運(yùn)動(dòng)單站定位與多站測(cè)向定位的統(tǒng)一理論模型

石 榮，閻 劍，張 聰

（電子信息控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都610036）

將式（7）與式（8）代入式（6）可得：

式中：

0 引 言

根據(jù)觀測(cè)站的數(shù)目可以將無(wú)源定位問(wèn)題劃分為兩大類：一類是單站無(wú)源定位；另一類是多站無(wú)源定位。一般情況下，在單站無(wú)源定位中，都要求觀測(cè)站與目標(biāo)之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)；而多站無(wú)源定位則無(wú)此要求。

在運(yùn)動(dòng)單站對(duì)固定目標(biāo)的無(wú)源定位中，目前普遍采用在輻射源來(lái)波方向測(cè)量的基礎(chǔ)上，結(jié)合基于切向運(yùn)動(dòng)的測(cè)距來(lái)實(shí)現(xiàn)定位。這一單站定位方法所需要測(cè)量的物理量主要包括2個(gè)參數(shù)：來(lái)波方向和來(lái)波方向的角度變化率，而這2個(gè)參數(shù)的常用測(cè)量方法都是通過(guò)干涉儀來(lái)完成的。根據(jù)干涉儀測(cè)向計(jì)算公式，通道間的相位差為：

式中：L為干涉儀2個(gè)接收天線之間的間距；λ為電磁波波長(zhǎng)；θ為來(lái)波方向角。

由此可見：干涉儀通道間的相位差信息直接對(duì)應(yīng)了輻射源的來(lái)波方向角，而相位差變化率信息也就反映了來(lái)波方向角的角度變化率，因?yàn)閺臄?shù)學(xué)模型上看，后者是前者對(duì)時(shí)間求導(dǎo)的結(jié)果，即：

在獲得θ與˙θ的基礎(chǔ)上，結(jié)合運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的速度參數(shù)，便可計(jì)算出觀測(cè)站與輻射源之間的距離r，從而實(shí)現(xiàn)單站定位[1-2]。

在多站無(wú)源定位方法中有時(shí)差、頻差和測(cè)向交叉等體制。而最常用的是測(cè)向交叉定位，即各個(gè)觀測(cè)站在對(duì)輻射源來(lái)波方向進(jìn)行測(cè)向的基礎(chǔ)上，通過(guò)方向信息的處理與融合得到輻射源的位置[3]，這樣多站之間的站間協(xié)同要求程度最低，應(yīng)用方便。

如前所述，單站定位與多站定位在理論模型與處理流程上基本相互獨(dú)立，各自形成了2套處理方法，而且在系統(tǒng)上幾乎也是分離設(shè)計(jì)，造成了無(wú)源定位系統(tǒng)應(yīng)用上的隔閡與冗余配置。針對(duì)這一問(wèn)題，本文從另外一個(gè)視角出發(fā)，利用多站測(cè)向交叉定位理論對(duì)基于切向運(yùn)動(dòng)測(cè)距的單站定位方法進(jìn)行了分析與解釋，在時(shí)間尺度上通過(guò)短時(shí)觀測(cè)特性，從多站測(cè)向交叉定位理論模型自然過(guò)渡到了基于切向運(yùn)動(dòng)測(cè)距的單站定位理論模型；在數(shù)據(jù)處理上，通過(guò)最小二乘來(lái)展示了2種方法的統(tǒng)一性，從而揭示了2種定位方法之間的相互聯(lián)系，建立了基于切向運(yùn)動(dòng)測(cè)距的單站定位與多站測(cè)向交叉定位的統(tǒng)一理論模型，并通過(guò)仿真進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 基于切向運(yùn)動(dòng)測(cè)距的單站定位理論模型

到目前為止，大量的文獻(xiàn)對(duì)基于切向運(yùn)動(dòng)的單站定位體制的技術(shù)原理、測(cè)量方法、數(shù)據(jù)處理流程等各個(gè)方面進(jìn)行了全面的論述[4-8]，雖然從理論上講，基于切向運(yùn)動(dòng)測(cè)距的單站定位具有瞬時(shí)定位能力，但是在實(shí)際應(yīng)用中，采用該方法進(jìn)行定位時(shí)都有一個(gè)逐漸收斂的持續(xù)時(shí)段過(guò)程，然后才能達(dá)到一定的定位精度。

