圓錐曲線“準(zhǔn)點”性質(zhì)的應(yīng)用

胡世雄

摘 要：圓錐曲線是高考必考的內(nèi)容，其中圓錐曲線的性質(zhì)更是考試的熱點。就圓錐曲線中的焦點、頂點、準(zhǔn)點來說明曲線中的特殊點是中學(xué)考試和研究的重點和熱點。由于它們?nèi)菁{了圓錐曲線的基本屬性，因而也倍受高考命題者的青睞和關(guān)注。從高考圓錐曲線試題來看，涉及這方面內(nèi)容的考題不勝枚舉，圓錐曲線中的“三點”有著深厚的文化底蘊(yùn)和廣泛的知識背景，但是中學(xué)教材只有圓錐曲線的焦點、頂點的定義，下面就此來研究一下圓錐曲線“準(zhǔn)點”性質(zhì)在解決一些圓錐曲線問題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：準(zhǔn)點；準(zhǔn)焦三角形；橫向型圓錐曲線；應(yīng)用

一、相關(guān)的定義及性質(zhì)

定義1：圓錐曲線的準(zhǔn)線與對稱軸的交點叫準(zhǔn)點。

定義2：過圓錐曲線的準(zhǔn)點作一直線與圓錐曲線交于兩點，這兩點與其準(zhǔn)點相對應(yīng)的焦點所組成的三角形叫準(zhǔn)焦三角形。

定義3：焦點在橫軸上的圓錐曲線叫橫向型圓錐曲線。

通過探究我們很快發(fā)現(xiàn)橫向型圓錐曲線的準(zhǔn)點具有如下性質(zhì)：

定理1：已知l是經(jīng)過橫向型圓錐曲線的準(zhǔn)點E（m，0）所作的斜率為k或傾斜角為θ的直線，且直線l與圓錐曲線交于A，B兩點，F(xiàn)（n，0）是與準(zhǔn)點E相對應(yīng)的焦點，焦準(zhǔn)距為p，離心率為e（m，n≠0），則：

（1）AB= = （e2≥k2或e2≥tan2θ）；

（2）若（ ， ）=β則當(dāng)k

上時取負(fù)）；

（3）S△ABF= ；

（4） · = ；

（5） · = .

證明過程詳見文

由定理中（1）、（2）又可以分別得到如下推論：

推論1：若E是離心率為e的橫向型圓錐曲線Γ的準(zhǔn)點，經(jīng)過E作斜率為k的直線l，則：

（1）l與Γ相離的充分必要條件是e2

（2）l與Γ相切的充分必要條件是e2=k2；

（3）l與Γ相交的充分必要條件是e2>k2.

推論2：設(shè)F是離心率為e的橫向型圓錐曲線Γ的焦點，E是與焦點F相對應(yīng)的準(zhǔn)點，經(jīng)過E點作斜率為k的直線與圓錐曲線交于A，B兩點，則 · =0的充分必要條件是e2=2k2.

通過進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過準(zhǔn)點的直線與過對應(yīng)焦點的直線斜率存在如下關(guān)系：

定理2：經(jīng)過離心率為e的橫向型圓錐曲線準(zhǔn)點E的直線與圓錐曲線的一個交點是Q，F(xiàn)是與準(zhǔn)點E相對應(yīng)的焦點，若直線QE的斜率為k1（或傾斜角為θ1），直線QF的斜率為k2（或傾斜角為θ2），則 - =1或tan2θ1·csc2θ2=e2.

證明：可設(shè)QE的方程為y=k1（x-m），直線QF的方程為y=k2（x-n），將兩個方程聯(lián)立得點Q的橫坐標(biāo)為 .

代入（1+k2-e2）x2+（2me2-2n-2mk2）x+m2k2+n2-m2e2=0中并化簡：

e2k22（m-n）2-k12（m-n）2=k12k22（m-n）2，e2k22-k12=k12k22.

兩邊同時除以k12k22得：

- =1或e2cot2θ1-cot2θ2=1？圯e2cot2θ1=csc2θ2？圯tan2θ1·csc2θ2=e2.

又當(dāng) · =0時，kQF=- ？圳k2=- ，因而 -k12=1？圯k14+k12=e2.

