項(xiàng)目化教學(xué)在微積分課程中的運(yùn)用

李 靜

(貴州商業(yè)高等專科學(xué)校 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系，貴州 貴陽(yáng) 550004)

高等數(shù)學(xué)作為基本素質(zhì)與能力的公共必修基礎(chǔ)課程，一直在高職高專院校的各專業(yè)課程體系中占據(jù)著不可或缺的基礎(chǔ)性地位。高等數(shù)學(xué)課程的開展不僅是各專業(yè)課程教學(xué)的基礎(chǔ)也是訓(xùn)練學(xué)生的思維邏輯能力的有效方式。在現(xiàn)今，高職高專強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)技能型應(yīng)用人才的教學(xué)模式下，如何能更好的發(fā)揮高等數(shù)學(xué)課程在專業(yè)課程中的基礎(chǔ)作用，如何讓學(xué)生擺脫為了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)而學(xué)習(xí)的填鴨式學(xué)習(xí)方式，就是一個(gè)值得我們?nèi)パ芯亢徒鉀Q的問(wèn)題。

本文以微積分課程中導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用教學(xué)為例，詳細(xì)描述了這部分教學(xué)內(nèi)容的實(shí)施過(guò)程。希望通過(guò)對(duì)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)過(guò)程的介紹，能對(duì)高等數(shù)學(xué)課程在高職高專中的開展提出一個(gè)有效的教學(xué)方式。

一 教學(xué)思路的設(shè)計(jì)

函數(shù)極值的教學(xué)是在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)與微分的概念和計(jì)算以后涉及到的應(yīng)用方面的介紹。其教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)是在了解了極值與最值的判斷方法后對(duì)其加以應(yīng)用。常規(guī)的數(shù)學(xué)教學(xué)中往往重視計(jì)算的過(guò)程和定理、法則的推算，雖然在一定程度上對(duì)學(xué)生的思維邏輯能力訓(xùn)練起到作用，但因?yàn)檫^(guò)程過(guò)于枯燥，描述過(guò)于抽象，造成學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性不足。容)、建立方程(引導(dǎo)、激發(fā)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的思考和分析)、解決方程(引入具體導(dǎo)數(shù)與微分應(yīng)用中各個(gè)不同方面知識(shí)的介紹)。具體過(guò)程如下(圖2)。

圖2 導(dǎo)數(shù)與微分項(xiàng)目化教學(xué)過(guò)程

圖1 傳統(tǒng)導(dǎo)數(shù)與微分應(yīng)用教學(xué)的過(guò)程

項(xiàng)目化教學(xué)是近年來(lái)高職高專學(xué)校對(duì)專業(yè)類課程提出的教學(xué)改進(jìn)方向，其過(guò)程是基于實(shí)際工作環(huán)境和要求的項(xiàng)目化內(nèi)容介紹。根據(jù)工作的不同階段對(duì)應(yīng)實(shí)際的需求解決實(shí)際的問(wèn)題，如:《數(shù)據(jù)庫(kù)基礎(chǔ)》課程，在教學(xué)初給出學(xué)生成績(jī)數(shù)據(jù)庫(kù)的實(shí)際需求，在教學(xué)過(guò)程中對(duì)數(shù)據(jù)庫(kù)的建立和管理過(guò)程圍繞這一要求來(lái)實(shí)施，學(xué)生明確學(xué)習(xí)的目標(biāo)，將一個(gè)整體項(xiàng)目的不同部分具體實(shí)現(xiàn)，這就提高了學(xué)習(xí)的興趣和學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)并加以應(yīng)用的教學(xué)效果。我個(gè)人認(rèn)為將項(xiàng)目化教學(xué)的方法適當(dāng)?shù)囊胛⒎e分教學(xué)中，不僅可以將零碎的知識(shí)統(tǒng)一，更主要的是讓學(xué)生了解學(xué)習(xí)知識(shí)的實(shí)際使用方向，加以提高他們對(duì)知識(shí)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。

在介紹了導(dǎo)數(shù)與微分的概念及簡(jiǎn)單的運(yùn)算法則后，對(duì)導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)用就可以采用項(xiàng)目化的模式:先提出問(wèn)題(明確實(shí)際要求，先入為主，抓住興趣點(diǎn))、在分析問(wèn)題(對(duì)問(wèn)題中涉及的解決方法和思路進(jìn)行梳理，進(jìn)一步了解問(wèn)題的具體內(nèi)

二 課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)