基于切向運(yùn)動(dòng)測(cè)距的單站定位理論主要有2種表述方式：一種是基于運(yùn)動(dòng)學(xué)的表述；另一種是基于幾何學(xué)的表述。此處主要從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度在二維平面條件下簡(jiǎn)要概述[2]。

根據(jù)物理學(xué)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)相關(guān)定律，有下式成立：

式中：vT為運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的線速度，其方向始終保持與圓周相切，此處的線速度相當(dāng)于切向速度；ω為角速度。

如果將運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)與圓心之間的連線和固定參考方向形成的夾角記為θ，那么有即ω也等于構(gòu)造出的夾角的角度變化率，r為運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)與圓心之間的距離，利用式（3）可求得距離r為：

式（4）即是在運(yùn)動(dòng)學(xué)中利用切向速度和角度變化率來(lái)進(jìn)行測(cè)距的理論計(jì)算公式。

在工程應(yīng)用中，通常情況下運(yùn)動(dòng)單站采用干涉儀對(duì)來(lái)波方向進(jìn)行測(cè)向，從而獲得角度測(cè)量值θ序列，并同時(shí)獲得角度變化率的測(cè)量值˙θ，然后在與該來(lái)波方向相垂直的方向上，利用傳感器獲得運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的切向速度測(cè)量值vT，通過(guò)式（4）便可計(jì)算得到觀測(cè)站與目標(biāo)之間的距離值r，從而在以運(yùn)動(dòng)單站為原點(diǎn)的本地極坐標(biāo)系下得到輻射源的定位位置為（r，θ）。由于上述方法中采用了干涉儀測(cè)向和干涉儀通道間的相位差變化率測(cè)量，所以該單站定位方法在工程上也被稱為“基于干涉儀相位差變化率測(cè)量的單站定位”。

2 多站測(cè)向交叉定位理論模型

多站測(cè)向交叉定位在部分文獻(xiàn)中也被稱為“三角定位”，其基本原理可以從雙站測(cè)向交叉擴(kuò)展至多站測(cè)向交叉，所以下面以二維平面條件下的雙站測(cè)向交叉定位為基礎(chǔ)進(jìn)行理論分析。2個(gè)觀測(cè)站與固定目標(biāo)點(diǎn)之間的位置如圖1所示。2個(gè)觀測(cè)站之間的距離記為S，這2個(gè)觀測(cè)站也可看成是由1個(gè)觀測(cè)站在ΔT的時(shí)間內(nèi)以速度v0運(yùn)動(dòng)了一段距離S＝v0·ΔT的再次測(cè)量，且2個(gè)觀測(cè)站相對(duì)于同一參考方向測(cè)量得到的來(lái)波方位角分別為θ1和θ2。

圖1 雙站測(cè)向交叉定位示意圖

圖1中記觀察站O1與目標(biāo)T之間的距離為r，根據(jù)圖1中的幾何關(guān)系有下式成立：

由式（5）可知，在運(yùn)動(dòng)時(shí)間ΔT已知且來(lái)波方向角θ1、θ2和運(yùn)動(dòng)速度v0可由相關(guān)傳感器測(cè)量得到的條件下，由式（5）可計(jì)算出在以觀測(cè)站O1為原點(diǎn)的本地極坐標(biāo)系下輻射源的位置（r，θ1）。

在多站測(cè)向交叉定位中，可以得到多個(gè)類似于式（5）的測(cè)量等式，然后通過(guò)各種形式最小二乘方法來(lái)得到最終融合后的輻射源定位值。

