問渠哪得清如許 為有源頭活水來——例析“活用”、“巧用”基本不等式解題之“定值”條件的獲取

☉重慶市梁平實驗中學 蔣明建

用基本不等式求函數(shù)的最值以及證明不等式是高中數(shù)學非常重要的內(nèi)容，也是高考熱點，在歷年各地的高考試題中頻頻出現(xiàn)直接或中間過程運用基本不等式求解的題目，可謂常考不衰、常考常新.玄機何在？我們知道，應用基本不等式必須同時具備“一正（各項值為正）、二定（各項的和或積為定值）、三相等（取“等號”的條件）”這三個條件，缺一不可.在具體的題目中“正數(shù)”條件往往容易從題設中獲得，“相等”條件也容易驗證確定，而“定值”條件涉及各種數(shù)學式子的“和”、“積”，既是式子的表現(xiàn)形式又是運算形式，可靜可動靈活多變，不拘一格，因此，“定值”條件往往以某種形式隱蔽在所給數(shù)學式子中（通常是命題者設計的一個難點），要獲得此條件需要對所給的解析式進行適當?shù)淖冃?，具有很強的靈活性和技巧性.可見，有效實現(xiàn)基本不等式“和定”“積定”條件，就找到了“活用”、“巧用”基本不等式解題的源頭.怎樣才能有效獲得“和定”“積定”這一重要條件呢？通常統(tǒng)稱為“配湊”、“構造”，筆者在此通過對一些典型題目的解析，將本人在教學中應用基本不等式解題時獲取“定值”的一些常用、細化方法作一個歸納、梳理，望能對讀者有一定借鑒作用.

一、加項、減項變形

二、乘、除變形

（1）求C的方程；

（2）點P為C上的動點，l為C在點P處的切線，求O點到l的距離.

評注：這兩個問題都比較簡單，卻是很具有代表性的常見問題，屬于一次比二次或二次比一次的分式函數(shù)求最值問題，通常都可以采用乘除變形，使題目隱藏的“定值”條件顯現(xiàn)出來，從而在分母或分子中能夠用均值不等式，使問題變得易于求解.

三、平方、開方變形

四、代換變形

1.常值代換

例5 （2010年湖北武漢調研）過定點P（2，1）的直線l交x軸正半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，則△OAB周長的最小值為（ ）.

A.8 B.10

圖1

評注：這是一道難題，想到用分母之和“t+（1-t）=1”進行常值“1”代換，構成“積定”條件，從而用基本不等式求解，好比用“四兩砣撥動了千斤鼎”，化難為易，化繁為簡，大大簡化了解題過程.“1”代換解決有些數(shù)學問題很巧妙，望注意適時應用，能用時切不可棄之不用.

2.變量代換

3.整體代換

例 7 已知x、y、z均為正數(shù)，xyz（x+y+z）=1，求（x+y）（y+z）的最小值.

評注：能觀察出用這種整體代換變形，實現(xiàn)均值不等式的“積定”條件，十分巧妙.代換法是數(shù)學中應用最廣泛的一種方法，在解題中若能熟練靈活地應用，將大大簡化解題過程，收到事半功倍的效果.

五、代入（消元）變形

六、分解與組合變形

評注：這類題考查了較強變形式子的能力，打破了題目中式子原有結構，或分解或重新優(yōu)化組合，構成基本不等式“和定”、“積定”特征形式，然后利用基本不等式，體現(xiàn)了“不破不立”的思想，在高考題中頻頻出現(xiàn)，如2010年重慶高考題（理 7）“已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值”便屬于這一類題，值得重視.

“分久必合，合久必分”，分解與組合是相對的，它們相互聯(lián)系又互相轉化，這是客觀事物發(fā)展中的必然規(guī)律，把這一規(guī)律運用到數(shù)學解題中就是分解與組合的思想，望認真體會切實掌握.

七、重復使用基本不等式

評注：求解最值問題時，有時需要同時或者連續(xù)多次使用基本不等式，這時一定要注意使用條件必須一致，即每次取得“=”的條件要一致，否則求出的結果是錯誤的.重復使用基本不等式求解的高考題出現(xiàn)的頻率相當高（見 2011 年湖南，2009、2007、2005 年重慶，2008 年江蘇等地的高考題），望能足夠重視.

八、待定系數(shù)法變形

評注：分析題目結構，根據(jù)題目中的數(shù)“21”與“28”的關系，將問題合理轉化是解決本問題的切入點，運用待定系數(shù)法確定需要“配湊”的系數(shù)是解決本問題的一把利器.

以上各題目從所給出的式子形式來看，都不能直接應用基本不等式求解（有的可以用其他方法求解），其原因在于不完全具備基本不等式的“正”、“定”、“等”三個條件，特別是“和定”、“積定”的條件不明顯，只有通過相應的變形轉化后才可實現(xiàn).由此可見，“定值”條件決定著基本不等式應用的可行性，是解題成功的關鍵（在取得最值時，還必須要各項相等，這是檢驗“定值”轉換是否正確的一種方法）.本文中共舉例介紹了常用的八種構造“定值”的變形方法，值得注意的是，在具體的解題過程中，每一個題并不是只用其中的一種方法，往往是幾種方法的綜合運用.也正因為“定值”條件得以實現(xiàn)的變形方法如此靈活多樣、豐富多彩，才使得基本不等式如此地充滿了生機與活力，讓人感受到數(shù)學的無窮奧妙和神奇；也正因為基本不等式的“活用”、“巧用”能給我們的思維提供廣闊的發(fā)展空間，才會讓人們學習起來充滿了樂趣和美的享受，才會使運用基本不等式求解的高考考題層出不窮、常考不衰、?？汲Ｐ?“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”，“活用”、“巧用”基本不等式解題的源頭正在于此.

1.史美初.應用平均值不等式，在“活”與“巧”上下功夫［J］.中學數(shù)學教學參考（上旬），2005（1-2）.

2.安振平.妙用二元均值不等式證明不等式［J］.中學數(shù)學教學參考（上旬），2008（9）.

3.蔣明建.善用“1”巧解數(shù)學題［J］.高中數(shù)學教與學，2010（4）.