實(shí)時(shí)混合模擬頻域評(píng)價(jià)方法的物理意義

徐偉杰 郭 彤 陳 城

(1東南大學(xué)土木工程學(xué)院，南京 210096)

(2舊金山州立大學(xué)工程學(xué)院，舊金山 94132)

實(shí)時(shí)混合模擬是一種新型的動(dòng)力試驗(yàn)方法［1］.該方法可實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)在足尺條件下的實(shí)時(shí)加載，能夠全面反映其動(dòng)力特性，因而在近年來(lái)得到廣泛關(guān)注和快速的發(fā)展［2-7］.由于伺服系統(tǒng)的動(dòng)力特性，作動(dòng)器總是不能絕對(duì)實(shí)時(shí)地達(dá)到預(yù)定的位移，而是存在一個(gè)“時(shí)滯”，如果不能進(jìn)行合理的補(bǔ)償，將會(huì)導(dǎo)致試驗(yàn)失敗.因此，實(shí)時(shí)混合模擬結(jié)果的有效性評(píng)價(jià)是該試驗(yàn)技術(shù)的核心內(nèi)容之一.文獻(xiàn)［8］提出了一種頻域評(píng)價(jià)方法，將實(shí)時(shí)混合模擬的誤差分為幅值誤差和相位誤差，通過(guò)引入等效頻率的概念，可定量計(jì)算出實(shí)時(shí)混合模擬的時(shí)滯，該方法與傳統(tǒng)的時(shí)域評(píng)價(jià)方法相比，具有一定的優(yōu)越性［9-13］.然而，作為一種新的評(píng)估手段，該方法的物理意義目前尚不夠明確.本文通過(guò)數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)，分別對(duì)線性和非線性子結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，并對(duì)該方法的物理意義做出剖析.

1 頻域評(píng)價(jià)方法

本文涉及的實(shí)時(shí)混合模擬的頻域評(píng)價(jià)方法是一種雙參數(shù)方法［8］，分別采用參數(shù)A和d對(duì)試驗(yàn)的幅值和時(shí)滯進(jìn)行評(píng)估，即

式中，A和d分別表示實(shí)時(shí)混合模擬的幅值和等效時(shí)滯;‖·‖表示求模;FEI為頻域評(píng)價(jià)指標(biāo);φ表示實(shí)時(shí)混合模擬的相位差，可分別按下式計(jì)算:

式中，yI(f)和yo(f)為輸入和輸出的傅里葉變換，一般取計(jì)算位移作為輸入，測(cè)量位移作為輸出;p為分析數(shù)據(jù)的一半;feq表示等效頻率，通過(guò)對(duì)輸入進(jìn)行傅里葉變換，再將得到的頻率按照該頻率的幅值平方進(jìn)行加權(quán)，即

式中，wi和fi為第i個(gè)頻率的權(quán)重和大小.在輸入和輸出進(jìn)行傅里葉變換之前，為消除頻譜泄露的影響，可乘上一個(gè)窗函數(shù)［14］(如漢寧窗).

理想情況下，輸入與輸出沒(méi)有任何誤差，此時(shí)φ和d應(yīng)為0，且A為1.幅值A(chǔ)與1的誤差稱為幅值誤差，相位φ與0的誤差稱為相位誤差.幅值誤差和等效時(shí)滯的絕對(duì)值越小，實(shí)時(shí)混合模擬的效果越好.

按照實(shí)時(shí)混合模擬評(píng)價(jià)方法的基本思路，同樣可以計(jì)算出每一個(gè)頻率的幅值、相位和等效時(shí)滯［8］，即

式中，Aj，φj，dj和 fj分別為第 j個(gè)頻率下的幅值、相位、等效時(shí)滯和頻率.需要注意的是，式(8)計(jì)算得到的相位取值范圍在±π之間，當(dāng)信號(hào)頻率較高時(shí)，計(jì)算得到的相位可能與實(shí)際相位存在誤差(相差若干個(gè)2π).

2 數(shù)值模擬

2.1 試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)為線性結(jié)構(gòu)

首先，利用Matlab軟件的 Simulink模塊［14］進(jìn)行數(shù)值模擬研究.當(dāng)試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)為線性結(jié)構(gòu)時(shí)，設(shè)結(jié)構(gòu)的自振頻率為1 Hz，質(zhì)量m取1000 kg，結(jié)構(gòu)阻尼比為 0.02.根據(jù) Wallace 等［15］的研究，此時(shí)結(jié)構(gòu)保持穩(wěn)定的臨界時(shí)滯為6.4 ms，故實(shí)時(shí)混合模擬的時(shí)滯選擇為5 ms，且在模擬過(guò)程中不采用補(bǔ)償環(huán)節(jié).為了證明實(shí)時(shí)混合頻域評(píng)價(jià)方法能夠區(qū)分幅值誤差，令模擬的測(cè)量位移與指令位移之間存在一個(gè)1.1的幅值誤差.此時(shí)，實(shí)時(shí)混合模擬的Simulink模型如圖1所示，為了防止積分算法對(duì)模擬的影響，采用運(yùn)動(dòng)方程的轉(zhuǎn)換函數(shù)來(lái)代替積分算法.地震波選擇水平分量為CHY101-N的Chi-chi地震波，其峰值加速度為0.4401g.

