為基礎(chǔ)的力學(xué)研究方法為瀝青路面的黏彈性分析提供了有效途徑.然而，大多數(shù)通用有限元程序(如ABAQUS，ANSYS等)僅提供了瞬態(tài)泊松比的常數(shù)參數(shù)輸入，并未提供黏彈性泊松比隨時(shí)間(或頻率)變化的參數(shù)輸入.黏彈性泊松比隨時(shí)間變化的規(guī)律需要通過輸入體積松弛模量K(t)和剪切松弛模量G(t)的Prony級(jí)數(shù)來體現(xiàn).由于體積松弛模量K(t)隨時(shí)間變化很小且難以測(cè)量，故通常對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕铺幚恚⑾鄳?yīng)衍生出3種常見的黏彈性泊松比近似方法.目前，關(guān)于這3種近似方法各自的特點(diǎn)、相互關(guān)系、適用條件以及對(duì)瀝青路面動(dòng)態(tài)響應(yīng)模擬的可靠性的研究較少.為此，本文推導(dǎo)了這3種黏彈性泊松比的數(shù)值關(guān)系，進(jìn)而建立了一種三維瀝青路面黏彈性有限元模型，比較分析了在不同溫度(10，25，50℃)、不同加載時(shí)間(0.1，0.01，0.001 s)下，3 種黏彈性泊松比近似方法對(duì)瀝青路面橫向正應(yīng)力響應(yīng)的影響.

1 本構(gòu)關(guān)系

瀝青混合料是典型的黏彈性熱流變簡(jiǎn)單材料.根據(jù)Boltzmann線性疊加原理，可以得到瀝青混合料的積分型本構(gòu)關(guān)系為［2］

式中，τ為積分變量；E(t)為松弛模量；σ為應(yīng)力；ε為應(yīng)變；tr為參考溫度為T0時(shí)的縮減時(shí)間，其與物理時(shí)間t的關(guān)系為

式中，αT為時(shí)間-溫度移位因子.松弛模量E(t)通?？捎蒔rony級(jí)數(shù)表示，即［3］

式中，Eg為玻璃態(tài)(瞬態(tài))模量；Ei為松弛強(qiáng)度；ρi為松弛時(shí)間；Ee為平衡模量.

黏彈性泊松比也可表示為相似的形式［3］，即

式中，μg為玻璃態(tài)(瞬態(tài))泊松比；μi為與 θi對(duì)應(yīng)的橫向收縮比；θi為推遲時(shí)間；μe為平衡泊松比.

對(duì)各黏彈性材料函數(shù)進(jìn)行Carson變換，將其從時(shí)間域變換到復(fù)數(shù)域，變換前后函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為

式中，s為變換參數(shù)；G(t)為剪切松弛模量；K(t)為體積松弛模量；~E(s)，~μ(s)，~G(s)，~K(s)分別為E(t)，μ(t)，G(t)，K(t)經(jīng) Carson 變換后的函數(shù)形式.

由彈性-黏彈性對(duì)應(yīng)原理可知，在復(fù)數(shù)平面內(nèi)各材料函數(shù)間存在與彈性材料類似的關(guān)系，即

利用移位因子αT，可以將溫度T和加載角頻率ω合并成一個(gè)在參考溫度下的縮減角頻率ωr=ωαT.通過 Carson 變換和變量替換 s→ωri，可將松弛模量E(t)轉(zhuǎn)換成頻域下的復(fù)數(shù)模量E*(ωr).在高溫、低頻加載條件和低溫、高頻加載條件下，ωr分別趨于0和∞，復(fù)數(shù)模量E*(ωr)相應(yīng)達(dá)到接近平衡模量Ee和瞬態(tài)模量Eg的狀態(tài)，均稱為準(zhǔn)彈性狀態(tài).

2 3種黏彈性泊松比近似方法

體積松弛模量K(t)隨時(shí)間變化很小且難以測(cè)量，故通常對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕铺幚?，并相?yīng)衍生出如下3種黏彈性泊松比近似方法:

1)將體積松弛模量K(t)近似為彈性常數(shù)Kc時(shí)，式(6)經(jīng)逆變換可得

此時(shí)，泊松比可以表示為隨時(shí)間變化的泊松比μ(t)［4-6］.

2)將瀝青混合料視為不可壓縮材料時(shí)，K(t)趨于無窮大，式(6)經(jīng)逆變換可得

此時(shí)，泊松比可以表示為不可壓縮泊松比μ(t)=0.5［7］.

3)假設(shè)體積松弛模量K(t)、剪切松弛模量G(t)和松弛模量E(t)均具有相同的松弛時(shí)間分布，由式(6)可知，這3個(gè)材料函數(shù)之間仍存在彈性狀態(tài)下的數(shù)值關(guān)系，即

此時(shí)，泊松比即為常數(shù)泊松比 μ(t)= μc［8-9］.