3 單站定位與多站定位之間的統(tǒng)一理論模型

3.1 兩種定位模型在時(shí)間尺度上的統(tǒng)一性分析

在前面的雙站測(cè)向交叉定位中，記Δθ＝θ2－θ1，于是可將式（5）重新整理如下：

如果將雙站測(cè)向交叉定位看成由1個(gè)觀測(cè)站經(jīng)過(guò)ΔT時(shí)間的運(yùn)動(dòng)后，在2個(gè)不同位置上的觀測(cè)結(jié)果，在ΔT非常?。处趨近于0）時(shí)，θ1與θ2趨近于相等，記為：也趨近于零，即，在此時(shí)這一雙站測(cè)向交叉定位過(guò)程也就演變成了運(yùn)動(dòng)單站對(duì)固定目標(biāo)的定位過(guò)程，且有如下關(guān)系式成立：

將式（7）與式（8）代入式（6）可得：

式中：sinθ·v0＝vT，即是在觀測(cè)站O1處相對(duì)于目標(biāo)來(lái)波方向的切向運(yùn)動(dòng)速度值。

由此可見式（10）與式（4）是完全一致的，即在雙站測(cè)向交叉定位中將2個(gè)站看成是由一個(gè)運(yùn)動(dòng)站在不同時(shí)刻對(duì)同一目標(biāo)的測(cè)向后實(shí)施交叉定位，且當(dāng)2個(gè)觀測(cè)時(shí)刻間隔ΔT非常小時(shí)，雙站測(cè)向交叉定位的理論計(jì)算公式與基于切向運(yùn)動(dòng)測(cè)距的單站定位理論計(jì)算公式是一致的。

上述短的觀測(cè)時(shí)間間隔代表短的運(yùn)動(dòng)距離，同時(shí)也意味著短的定位基線。這也說(shuō)明：可以將基于切向運(yùn)動(dòng)測(cè)距的單站定位看成是短基線條件下的多站測(cè)向交叉定位。

3.2 兩種定位方法在數(shù)據(jù)處理上的統(tǒng)一性分析

基于切向運(yùn)動(dòng)測(cè)距的單站定位理論計(jì)算式似乎比較完美，從理論上講可以通過(guò)式（4）實(shí)現(xiàn)瞬時(shí)定位。但是在實(shí)際應(yīng)用中，由于角度變化率的測(cè)量問(wèn)題，通常需要一個(gè)觀測(cè)時(shí)間段才能完成整個(gè)定位過(guò)程。相關(guān)綜述文獻(xiàn)報(bào)道的基于相位差變化率的單站定位精度達(dá)到2%R（R為距離）量級(jí)，定位速度一般在20s量級(jí)[1]。在20s的時(shí)間內(nèi)，單個(gè)觀測(cè)站運(yùn)動(dòng)的距離大約在幾km量級(jí)，而觀測(cè)站與目標(biāo)之間的距離也在百公里量級(jí)。這一過(guò)程中該觀測(cè)站是連續(xù)不斷地在實(shí)施對(duì)目標(biāo)的測(cè)向，也就是說(shuō)，該觀測(cè)站可以獲得一個(gè)來(lái)波方向角的時(shí)間序列值θ（t），然后通過(guò)θ（t）對(duì)時(shí)間t的微分運(yùn)算來(lái)得到角度變化率的估計(jì)值，如圖2所示。

圖2 單站定位中連續(xù)測(cè)量來(lái)波方向角的時(shí)間序列示意圖

在觀測(cè)時(shí)段ΔT很小的條件下，從理論上說(shuō)，來(lái)波方向角θ與時(shí)間T之間應(yīng)該近似成線性關(guān)系，如圖2中的虛直線所示。該直線對(duì)應(yīng)的斜率就等于角度變化率˙θ。但是由于噪聲與測(cè)量誤差的影響，實(shí)測(cè)曲線如圖2中實(shí)曲線所示。為了獲得角度變化率，就需要采用最小二乘法進(jìn)行直線擬合，然后通過(guò)擬合出的直線對(duì)應(yīng)的斜率來(lái)作為角度變化率的實(shí)測(cè)值。在工程應(yīng)用中，可使用干涉儀通過(guò)通道間相位差測(cè)量來(lái)獲得來(lái)波方向角的時(shí)間序列，而所謂的干涉儀的相位差變化率就對(duì)應(yīng)了來(lái)波方向角的角度變化率。