由此，又可以得到如下推論：

推論3：經(jīng)過離心率為e的橫向型圓錐曲線準(zhǔn)點E的直線與圓錐曲線的一個交點是Q，F(xiàn)是與準(zhǔn)點E相對應(yīng)的焦點，若直線QE的斜率為k， · =0，則k4+k2=e2.

又因為kQF=- 所以我們又可得到：

推論4：經(jīng)過離心率為e的橫向型圓錐曲線準(zhǔn)點E的直線與圓錐曲線的一個交點是Q，F(xiàn)是與準(zhǔn)點E相對應(yīng)的焦點，若直線

QF的斜率為k， · =0，則 + =e2.

由于圓錐曲線的“三點”蘊(yùn)含著豐富的性質(zhì)，因而其應(yīng)用就相當(dāng)廣泛，為此下面就舉幾個例子.

二、性質(zhì)的應(yīng)用

例1.經(jīng)過雙曲線 -y2=1的左準(zhǔn)點E，作雙曲線的切線L，求直線L的方程.

解：∵a= ，b=1，c=2，e= ， = ，∴左準(zhǔn)點E（- ，0），由推論1得直線L的斜率k=±e=± ，故所求切線L的方程為y=± （x+ ）.

例2.經(jīng)過橢圓= + =1（a>b>0）的左準(zhǔn)點，作斜率為 的直線與橢圓相交于A，B兩點，F(xiàn)是在橢圓的左焦點，若（ ， ）=60°且橢圓過點A（3， ），求橢圓的方程.

解：由題易知： + =1，再由定理1中cosβ= 可得：cos60°= ？圯e2=

∴c2= a2，b2= a2代入 + =1中得：a2=18，b2=10

所以所求橢圓方程為 + =1.

例3.E是雙曲線 - =1的左準(zhǔn)點，F(xiàn)是左焦點，P是雙曲線上的一點，若直線PF的斜率為 ，求直線PE的方程.

解：由題知：a=2，b= ，c=3，e= ，由定理2得 -

=1，解得kPE=± ，而E（ ，0），所以直線PE的方程為y=± （x- ）.

例4.已知橢圓 + =1（a>b>0）的兩個焦點分別為F1（-c，0）和F2（c，0）（c>0），過點E（ ，0）的直線與橢圓相交與A，B兩點，且F1A∥F2B，F(xiàn)1A=2F2B.

（1）求橢圓的離心率；（2）求直線AB的斜率；

（3）設(shè)點C與點A關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，直線F2B上有一點

H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圓上，求 的值.

解：（1）由F1A∥F2B且F1A=2F2B，得 = =

，從而 = ，故離心率e= = .

（2）由（1）知a2=3c2，b2=2c2，e2= ，∴準(zhǔn)點E（3c，0），所以橢圓的方程可寫為2x2+3y2=6c2，再由推論1可知：直線AB與橢圓相交的充分必要條件是e2>k2，∴-

設(shè)直線AB的方程為y=k（x-3c），由已知設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則它們的坐標(biāo)滿足方程組y=k（x-3c）

2x2+3y2=6c2，消去y整理，得（2+3k2）x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0.

而x1+x2= ①

x1x2= ②

由題設(shè)知，點B為線段AE的中點，所以

x1+3c=2x2 ③

聯(lián)立①③解得：

x1= ，x2= ，將x1，x2代入②中，解得k=± 滿足題意.

（3）略.

評注：在此基礎(chǔ)上可根據(jù)定理1，求出△ABF1的面積和線段AB的長等。

以上就是與圓錐曲線準(zhǔn)點有關(guān)的幾個性質(zhì)及其應(yīng)用.實際上圓錐曲線奧妙無窮，他有著豐富的性質(zhì)，只要認(rèn)真去研究，總會得出一些“蹊蹺”，因而我們要在不斷的探索中去發(fā)現(xiàn)、去認(rèn)識圓錐曲線。

以上的性質(zhì)和推論還可以用參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程來探究，有興趣的讀者不妨試一試。

參考文獻(xiàn)：

[1]玉邴圖.圓錐曲線“準(zhǔn)點弦”的幾個性質(zhì).數(shù)學(xué)通報，2006（3）.

[2]郭旭炯.圓錐曲線的焦點、準(zhǔn)點性質(zhì)初探.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2009（1）.

（作者單位 江西省贛州市定南縣定南中學(xué)）