瀝青混合料黏彈性泊松比隨溫度或加載頻率變化，其范圍約為 0.1 ～0.5［10-11］.本文令瞬態(tài)泊松比μg=0.1，平衡泊松比μe=0.5.由式(7)～(9)可知，本質(zhì)上方法2)是假設(shè)泊松比始終為平衡泊松比μe，方法3)是假設(shè)泊松比始終為瞬態(tài)泊松比μg，而方法1則是介于上述兩者之間的狀態(tài)，即泊松比為0.1～0.5之間隨時(shí)間(或頻率)變化的函數(shù).

3 有限元模型

為比較不同黏彈性泊松比近似方法對(duì)瀝青路面動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，利用ANSYS程序建立了瀝青路面三維黏彈性有限元模型(見圖1).路面結(jié)構(gòu)由瀝青面層、基層和路基組成.瀝青上面層材料型號(hào)為SMA13，厚度為0.04 m；中面層材料為改性瀝青Superpave20，厚度為0.06 m；下面層材料為普通瀝青Superpave25，厚度為0.08 m.瀝青面層的3種材料松弛模量E(t)的Prony級(jí)數(shù)參數(shù)詳見文獻(xiàn)［12］；時(shí)間-溫度移位因子的試驗(yàn)過程及結(jié)果詳見文獻(xiàn)［13］.基層材料為級(jí)配碎石，厚度為0.4 m，彈性模量為250 MPa，阻尼比為0.05；路基的彈性模量為60 MPa，阻尼比為0.05.路面幾何尺寸為6 m×6 m×6 m，采用雙輪均布荷載，將加載區(qū)域簡(jiǎn)化為2個(gè)正方形(尺寸為20 cm×20 cm)，雙輪中心距為30 cm.模型與荷載均具有對(duì)稱性，故采用1/4模型.施加對(duì)稱邊界條件，并假設(shè)模型底面無z方向位移，行車方向前后面無y方向位移，左右面無x方向位移.采用SOLID185單元對(duì)幾何模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分.采用半正弦荷載模擬動(dòng)態(tài)輪載，即［7］

式中，q=0.7 MPa為荷載幅值；d為加載時(shí)間，此處 d=0.1，0.01，0.001 s.

圖1 路面模型示意圖

4 橫向正應(yīng)力響應(yīng)分析

在豎向車輪荷載作用下泊松比效應(yīng)對(duì)路面的橫向響應(yīng)影響最為顯著，故本文對(duì)應(yīng)用不同黏彈性泊松比近似方法獲得的橫向正應(yīng)力響應(yīng)進(jìn)行比較分析.首先，確定計(jì)算點(diǎn).在溫度為25℃、加載時(shí)間為0.01 s的條件下，荷載達(dá)到峰值時(shí)距輪隙中心不同距離、不同深度處橫向正應(yīng)力σx的分布情況見圖2.由圖可見，在距離輪隙中心5～25 cm的位置(即單側(cè)輪載)處，橫向正應(yīng)力的絕對(duì)值隨著路面深度的增加逐漸減小，最終從壓應(yīng)力變?yōu)槔瓚?yīng)力，而在輪隙中心除0.02 m深處橫向正應(yīng)力絕對(duì)值低于單側(cè)輪底壓應(yīng)力外，其他深度處橫向正應(yīng)力絕對(duì)值均達(dá)到最大值，即輪隙中心處為最能體現(xiàn)泊松比對(duì)橫向正應(yīng)力影響的位置.通過對(duì)輪隙中心處不同深度橫向正應(yīng)力的比較發(fā)現(xiàn)，最大壓應(yīng)力出現(xiàn)在改性瀝青SMA13層和改性瀝青Superpave20層的結(jié)合處，因此選擇輪隙中心改性瀝青SMA13層和改性瀝青Superpave20層的結(jié)合處作為計(jì)算點(diǎn).