目前已有一些文獻(xiàn)報(bào)道了各種角度變化率測(cè)量方法[4-8]。文獻(xiàn)[4]對(duì)干涉儀2個(gè)接收通道接收到信號(hào)與本振信號(hào)進(jìn)行正交混頻，對(duì)正交混頻后的復(fù)信號(hào)進(jìn)行離散傅立葉變換（DFT），然后進(jìn)行復(fù)數(shù)相乘，經(jīng)過(guò)低通濾波后估計(jì)出相位差變化率。文獻(xiàn)[5]提出將干涉儀兩通道接收到的信號(hào)進(jìn)行相乘濾波，然后保留低頻分量進(jìn)行模／數(shù)（A／D）變換，經(jīng)過(guò)一個(gè)測(cè)頻單元即可輸出相位差變化率的測(cè)量值，并在此基礎(chǔ)上通過(guò)正交移相方法將待測(cè)過(guò)程轉(zhuǎn)換為復(fù)過(guò)程，從而解決了過(guò)窄的源信號(hào)脈沖寬度和過(guò)低的相位差變化率等問(wèn)題。雖然類似的方法還有許多，但是上述方法從數(shù)據(jù)處理上說(shuō)，都可以統(tǒng)一為對(duì)時(shí)變的角度測(cè)量值θ（t）的微分運(yùn)算，來(lái)得到的角度變化率的估計(jì)值˙θ＾的估計(jì)值，只不過(guò)采用了不同的實(shí)現(xiàn)途徑而已。

這說(shuō)明基于切向運(yùn)動(dòng)測(cè)距的單站定位的基本數(shù)據(jù)來(lái)源于一段觀測(cè)時(shí)間ΔT內(nèi)的θ（t）值，而多站測(cè)向交叉定位理論所采用的基本數(shù)據(jù)同樣來(lái)源于θ（t），只不過(guò)單站定位將θ（t）看成是一個(gè)時(shí)間的函數(shù)，而多站定位將θ（t）看成是一個(gè)空間位置的函數(shù)，只是思考問(wèn)題的角度不同，實(shí)際上2種定位理論所采用的原始測(cè)量數(shù)據(jù)是一致的。所以多站測(cè)向交叉定位對(duì)上述數(shù)據(jù)處理后所獲得的定位精度，與單站定位對(duì)上述數(shù)據(jù)處理后所獲得的定位精度應(yīng)該是大致相同的，這說(shuō)明2種定位方法在相同的邊界應(yīng)用條件下，具有相同的幾何精度因子（GDOP）。這也從另一個(gè)方面說(shuō)明了二者在理論模型上具有一定的統(tǒng)一性，詳細(xì)分析如下：

（1）用于多站測(cè)向交叉定位求解的最小二乘算法

設(shè)共有N＋1個(gè)觀測(cè)站，第i個(gè)觀測(cè)站坐標(biāo)為di，目標(biāo)坐標(biāo)為（xT，yT），i＝0，1，2，…，N，二者之間的距離記為ri，該觀測(cè)站相對(duì)于目標(biāo)的真實(shí)方位角為θi，實(shí)際測(cè)量得到的方位角為θi，M，其所對(duì)應(yīng)的方位角的測(cè)角誤差為，將上述N＋1個(gè)觀測(cè)站看成由一個(gè)觀測(cè)站沿X軸正向直線運(yùn)動(dòng)形成，于是有如圖3所示。

