基于差異化的航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭的復(fù)雜性

胡 榮,夏洪山,姜 雨

(南京航空航天大學(xué)民航學(xué)院,南京210016)

基于差異化的航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭的復(fù)雜性

胡 榮*,夏洪山,姜 雨

(南京航空航天大學(xué)民航學(xué)院,南京210016)

為深入分析航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭的復(fù)雜性,運(yùn)用非線性動(dòng)力學(xué)的分支理論,構(gòu)建了基于差異化的航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭模型,依據(jù)動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性判定條件,討論了該模型均衡點(diǎn)的存在性、存在個(gè)數(shù)與穩(wěn)定性,數(shù)值仿真了不同條件下模型復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.仿真結(jié)果表明,航空公司價(jià)格調(diào)整速度對(duì)模型的穩(wěn)定性有明顯的影響,一旦價(jià)格調(diào)整速度超過某一臨界值,系統(tǒng)將表現(xiàn)出分岔、混沌等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象;與Nash均衡利潤相比,在混沌狀態(tài)下航空公司的利潤均顯著下降;差異化戰(zhàn)略對(duì)航空公司定價(jià)、利潤有重要影響,保持和加強(qiáng)對(duì)競爭對(duì)手的差異化優(yōu)勢有助于自身獲得更大的市場競爭優(yōu)勢.

航空運(yùn)輸;價(jià)格競爭;分支理論;航空公司;復(fù)雜性

1 引 言

由于當(dāng)前國內(nèi)航空公司對(duì)機(jī)票代理的嚴(yán)重依賴、對(duì)價(jià)格管控水平滯后于行業(yè)的價(jià)格放松機(jī)制,以及航權(quán)分配缺乏標(biāo)準(zhǔn)規(guī)則等因素,使得航空公司迫于競爭壓力,常常運(yùn)用價(jià)格手段來打擊競爭對(duì)手、擴(kuò)大市場份額,這往往會(huì)引發(fā)價(jià)格戰(zhàn),造成市場競爭秩序混亂,航空公司利益受損[1].國內(nèi)航空運(yùn)輸市場主要由國航、南航、東航等少數(shù)幾個(gè)航空公司所占據(jù),屬于典型的寡頭壟斷市場.在這種市場結(jié)構(gòu)下,航空公司的定價(jià)決策不僅會(huì)影響到競爭對(duì)手的定價(jià)行為,甚至?xí)绊懻麄€(gè)市場的結(jié)構(gòu).因此,航空公司在決定定價(jià)策略時(shí),都要考慮到競爭對(duì)手對(duì)自身企業(yè)競爭策略的態(tài)度和反應(yīng).博弈理論為研究這類問題提供了有效的途徑.

近年來,國內(nèi)外很多學(xué)者利用博弈理論研究航空運(yùn)輸市場的定價(jià)與經(jīng)營問題.文獻(xiàn)[2]討論了兩個(gè)航空公司同時(shí)定價(jià)與序貫定價(jià)的非合作博弈模型;文獻(xiàn)[3]構(gòu)建了期權(quán)定價(jià)的Stackelberg博弈模型,分析了航空公司的最優(yōu)定價(jià)決策;文獻(xiàn)[4]建立了兩階段的運(yùn)力期權(quán)定價(jià)模型,研究了航空公司等定價(jià)決策;文獻(xiàn)[5]研究了不同座位配置規(guī)則下的航空公司定價(jià)問題;文獻(xiàn)[6]分別構(gòu)建了完全信息和不完全信息的價(jià)格競爭博弈模型,分析了航空公司之間惡性價(jià)格競爭的緣由;文獻(xiàn)[7]運(yùn)用Hotelling模型研究了航空公司定價(jià)問題;文獻(xiàn)[8]運(yùn)用博弈理論研究了政府對(duì)航空價(jià)格管制的問題.還有很多學(xué)者研究了基于收益管理的一般價(jià)格策略、實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)定價(jià)、確定型和隨機(jī)性需求定價(jià)、同質(zhì)產(chǎn)品的動(dòng)態(tài)定價(jià)及航空定價(jià)聯(lián)盟等問題[9-11].