圖1 實(shí)時(shí)混合模擬的Simulink模型

采用實(shí)時(shí)混合模擬頻域評(píng)價(jià)方法，將計(jì)算位移作為輸入，指令位移作為輸出，得到的幅值、相位和等效時(shí)滯分別為1.1，－0.0326 rad和5 ms，這與理論值完全相同.為研究頻域評(píng)價(jià)方法的物理意義，根據(jù)式(7)～(9)和式(5)分別計(jì)算出每個(gè)頻率的幅值、相位和等效時(shí)滯以及每個(gè)頻率在加權(quán)時(shí)的權(quán)重，如圖2所示.由圖2(a)可見(jiàn)，對(duì)于幅值A(chǔ)，除在高頻處存在突變外，其他數(shù)值整體上較為平穩(wěn);而由圖2(b)可以發(fā)現(xiàn)，相位φ著隨頻率的增加而近似呈周期性變化，這是由于式(8)計(jì)算得到的相位只能在±π之間，當(dāng)相位超過(guò)±π時(shí)，計(jì)算得到的高頻相位要比實(shí)際相位大若干個(gè)2π.因此，當(dāng)頻率在較低的范圍內(nèi)時(shí)，計(jì)算得到的等效時(shí)滯約為5 ms，而當(dāng)頻率較大時(shí)，時(shí)滯將出現(xiàn)震蕩，如圖2(c)所示.由于圖2(b)中每一段相位都是隨頻率增加而線性減小，故理論上時(shí)滯在各個(gè)頻率上仍然為5 ms左右.然而，由圖2(d)可以發(fā)現(xiàn)，權(quán)重主要集中在低頻段，故在頻域評(píng)價(jià)方法中，高頻處相位和時(shí)滯計(jì)算的誤差可以忽略.

圖2 線性結(jié)構(gòu)頻域評(píng)價(jià)方法在各個(gè)頻率上的指標(biāo)

圖3進(jìn)一步給出了低頻區(qū)的頻域分析結(jié)果.由圖3(a)可以發(fā)現(xiàn)，低頻上的幅值并非是1.1，但是相差非常小;而圖3(b)中的相位也不是一條直線.當(dāng)頻率稍大于0 Hz時(shí)，計(jì)算得到的時(shí)滯與5 ms相差較大，相差部分的時(shí)滯稱為“虛假時(shí)滯”，隨頻率的增加，時(shí)滯很快收斂到5 ms，如圖3(c)所示.虛假時(shí)滯主要集中在前3個(gè)頻率，這可能是由于傅里葉變換引起的，當(dāng)前3個(gè)頻率權(quán)重不大時(shí)，該虛假時(shí)滯對(duì)等效時(shí)滯不會(huì)產(chǎn)生影響，當(dāng)前3個(gè)頻率權(quán)重較大時(shí)(主要指非線性結(jié)構(gòu))，會(huì)對(duì)時(shí)滯產(chǎn)生較大影響，所以應(yīng)在加權(quán)時(shí)將前3個(gè)頻率的計(jì)算結(jié)果舍去.此外，由于實(shí)時(shí)混合模擬過(guò)程中存在1.1的幅值誤差，因此結(jié)構(gòu)的等效頻率要稍微大于1 Hz，如圖3(d)所示.

圖3 線性結(jié)構(gòu)頻域評(píng)價(jià)方法在低頻上的指標(biāo)

對(duì)于每個(gè)頻率，在計(jì)算其幅值A(chǔ)j、相位φj和時(shí)滯dj時(shí)，按照該頻率的權(quán)重wj進(jìn)行加權(quán)，由此得到綜合的幅值A(chǔ)'、相位φ'和等效時(shí)滯d'，即

由式(10)～(12)計(jì)算得到的幅值A(chǔ)'、相位φ'和等效時(shí)滯 d'分別為 1.1，－0.0326 rad和5 ms，與采用頻域評(píng)價(jià)方法直接計(jì)算得到的幅值、相位和等效時(shí)滯完全相同.因此，實(shí)時(shí)混合模擬的頻域評(píng)價(jià)方法實(shí)質(zhì)上是計(jì)算出各個(gè)頻率的幅值和相位，并按照各頻率輸入幅值平方的權(quán)重進(jìn)行加權(quán).