圖2 荷載達(dá)到峰值時(shí)不同深度的橫向正應(yīng)力分布

圖3 d=0.01 s時(shí)橫向正應(yīng)力的時(shí)程曲線

圖3給出了d=0.01 s時(shí)不同溫度(10，25，50℃)下橫向正應(yīng)力σx的時(shí)程曲線.由圖3(b)可知，溫度為25℃時(shí)采用不同黏彈性泊松比近似方法計(jì)算出的橫向正應(yīng)力有很大差別.由方法2計(jì)算得到的最大橫向正應(yīng)力(0.412 MPa)為方法3計(jì)算結(jié)果(0.223 MPa)的1.81倍，而方法1得到的橫向正應(yīng)力曲線處于上述2條曲線之間.由圖3(c)可知，在高溫(50℃)條件下，基于方法2和方法3的曲線差別更大，而基于方法1和方法2的曲線幾乎重合.另一方面，由圖3(a)可知，10℃時(shí)基于方法1的曲線更為接近基于方法3的曲線；由3種泊松比之間的數(shù)值關(guān)系可以推測(cè)，若溫度繼續(xù)降低，這2條曲線也將變得更加接近甚至重合.這種現(xiàn)象可以用時(shí)間-溫度等效原理來解釋，即高溫條件等效于低頻加載條件，而低溫條件等效于高頻加載條件.高溫時(shí)瀝青混合料更容易產(chǎn)生應(yīng)力松弛現(xiàn)象，從而導(dǎo)致泊松比從0.1迅速變化到接近0.5的狀態(tài)，因此50℃時(shí)基于方法1與方法2的曲線十分接近.相反地，在低溫條件下，由于瀝青混合料松弛時(shí)間延長，瀝青面層處于準(zhǔn)彈性狀態(tài)，其泊松比接近于瞬態(tài)泊松比0.1，故基于方法1的曲線更靠近基于方法3的曲線.

考慮到黏彈性材料除具有溫度依賴性外，還具有時(shí)間(或頻率)依賴性，故對(duì)相同溫度、不同加載時(shí)間(不同車速)下的橫向正應(yīng)力進(jìn)行了比較分析.圖4給出T=25℃，d=0.001，0.1 s時(shí)橫向正應(yīng)力的時(shí)程曲線.與圖3(b)相比，d=0.001 s時(shí)，基于方法1的曲線更接近基于方法3的曲線；而d=0.1 s時(shí)，基于方法1的曲線幾乎與基于方法2的曲線重合.由3種泊松比之間的數(shù)值關(guān)系可以推測(cè)，若加載時(shí)間足夠短(頻率足夠高)，基于方法1的曲線將十分接近基于方法3的曲線，甚至與之重合.這仍然可由時(shí)間-溫度等效原理解釋.由圖3和圖4可知，當(dāng)溫度增加時(shí)，基于方法2和方法3的曲線差異增大，但當(dāng)加載時(shí)間增加時(shí)這2條曲線間的差異逐漸縮小.這是因?yàn)槌损椥圆此杀龋瑸r青層的彎曲剛度也對(duì)曲線變化趨勢(shì)造成了一定的影響，而瀝青路面的橫向正應(yīng)力是各黏彈性材料函數(shù)共同作用產(chǎn)生的綜合響應(yīng).

圖4 T=25℃時(shí)橫向正應(yīng)力的時(shí)程曲線

黏彈性泊松比作為反映瀝青混合料橫向變形的重要物理參數(shù)，與流動(dòng)性車轍的產(chǎn)生存在密切關(guān)系［14］.瀝青路面橫向正應(yīng)力造成的側(cè)向推移是流動(dòng)性車轍產(chǎn)生的主要原因之一.通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)，黏彈性泊松比對(duì)瀝青路面在豎向荷載作用下產(chǎn)生的側(cè)向推移有直接影響.因此，依據(jù)道路材料工作溫度區(qū)域和荷載頻率的不同，采用正確的黏彈性泊松比近似方法，對(duì)于模擬橫向流動(dòng)性車轍及進(jìn)一步研究其產(chǎn)生機(jī)理有重要意義.

5 結(jié)論

1)高溫、低頻加載條件下，采用隨時(shí)間變化泊松比方法得到的橫向正應(yīng)力與采用不可壓縮泊松比方法得到的結(jié)果接近；低溫、高頻加載條件下，采用隨時(shí)間變化泊松比方法得到的橫向正應(yīng)力與采用常數(shù)泊松比方法得到的結(jié)果接近.這種規(guī)律符合熱流變簡(jiǎn)單材料的時(shí)間-溫度等效原理.

2)不同黏彈性泊松比近似方法對(duì)橫向正應(yīng)力計(jì)算結(jié)果影響顯著.不可壓縮泊松比始終保持為0.5，適用于高溫、低頻加載條件；常數(shù)泊松比始終保持為初始瞬態(tài)泊松比0.1，適用于低溫、高頻加載條件；隨時(shí)間變化泊松比則由溫度和加載時(shí)間(或頻率)決定，其值在0.1～0.5之間變化，應(yīng)用不受溫度與加載模式的限制.

3)瀝青路面的側(cè)向推移是流動(dòng)性車轍產(chǎn)生的主要原因之一，而黏彈性泊松比對(duì)瀝青路面在豎向荷載作用下產(chǎn)生的側(cè)向推移有直接影響.因此，依據(jù)道路材料工作溫度區(qū)域和荷載頻率的不同，采用正確的黏彈性泊松比近似方法對(duì)于模擬橫向流動(dòng)性車轍及分析其產(chǎn)生機(jī)理有重要意義.

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