縱觀國內(nèi)外航空公司價(jià)格競爭的相關(guān)文獻(xiàn),當(dāng)前尚有如下值得進(jìn)一步研究的內(nèi)容:一是幾乎所有的文獻(xiàn)均假設(shè)航空公司在價(jià)格競爭決策中具有完全理性.但在實(shí)際中,航空公司不可能了解足夠、完全的市場信息,價(jià)格競爭決策只能是有限理性的;二是大多數(shù)文獻(xiàn)假設(shè)航空公司是同質(zhì)的,提供的產(chǎn)品不存在差異化,但考慮到航線網(wǎng)絡(luò)、服務(wù)質(zhì)量、營銷渠道等因素,幾乎沒有能提供完全相同產(chǎn)品的航空公司;三是大多數(shù)文獻(xiàn)僅對(duì)航空公司價(jià)格競爭模型進(jìn)行了靜態(tài)博弈分析,但由于決策的有限理性,這就決定了航空公司之間的價(jià)格競爭需要經(jīng)過重復(fù)多次的價(jià)格博弈逐步實(shí)現(xiàn)市場均衡.

因此,基于上述三點(diǎn),同時(shí)考慮到我國目前的航空需求仍是比較缺乏彈性的[8],本文運(yùn)用平均價(jià)格定價(jià)模型,構(gòu)建基于差異化和有限理性的航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭模型,根據(jù)非線性動(dòng)力學(xué)理論,分析動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭模型均衡點(diǎn)的存在性與穩(wěn)定性,并仿真模擬不同市場參數(shù)條件下的航空公司動(dòng)態(tài)行為.

2 基本模型

假定某一航空運(yùn)輸市場中僅有兩家航空公司進(jìn)行重復(fù)多次的動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭,不妨設(shè)第i家航空公司在時(shí)期 t的機(jī)票價(jià)格為 pi(t),旅客流量為qi(t),其中i=1,2,t=0,1,2,…,下同.由Dowrick及Raju提出的消費(fèi)者效用及需求函數(shù),可得出航空運(yùn)輸市場的市場需求函數(shù)

式中 ai表示市場對(duì)航空公司i的需求水平,ai＞0(i=1,2);bi表示價(jià)格敏感系數(shù),該系數(shù)數(shù)值越大表明需求的價(jià)格彈性越大,bi＞0(i=1,2);θi表示差異化系數(shù),其反映的是航空公司之間的差異化程度,θi＞0(i=1,2).具體而言,差異化系數(shù)θ1表示第2家航空公司對(duì)第1家航空公司的差異化程度,θ1越小表明兩者差異化程度越大,替代性越小;當(dāng)θ1=0時(shí),表示兩者提供的產(chǎn)品完全不相關(guān),此時(shí)第2家航空公司對(duì)第1家航空公司的差異化程度最大,替代性最小.一般而言,有0＜θi＜bi(i= 1,2),這意味著某航空公司自己的價(jià)格影響大于交叉價(jià)格的影響.為更清楚考察差異化對(duì)航空公司價(jià)格競爭的影響且不失一般性,我們令a1=a2,b1=b2, θ1≠θ2,則市場需求函數(shù)為

假設(shè)兩家航空公司的成本函數(shù)均為線性形式,即Ci=ciqi.則根據(jù)上述條件,航空公司在時(shí)期t的利潤函數(shù)為

式中 i,j=1,2,i≠j.對(duì)于任意給定的時(shí)期t,對(duì)Πi(p1,p2)關(guān)于pi求偏導(dǎo),可得到第i家航空公司

由式(4)可以進(jìn)一步求得航空公司i面對(duì)競爭對(duì)手航空公司j的最優(yōu)價(jià)格反應(yīng)決策為在當(dāng)期的邊際利潤為

式(5)表示的是航空公司i具有完全理性時(shí)的最優(yōu)價(jià)格反應(yīng)決策.所以式(5)描述的最優(yōu)反應(yīng)決策也可稱為“完美”決策.