2.2 試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)為非線性結(jié)構(gòu)

當(dāng)結(jié)構(gòu)為非線性結(jié)構(gòu)時(shí)，采用與線性結(jié)構(gòu)相同的模型和參數(shù)，但用 Bouc-Wen模型［16］來(lái)代替試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)的剛度k，Bouc-Wen模型計(jì)算恢復(fù)力的方法為

式中，xy為數(shù)結(jié)構(gòu)的屈服位移，xy=10 mm;k為結(jié)構(gòu)的線彈性剛度，k=11.75 kN/mm;η為數(shù)值子結(jié)構(gòu)屈服前后的剛度比，η=0;x(t)為施加在數(shù)值子結(jié)構(gòu)上的位移;z(t)為Bouc-Wen參數(shù)，由以下方程得到:

式中，β，γ，q為控制滯回曲線形狀的參數(shù)，其值分別為0.55，0.45和2.由于非線性有助于提高結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，故模擬在5 ms的時(shí)滯下仍然會(huì)保證穩(wěn)定.采用實(shí)時(shí)混合模擬頻域評(píng)價(jià)方法，將計(jì)算位移作為輸入，指令位移作為輸出，得到的幅值、相位和等效時(shí)滯分別為1.1，－0.0033 rad和5 ms.由于結(jié)構(gòu)的非線性會(huì)降低結(jié)構(gòu)剛度，因此非線性結(jié)構(gòu)的相位小于線性結(jié)構(gòu)的相位.根據(jù)式(6)～(8)分別計(jì)算出每個(gè)頻率上的幅值、相位和等效時(shí)滯以及每個(gè)頻率在加權(quán)時(shí)的權(quán)重，如圖4所示.

與線性結(jié)構(gòu)類似，幅值A(chǔ)除在高頻處存在突變外，總體上較為平穩(wěn)，如圖4(a)所示.與圖2(b)相比，圖4(b)中的相位φ不再隨頻率做周期性變化.由于式(8)計(jì)算得到的相位只能在±π之間，因而高頻范圍內(nèi)的等效時(shí)滯計(jì)算結(jié)果并不準(zhǔn)確.當(dāng)頻率較低時(shí)，計(jì)算得到的等效時(shí)滯在5 ms左右，而當(dāng)頻率較大時(shí)，時(shí)滯同樣出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象，如圖4(c)所示.由圖4(d)可發(fā)現(xiàn)，權(quán)重主要集中在低頻段，故在頻域評(píng)價(jià)方法中，高頻處相位和時(shí)滯計(jì)算的誤差同樣可被忽略.圖5給出了低頻區(qū)段的計(jì)算結(jié)果.

圖4 非線性結(jié)構(gòu)頻域評(píng)價(jià)方法在各個(gè)頻率上的指標(biāo)

圖5 非線性結(jié)構(gòu)頻域評(píng)價(jià)方法在低頻上的指標(biāo)

非線性結(jié)構(gòu)的幅值A(chǔ)、相位φ和等效時(shí)滯d與線性結(jié)構(gòu)類似，如圖5(a)～(c)所示.然而，非線性結(jié)構(gòu)的權(quán)重主要集中在0.1 Hz附近，明顯小于線性結(jié)構(gòu)的情況(見(jiàn)圖3(d)，集中于1.0 Hz)，這是由于結(jié)構(gòu)的非線性會(huì)造成剛度退化，從而降低了結(jié)構(gòu)的等效頻率，如圖5(d)所示.同時(shí)，虛假時(shí)滯范圍內(nèi)的頻率權(quán)重不大，對(duì)等效時(shí)滯的影響可忽略.

采用式(10)～(12)計(jì)算得到綜合的幅值A(chǔ)'、相位 φ'和等效時(shí)滯 d'分別為1.1，－0.0033 rad 和5 ms，與采用頻域評(píng)價(jià)方法直接計(jì)算得到的幅值、相位和等效時(shí)滯完全相同，進(jìn)一步證明了實(shí)時(shí)混合模擬的頻域評(píng)價(jià)方法實(shí)質(zhì)上是計(jì)算出各個(gè)頻率的幅值和相位，并按照各頻率輸入幅值平方的權(quán)重進(jìn)行加權(quán).