教學(xué)內(nèi)容:導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用;課時(shí)數(shù):4節(jié);教學(xué)項(xiàng)目名稱:春運(yùn)票價(jià)問(wèn)題。

1.問(wèn)題提出

據(jù)鐵路局調(diào)查，在春運(yùn)期間，火車票價(jià)會(huì)進(jìn)行一定的上浮，相應(yīng)客源會(huì)有所減少。通過(guò)分析得出當(dāng)票價(jià)每上漲10元時(shí)，每趟列車旅客將減少30人。平時(shí)廣州到上海的列車每趟限坐1800名旅客。春運(yùn)期間，廣州到上海的票價(jià)上浮25%，調(diào)整后的春運(yùn)票價(jià)為480元/張，(1)問(wèn)春運(yùn)前的票價(jià)是多少?(2)春運(yùn)期間，廣州到上海的票價(jià)定為多少元時(shí)，鐵路局能保證每列客車的收入最多?(3)在春運(yùn)期間，應(yīng)該如何對(duì)任意車次車票定價(jià)，才能保證每列客車的收入為最多?(4)試分析在票價(jià)發(fā)生變化時(shí)票價(jià)與收入之間的關(guān)系?

2.假設(shè)說(shuō)明

(1)期間旅客流量為均勻分布。

(2)平時(shí)廣州到上海的列車每趟限做1800名旅客為統(tǒng)計(jì)的平均值。

(3)當(dāng)票價(jià)每上漲10元時(shí)，每趟列車旅客人數(shù)將減少30人。

(4)每趟列車一般運(yùn)載1800名旅客。

3.問(wèn)題分析、建立數(shù)學(xué)方程及求解

問(wèn)題一:

設(shè)春運(yùn)前票價(jià)為q元。由于春運(yùn)期間鐵路客流量太大，鐵路局一直都采用票價(jià)上浮方法減少客流。廣州到上海的票價(jià)上浮25%，調(diào)整后的票價(jià)為480元/張，

即(1+0.25)q＝480，解得 q＝384元。

由此可得，廣州到上海的票價(jià)在春運(yùn)前為384元/張。

問(wèn)題二:

由于春運(yùn)期間，火車票的上浮，造成客流減少，當(dāng)票價(jià)每上漲10元，每趟列車旅客數(shù)將減少30人，平時(shí)廣州到上海的列車每趟1800名旅客。

設(shè)票價(jià)上漲10x元，則每趟列車旅客將減少30x人，每列客車的收入為L(zhǎng)元。

每列客車的收入＝票價(jià)×人數(shù)

則 L＝(384+10x)(1800-30x)，(0≤x＜60)

這是一個(gè)關(guān)于票價(jià)應(yīng)上漲10元的多少倍，廣州到上海的列車收入最大的數(shù)學(xué)方程。

即求一元函數(shù)的最值問(wèn)題。

求函數(shù)L＝-300x^2+6480x+691200 對(duì)x求導(dǎo)數(shù)

觀察函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題:dL/dx＞0 得到x＜10.8

即L在(0≤x＜10.8)區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加

dL/dx＜0 得到 x＞10.8

即L在(10.8＜x＜60)區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少

觀察函數(shù)的極值問(wèn)題:令dL/dx＝0，即x＝10.8

由于(dL)^2/(dx)^2＝-600＜0

由函數(shù)極值的充分條件知，在點(diǎn)x＝10.8處收入函數(shù)L取最大值，最大值L(10.8)＝726192元。

這時(shí)票價(jià)應(yīng)定位為492(＝384+10×10.8)元/張。

得到，春運(yùn)期間若以廣州到上海的列車為例，票價(jià)定為492元/張時(shí)，鐵路局的每列客車收入最多，達(dá)726192元。

問(wèn)題三:

設(shè)任意車在春運(yùn)前票價(jià)為q元，票價(jià)每上漲10x元，則該趟列車旅客數(shù)將減少30x人，每趟列車運(yùn)載能力1800名旅客，每列客車的收入為L(zhǎng)元，

則L＝(q+10x)(1800-30x)

求函數(shù)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，得:dL/dx＝-600x+18000-30q，(0≤x＜60)

觀察函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題:dL/dx＞0 得到x＜30-q/20

即L在(0≤x＜30-q/20)區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加

dL/dx＜0 得到x＞30-q/20

即L在(30-q/20＜x＜60)區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少

觀察函數(shù)的極值問(wèn)題:令dL/dx＝0，x＝30-q/20，

由于(dL)^2/(dx)^2＝-600＜0，由函數(shù)極值的充分條件知，在點(diǎn) x＝30-q/20處(0≤x＜60，q

≤600)，收入函數(shù)L取最大值。

所以春運(yùn)期間票價(jià)＝q+10(30-q/20)＝300+q/2。

鐵路局在春運(yùn)期間，對(duì)任意車次的票價(jià)定價(jià)為(300+q/2)/張時(shí)，該列列車的收入最多。

問(wèn)題四:

這是一個(gè)函數(shù)邊際的問(wèn)題關(guān)系:

根據(jù)問(wèn)題三得出 L＝-300x^2+(18000-30q)x+1800q (0≤x＜60)

求函數(shù)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，得:dL/dx＝-600x+18000-30q

要討論票價(jià)與收入的關(guān)系，假設(shè)春運(yùn)時(shí)票價(jià)為p元，則x＝(p-q)/10，將其代入上式

dL/dx＝-600*(p-q)/10+18000-30q

＝30q-60p+18000

得到某趟列車春運(yùn)前票價(jià)為q元后，但春運(yùn)期間票價(jià)定價(jià)為p元時(shí)，每提高1元票價(jià)，收入增加30q-60p+18000元。

三 對(duì)今后教學(xué)的建議

微積分課程在專業(yè)課程體系中的定位為公共基礎(chǔ)性課程，其開設(shè)的目的是為后續(xù)專業(yè)課程的開設(shè)做的一個(gè)技術(shù)層面的鋪墊。而隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)在學(xué)科中的拓展，學(xué)習(xí)中涉及到的數(shù)據(jù)量和復(fù)雜程度也超過(guò)以往的要求，這就使得學(xué)生常常在學(xué)習(xí)了微積分等基礎(chǔ)課程后，在學(xué)習(xí)專業(yè)課程中再次碰到類似的函數(shù)求解問(wèn)題，老師需要重新復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)生需要重新針對(duì)性進(jìn)行學(xué)習(xí)后才能使用。這些也是現(xiàn)今在高職高專學(xué)校提出項(xiàng)目化改革后，數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課程漸漸被專業(yè)基礎(chǔ)類課程所取代的主要原因。既如此，在基礎(chǔ)類課程開設(shè)時(shí)何不有針對(duì)性的對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行取舍，將原來(lái)重求解、重計(jì)算過(guò)程的教學(xué)方式轉(zhuǎn)變?yōu)橹貞?yīng)用，重解決問(wèn)題的實(shí)際操作上。以此來(lái)培養(yǎng)學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題中解決問(wèn)題的思維方式，而省略為了求解而進(jìn)行的反復(fù)計(jì)算練習(xí)環(huán)節(jié)。

為此，在微積分課程中引入項(xiàng)目化思維進(jìn)行教學(xué)，將原有課程體系取精去繁，注重學(xué)生解決問(wèn)題思維方式的訓(xùn)練，讓基礎(chǔ)類課程能更好的為后繼專業(yè)課程的開展做鋪墊是值得嘗試的教學(xué)研究。

文中對(duì)導(dǎo)數(shù)與微分部分教學(xué)的嘗試，就是在學(xué)習(xí)、認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)與微分的概念及基本定理的基礎(chǔ)上，結(jié)合數(shù)學(xué)軟件(如:MATLAB等)進(jìn)行計(jì)算方法介紹后，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用能力培養(yǎng)。拋開原有教學(xué)中對(duì)不同類型函數(shù)計(jì)算方法的學(xué)習(xí)，將它交給計(jì)算機(jī)處理，轉(zhuǎn)而重視對(duì)概念的理解及定理的應(yīng)用。從分析問(wèn)題、建立函數(shù)關(guān)系方面培養(yǎng)學(xué)生的思維邏輯能力;從求解問(wèn)題方面培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，兩者相結(jié)合，真正意義上做到對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高。

自古就有“師為傳到授業(yè)解惑者”之說(shuō)，在教與學(xué)的關(guān)系上，教師應(yīng)作為知識(shí)的傳授者(介紹基本概念、定理)、作為學(xué)習(xí)方法的介紹者(在分析問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)關(guān)系)、作為知識(shí)應(yīng)用的引導(dǎo)者(項(xiàng)目化的教學(xué)模式中)。而學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體，只有將他們的主動(dòng)性充分調(diào)動(dòng)起來(lái)，才能真正達(dá)到教學(xué)的目的。

[1]《數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》張珠寶主編

[2]經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué).：少年時(shí)/曾文斗主編.—北京：高等教育出版社

[2]高職高專高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)特色教材系列：教育部高職高專推薦教材【微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)】第三版