由于航空公司在價(jià)格競爭決策中的有限理性,需要不斷地對(duì)價(jià)格進(jìn)行調(diào)整,通過多次的價(jià)格競爭最終達(dá)到均衡狀態(tài).本文假定兩家航空公司均采用“短視”調(diào)整機(jī)制,即航空公司基于上期價(jià)格競爭的邊際利潤情況,對(duì)其本期價(jià)格決策進(jìn)行如下的動(dòng)態(tài)調(diào)整:在時(shí)期t,如果估計(jì)的邊際利潤是正(負(fù))的,那么該航空公司將提高(降低)第t+1期的價(jià)格.則有

式中 βi表示第i家航空公司的價(jià)格調(diào)整速度,βi＞0,其反映了該航空公司對(duì)邊際利潤信號(hào)的反應(yīng)速度.

由式(4)、式(6),得到具有差異化和有限理性的航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭模型

3 模型分析

由于式(7)描述的是航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格博弈問題,因此只有當(dāng)均衡點(diǎn)非負(fù)時(shí)才有現(xiàn)實(shí)意義.故在式(7)中令pi(t+1)= pi(t),可得如下非線性代數(shù)

式(8)共有4個(gè)均衡點(diǎn):E0=(0,0),E1=(0,

其中

因?yàn)?＜θi＜b(i=1,2),則有4b2-θ1θ2＞0,因此p*i＞0.顯然,E0,E1,E2為有界均衡點(diǎn),E*為Nash均衡點(diǎn).根據(jù)動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定定理及JULY條件易得如下定理[12,13].

定理1式(7)的有界均衡點(diǎn)E0,E1,E2是不穩(wěn)定均衡點(diǎn).

定理2當(dāng)參數(shù)滿足4b(β1p*1+β2p*2)-4＜(4b2-θ1θ2)β1β2p*1p*2＜2b(β1p*1+β2p*2)的條件時(shí),Nash均衡點(diǎn)E*是式(7)的穩(wěn)定點(diǎn).

由于兩家航空公司都是基于有限理性做出價(jià)格競爭決策的,因此市場價(jià)格不可能立即達(dá)到Nash均衡狀態(tài),需要進(jìn)行反復(fù)的博弈,最終才能達(dá)到平衡.由上文分析可知,一旦某個(gè)航空公司,或者兩個(gè)航空公司的價(jià)格調(diào)整速度過快,使得β1、β2超出了定理2的條件,則都會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定.但β1、β2的不同取值不會(huì)改變價(jià)格的Nash均衡點(diǎn),即對(duì)點(diǎn)E*的取值沒有影響.

4 數(shù)值仿真

為更好地了解式(7)的動(dòng)態(tài)行為,更清晰地描繪差異化對(duì)航空公司價(jià)格競爭的影響,本節(jié)將對(duì)式(7)進(jìn)行數(shù)值仿真.設(shè)市場需求函數(shù)的參數(shù)a=2.65,b=1,航空公司服務(wù)單位旅客流量的成本分別為c1=0.6、c2=0.5,航空公司間的差異化系數(shù)分別為θ1=0.7、θ2=0.6,第1家航空公司的價(jià)格調(diào)整速度為β1=0.3,兩家公司的初始市場價(jià)格為(2,3).

圖1描繪的是當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)取上述初始值時(shí),兩家航空公司價(jià)格競爭隨第2家航空公司價(jià)格調(diào)整速度β2變化的動(dòng)態(tài)演化圖.從圖中可看出,隨著β2不斷增大,式(7)由初期的均衡狀態(tài)逐步進(jìn)入到分岔和混沌狀態(tài).當(dāng)系統(tǒng)陷入分岔和混沌狀態(tài)后,航空公司間的價(jià)格競爭波動(dòng)很大,很難做出長期預(yù)測,給航空公司的價(jià)格決策帶來困難.