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證頻域評(píng)價(jià)方法的物理意義，利用Lehigh大學(xué)完成的實(shí)時(shí)混合模擬試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析［13］.其中，數(shù)值子結(jié)構(gòu)采用多自由度的鋼框架，其質(zhì)量為5.034×105kg，結(jié)構(gòu)自振頻率為0.77 Hz，阻尼比為0.02.試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)采用洛德(LORD)公司生產(chǎn)的磁流變(MR)阻尼器.阻尼器的長(zhǎng)度為1.47 m，沖程為584 mm，最大工作荷載為200 kN.整個(gè)試驗(yàn)裝置由阻尼器、作動(dòng)器、反力架等依次串聯(lián)而成.動(dòng)態(tài)作動(dòng)器的最大輸出荷載為1700 kN，沖程為500 mm，最大運(yùn)動(dòng)速率為760 mm/s，伺服控制器采用PID控制，其中比例增益為20，積分增益為4，微分增益為0，采樣頻率為1024 Hz.積分算法采用 CR算法［3］，補(bǔ)償方法采用倒轉(zhuǎn)補(bǔ)償法［4］，預(yù)測(cè)時(shí)滯為 29 ms.

由于試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)為非線性結(jié)構(gòu)，根據(jù)式(7)和(8)分別計(jì)算出每個(gè)頻率上的幅值、相位和等效時(shí)滯以及每個(gè)頻率的權(quán)重，如圖6所示.由圖可以發(fā)現(xiàn)，實(shí)時(shí)混合模擬的幅值變化規(guī)律與非線性結(jié)構(gòu)較為相似，而圖6(b)中相位在低頻波動(dòng)要比數(shù)值模擬更為明顯，這同樣造成了時(shí)滯在低頻的波動(dòng)，如圖6(c)所示.由圖6(d)還可以發(fā)現(xiàn)，權(quán)重主要集中在低頻段.圖7給出了低頻區(qū)段的計(jì)算結(jié)果.

圖6 實(shí)時(shí)混合模擬頻域評(píng)價(jià)方法在各個(gè)頻率上的指標(biāo)

圖7 實(shí)時(shí)混合模擬頻域評(píng)價(jià)方法在低頻率上的指標(biāo)

由圖7(a)可發(fā)現(xiàn)，在低頻區(qū)域，幅值A(chǔ)約為1，說(shuō)明實(shí)時(shí)混合模擬的幅值誤差較小;圖7(b)中的相位在0附近，說(shuō)明實(shí)時(shí)混合模擬的時(shí)滯較小.由圖7(c)可見(jiàn)，當(dāng)頻率非常小時(shí)，由于虛假時(shí)滯的影響，得到的時(shí)滯存在較大誤差.且由于權(quán)重集中于該非常小的范圍(見(jiàn)圖7(d))，在加權(quán)中若將這部分時(shí)滯考慮進(jìn)去會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生較大的影響.經(jīng)試算，從第4個(gè)頻率開(kāi)始加權(quán)得到的效果較好，得到的幅值、相位和等效時(shí)滯分別為1.007，0.0013 rad和－0.4 ms.這說(shuō)明實(shí)時(shí)混合模擬中，測(cè)量位移的幅值是計(jì)算位移的1.007倍，同時(shí)要比計(jì)算位移滯后0.4 ms.將式(10)～(12)從第4個(gè)頻率開(kāi)始加權(quán)，得到綜合的幅值A(chǔ)'、相位φ'和等效時(shí)滯d'同樣是 1.007，0.0013 rad 和－0.4 ms，再次驗(yàn)證了實(shí)時(shí)混合模擬頻域評(píng)價(jià)方法的意義.

4 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)實(shí)時(shí)混合模擬的頻域評(píng)價(jià)方法進(jìn)行了簡(jiǎn)要介紹，分別計(jì)算了數(shù)值模擬和試驗(yàn)中每個(gè)頻率上的幅值、相位、等效時(shí)滯和權(quán)重，并與整體的幅值、相位、等效時(shí)滯進(jìn)行對(duì)比，證明實(shí)時(shí)混合模擬的頻域評(píng)價(jià)方法實(shí)質(zhì)上是計(jì)算出各個(gè)頻率的幅值和相位，并按照各頻率輸入幅值平方的權(quán)重進(jìn)行加權(quán).

各個(gè)頻率組分在結(jié)果中的權(quán)重并不相同，低頻組分對(duì)于結(jié)果的影響顯著高于高頻組分.此外，通過(guò)計(jì)算每個(gè)頻率上的等效時(shí)滯發(fā)現(xiàn)，當(dāng)頻率非常小時(shí)，計(jì)算得到的等效時(shí)滯與時(shí)滯的理論值有時(shí)會(huì)存在顯著差異(當(dāng)權(quán)重集中在該低頻范圍之外時(shí)除外).此時(shí)可以將前面極低頻率組分(如前3個(gè)頻率)舍棄，從之后的頻率開(kāi)始加權(quán).對(duì)于頻率的截取，尚需在后續(xù)研究中做進(jìn)一步的分析.

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