如前所述，在觀測(cè)時(shí)段ΔT很小的條件下，真實(shí)方位角度序列值θi與時(shí)間T之間近似成線性關(guān)系，

圖3 多站測(cè)向交叉定位算法示意圖

式中：

另外值得注意的是：在處理序列化測(cè)向的多站測(cè)向交叉定位時(shí)，沒有采用傳統(tǒng)的布朗最小二乘三角定位算法[3]，而是將多次測(cè)向交叉定位過(guò)程通過(guò)最小二乘法擬合，轉(zhuǎn)化成了雙站測(cè)向交叉定位過(guò)程，而轉(zhuǎn)化之后的2個(gè)觀測(cè)站具有這一過(guò)程中的最長(zhǎng)的定位基線。（2）用于單站定位中角度變化率求解的最小二乘算法如前所述，運(yùn)動(dòng)單站對(duì)固定目標(biāo)定位時(shí)，工程實(shí)現(xiàn)本質(zhì)上也是在角度測(cè)量后通過(guò)最小二乘擬合來(lái)得到角度變化率參數(shù)。如果將單觀測(cè)站每一次角度測(cè)量看成是多個(gè)觀測(cè)站的序列化行為，則第i次角度測(cè)量值為θi，M，對(duì)應(yīng)的角度測(cè)量偏差 Δθi，M＝θi，M－θi，則圖2中擬合出的直線要使得對(duì)應(yīng)的各次測(cè)量的

于是由最小二乘法可得：

由此求得A ＝ [θ0，θN]T之后，結(jié)合S ＝v0·ΔT，利用式（5）即可計(jì)算出輻射源與（x0，y0）之間的距離r為：角度偏差的平方和最小，即使得最小化。這一過(guò)程與前面的式（12）是完全相同的，最小二乘得到的結(jié)果如式（13）所示，相應(yīng)的角度變化率參數(shù)˙θ為：

根據(jù)基于切向運(yùn)動(dòng)測(cè)距的單站定位計(jì)算公式（4），可以得到輻射源與（x0，y0）之間的距離r為：

通過(guò)上述2種數(shù)據(jù)處理方法得到的結(jié)果對(duì)比可知，在觀測(cè)時(shí)段ΔT很小的條件下，有θN≈θ0成立，即按照式（14）計(jì)算得到的多站測(cè)向交叉定位的結(jié)果，與按照式（16）計(jì)算得到的基于切向運(yùn)動(dòng)測(cè)距的單站定位的結(jié)果基本一致。這說(shuō)明二者在數(shù)據(jù)處理上具有統(tǒng)一性。

在上面的多站測(cè)向交叉定位中的最小二乘是一種批處理，因?yàn)楦鱾€(gè)觀測(cè)站幾乎可以同時(shí)獲得方位角的測(cè)量值，而基于切向運(yùn)動(dòng)測(cè)距的單站定位中所獲得的方位角測(cè)量值不是同時(shí)得到的，而是該觀測(cè)站運(yùn)動(dòng)到不同的位置后按序得到的。實(shí)際上這并不是問(wèn)題的本質(zhì)，如果將運(yùn)動(dòng)單站在不同位置的測(cè)量看成是一種特殊的多站，而多站測(cè)量值也是按序得到的，那么兩者都可以統(tǒng)一進(jìn)行處理，這樣就可以用遞推最小二乘來(lái)統(tǒng)一解釋2種定位過(guò)程，而遞推最小二乘也反映了一個(gè)定位結(jié)果逐步收斂的過(guò)程，這與目前工程實(shí)際中基于切向運(yùn)動(dòng)的單站定位輸出結(jié)果的收斂過(guò)程曲線是吻合的。

由于批處理的最小二乘法與遞推最小二乘法在各類文獻(xiàn)中都有相關(guān)報(bào)道，屬于相對(duì)比較成熟的信號(hào)處理理論，在此就不再展開闡述了，在后續(xù)仿真過(guò)程中再直接應(yīng)用相關(guān)計(jì)算公式進(jìn)行分析。

4 仿真驗(yàn)證

仿真場(chǎng)景如下：在（20 000，80 000）m處有一部相控陣?yán)走_(dá)對(duì)空搜索，1架飛機(jī)以250m／s的速度從原點(diǎn)沿X軸正向運(yùn)動(dòng)，該雷達(dá)每間隔0.1s會(huì)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行1次照射，每次照射只輻射1個(gè)脈沖，飛機(jī)上搭載有用于無(wú)源測(cè)向定位的干涉儀，只能截獲雷達(dá)主瓣信號(hào)，所以在此場(chǎng)景下干涉儀每0.1s會(huì)輸出一個(gè)對(duì)該雷達(dá)輻射脈沖的測(cè)向數(shù)據(jù)。飛機(jī)在20s的時(shí)間內(nèi)對(duì)該雷達(dá)實(shí)施無(wú)源定位，干涉儀在這一過(guò)程中一共輸出201個(gè)測(cè)向數(shù)據(jù)，整個(gè)仿真場(chǎng)景如圖4所示。