圖1 航空公司價(jià)格競爭的動(dòng)態(tài)演化圖Fig.1 Bifurcation diagram of airlines'price competition

圖2描繪的是博弈周期數(shù)T=1 000時(shí),式(7)中航空公司平均利潤隨價(jià)格調(diào)整速度β2變化的動(dòng)態(tài)演化圖.從圖中可看出,當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入到分岔或混沌狀態(tài)后,兩家航空公司的平均利潤均顯著低于其在均衡狀態(tài)下的平均利潤.這說明因第2家航空公司而引起的系統(tǒng)波動(dòng)對(duì)兩家航空公司均是有害的.為獲取最大利潤,兩家航空公司均有對(duì)陷入分岔或混沌狀態(tài)的系統(tǒng)實(shí)施混沌控制的原始動(dòng)力.

圖2 航空公司平均利潤的動(dòng)態(tài)演化圖Fig.2 Bifurcation diagram of airlines'average profit

圖3a、圖3b分別描繪了當(dāng)?shù)?家航空公司價(jià)格調(diào)整速度β2=0.48,其他系統(tǒng)參數(shù)取初始值時(shí),航空公司的價(jià)格、利潤隨差異化系數(shù)θ1變化的動(dòng)態(tài)演化圖.從圖中可以看出,隨著差異化系數(shù)θ1不斷增大,航空公司間的價(jià)格競爭由初期的均衡狀態(tài)最終進(jìn)入混沌狀態(tài).

圖3 差異化對(duì)航空公司的影響演化圖Fig.3 Impacts of differentiation on airlines' price and profit

從圖3中可以看出,在θ2保持不變的競爭均衡狀態(tài)下,隨著θ1不斷增大,第1家航空公司的價(jià)格和利潤有著快速提高:由θ1較小時(shí)價(jià)格和利潤均低于第2家航空公司,逐漸演變?yōu)棣?較大時(shí)價(jià)格和利潤均高于第2家航空公司.這說明第1家航空公司在保持對(duì)第2家航空公司的差異化程度不變的基礎(chǔ)上(即θ2保持不變),通過降低第2家航空公司的差異化優(yōu)勢,增強(qiáng)對(duì)其的替代性(即θ1不斷增大),可在市場競爭中更大的收益.

需要特別指出的是,當(dāng)θ1=0.669 8時(shí),兩家航空公司的利潤π1=π2=3.214 4,如圖3b中點(diǎn)A所示.此時(shí)θ1＞θ2=0.6,表明第1家航空公司在保持自身對(duì)第2家航空公司的差異化優(yōu)勢的基礎(chǔ)上(即θ2保持不變),可以通過削弱第2家航空公司的差異化優(yōu)勢(即θ1不斷增大),來彌補(bǔ)其在經(jīng)營成本上的弱勢(c1＞c2),進(jìn)而增強(qiáng)其在市場競爭中的整體優(yōu)勢.

奇異吸引子是混沌運(yùn)動(dòng)的主要特征之一,它體現(xiàn)了系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)后復(fù)雜現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律性表現(xiàn).因此,當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)時(shí),航空公司可以根據(jù)吸引子表現(xiàn)出來的規(guī)律性來對(duì)短期的價(jià)格競爭進(jìn)行預(yù)測.圖4給出了系統(tǒng)參數(shù)取圖1值情形下的奇異吸引子.同時(shí),通過數(shù)值仿真發(fā)現(xiàn),在其他系統(tǒng)參數(shù)不變的條件下,選取大于臨界值(β1*或β*)的價(jià)格調(diào)整速度,對(duì)應(yīng)的奇異吸引子會(huì)有所不2同,但都反應(yīng)了系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)后航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭的復(fù)雜性.

圖4 航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭系統(tǒng)的奇異吸引子Fig.4 Strange attractor for a=0.3

對(duì)初始條件的敏感依賴性也是系統(tǒng)混沌行為的特征之一.為驗(yàn)證有限理性航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭模型是否對(duì)初始條件具有敏感依賴性,設(shè)第2家航空公司價(jià)格調(diào)整速度β2=0.75(由圖1可知,此時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)),其他參數(shù)取初始值.圖5a、圖5b分別描繪了航空公司初始價(jià)格分別為(2,3)和(2.000 1,3)時(shí),第1家航空公司價(jià)格隨時(shí)間t的變化歷程.對(duì)比圖5a、圖5b可以看出,在初始階段.兩個(gè)價(jià)格時(shí)間序列基本是無差別的,但經(jīng)過一段博弈周期后,兩個(gè)序列的取值出現(xiàn)了巨大的差異.由此看出,即使初始價(jià)格微小的變動(dòng)都會(huì)對(duì)最終價(jià)格競爭結(jié)果產(chǎn)生非常大的影響.同理也可發(fā)現(xiàn)第2家航空公司價(jià)格變化也具有同樣的敏感依賴性.這也證明了航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格博弈式(7)中存在著復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.

圖5 第1家航空公司價(jià)格對(duì)初始條件的敏感依賴性Fig.5 Shows sensitive dependence on initial conditions

5 研究結(jié)論

本文研究了具有差異化的航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭模型,運(yùn)用非線性動(dòng)力學(xué)理論,分析了模型均衡點(diǎn)的存在性與穩(wěn)定性,并對(duì)模型進(jìn)行了數(shù)值仿真,研究了動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭模型的復(fù)雜性.

文章研究結(jié)果表明,具有有限理性的航空公司開展動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭時(shí),其價(jià)格調(diào)整速度的快慢對(duì)競爭模型的穩(wěn)定性有顯著影響,一旦價(jià)格調(diào)整速度超過某一臨界值,系統(tǒng)將表現(xiàn)出分岔、混沌等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象;進(jìn)入分岔和混沌狀態(tài)后,系統(tǒng)波動(dòng)將對(duì)航空公司均會(huì)有不利影響,造成利潤的顯著下降;差異化對(duì)航空公司的定價(jià)、利潤會(huì)產(chǎn)生顯著影響,航空公司一方面要盡量保持并加強(qiáng)對(duì)競爭對(duì)手的差異化優(yōu)勢.另一方面想方設(shè)法削弱競爭對(duì)手對(duì)自己的差異化優(yōu)勢,在對(duì)手具有差異化優(yōu)勢的方面加以改進(jìn)與提升,增大對(duì)競爭對(duì)手的替代性;通過對(duì)混沌吸引子和敏感依賴性的分析,證明航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格博弈模型存在著復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.本文研究結(jié)果對(duì)航空公司的市場價(jià)格競爭決策可提供一些理論參考.

最后,在本文研究基礎(chǔ)上,考慮更多寡頭公司、不同價(jià)格調(diào)整機(jī)制、不同戰(zhàn)略定位等因素的競爭情形,以及對(duì)陷入混沌狀態(tài)的市場進(jìn)行有效控制等可開展進(jìn)一步的研究.

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Complex Dynamics for Airlines'Price Competition with Differentiation Strategy

HU Rong,XIA Hong-shan,JIANG Yu
(College of Civil Aviation,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China)

To investigate the complex dynamics for airlines'price competition,this paper proposes a price competition model of airlines with differentiation strategy and with the theory of bifurcation of dynamical systems.The existence and stability of equilibrium points of the model are discussed according to dynamic stability criteria.The complex dynamics of this model in different market parameters are shown though numerical simulation.The simulation results show that the speed of price adjustment has a significant impact on the stability of the model,while the speed of price adjustment is larger than critical value,and the phenomenon of bifurcation and chaos will appear on the dynamic system.Compared with the Nash equilibrium profits,all airlines'profits are decreased obviously when chaos is occurred.Differentiation has an important impact on airlines'price and profits,it's helpful to have more competition advantage that to keep and strengthen the differentiation advantage against the competitors.

air transportation;price competition;theory of bifurcation;airlines;complex dynamics

U8;N94

A

U8;N94

A

1009-6744(2013)01-00011-08

2012-09-25

2012-11-08錄用日期:2012-11-20

國家自然科學(xué)基金(71201082,71101071);中國博士后科學(xué)基金項(xiàng)目(2011M500920);江蘇省高校哲學(xué)社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目(2012SJD630083);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(NR2012029).

胡榮(1980-),男,江蘇揚(yáng)州人,講師,博士.

*通訊作者:hoorong@nuaa.edu.cn