圖4 仿真場(chǎng)景示意圖

圖4（a）和（b）分別表示測(cè)量起始時(shí)刻和終止時(shí)刻飛機(jī)與雷達(dá)之間的相對(duì)位置。在這一過(guò)程中，干涉儀對(duì)雷達(dá)脈沖進(jìn)行測(cè)向得到的201個(gè)測(cè)量值的角度值序列如圖5所示。

（1）采用批處理的多站測(cè)向交叉定位

將上述201個(gè)測(cè)向數(shù)據(jù)看成為201個(gè)觀測(cè)站獲得測(cè)向結(jié)果，201個(gè)觀測(cè)站的坐標(biāo)分別為：（25k，0），k＝0，1，2，…，200，按照批處理最小二乘算法獲得θ0和θ200，利用式（14）可求得雷達(dá)坐標(biāo)為：（19 689，78 216）。

（2）采用基于切向運(yùn)動(dòng)測(cè)距的單站定位

干涉儀輸出的直接數(shù)據(jù)是通道間的相位差，這對(duì)應(yīng)著測(cè)向角度，由測(cè)向角度時(shí)間序列可以求得角度變化率。通過(guò)角度變化率來(lái)估計(jì)距離，然后結(jié)合當(dāng)前的測(cè)向值來(lái)計(jì)算輻射源的位置，這是一個(gè)逐漸收斂的過(guò)程，整個(gè)過(guò)程中估計(jì)的定位誤差的變化曲線如圖6所示。

在經(jīng)過(guò)201次迭代后，可求解得到雷達(dá)的坐標(biāo)為：（19 643，78 030）。

圖5 干涉儀獲得201個(gè)測(cè)向數(shù)據(jù)圖

圖6 單站定位的定位誤差變化曲線

（3）采用遞推最小二乘處理的多站測(cè)向交叉定位

如前所述，將201個(gè)測(cè)向數(shù)據(jù)看成是同一個(gè)運(yùn)動(dòng)觀察站在201個(gè)位置上對(duì)同一固定目標(biāo)的測(cè)向結(jié)果，該觀測(cè)站按照時(shí)間順序可以依次輸出200個(gè)定位結(jié)果，第m次的輸出相對(duì)于前m－1次來(lái)說(shuō)新增加了1次測(cè)向數(shù)據(jù)，這樣第m次的定位計(jì)算相對(duì)于前m－1次來(lái)說(shuō)，信息量更大，定位結(jié)果也更趨于準(zhǔn)確，采用遞推最小二乘來(lái)處理這一多站測(cè)向問(wèn)題，在這一過(guò)程中，定位誤差的變化曲線如圖7所示。

在經(jīng)過(guò)200次迭代后，求得的雷達(dá)坐標(biāo)為：（19 689，78 216）。由上述仿真結(jié)果的對(duì)比可見，整個(gè)定位過(guò)程2種方法輸出的定位結(jié)果和定位收斂過(guò)程幾乎完全一致。這說(shuō)明了該單站定位體制與多站定位體制在理論模型上的統(tǒng)一性。

5 結(jié)束語(yǔ)

圖7 遞推最小二乘的多站測(cè)向交叉定位誤差變化曲線

本文在對(duì)基于切向運(yùn)動(dòng)測(cè)距的單站定位理論模型與多站測(cè)向交叉定位理論模型簡(jiǎn)要概述的基礎(chǔ)上，分別從時(shí)間尺度與數(shù)據(jù)處理2個(gè)方面揭示了單站定位與多站定位之間的緊密聯(lián)系，并通過(guò)仿真對(duì)分析結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證，說(shuō)明了多站測(cè)向交叉定位與基于切向運(yùn)動(dòng)的單站定位具有統(tǒng)一的理論模型。這一理論分析結(jié)果也為無(wú)源定位系統(tǒng)的多功能應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

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