新型擬人機械腿的參數(shù)優(yōu)化

李研彪 劉 毅 李景敏 計時鳴 趙章風

浙江工業(yè)大學特種裝備制造與先進加工技術教育部重點實驗室，杭州，310032

0 引言

擬人機器腿是擬人機器人的主要支撐部分，起保持擬人機器人身體平衡的作用［1－2］。目前，多數(shù)擬人機械腿采用串聯(lián)結構，存在承載能力小、運動慣性大等問題［3－5］，如日本早稻田大學研制的WL系列雙足擬人機器人，該擬人機器人的雙腿均采用串聯(lián)機構，各腿具有5個自由度。另外，日本本田公司、美國Sarcos研究公司、德國Karlsruhe大學和北京航空航天大學等也相繼研制出多種串聯(lián)結構的仿生機械腿。相對串聯(lián)機構，并聯(lián)機構具有結構緊湊、承載能力大等優(yōu)點。

合理的結構參數(shù)一直是機械設計的基礎，直接影響機械運動性能的優(yōu)劣［6－8］。目前，很多學者在結構參數(shù)優(yōu)化方面已經做了大量的研究。劉辛軍［9］研究了結構參數(shù)與各性能指標之間的分布規(guī)律，劉冰等［10］應用遺傳算法優(yōu)化了微動機器人的結構參數(shù)，Hao等［11］提出了一種工作空間優(yōu)化方法。上述設計方法均存在一些不足，如存在受主觀性影響以及數(shù)學應用條件的限制等。

根據(jù)人體腿部結構特點，筆者提出了一種新型并聯(lián)擬人機械腿［12］及其概率參數(shù)設計方法，其機構原型采用一種4－DOF欠驅動并聯(lián)機構。本文對該擬人機械腿進行了運動學性能研究，定義了運動傳遞性能評價指標和力傳遞性能評價指標及各全域性能評價指標，繪制了各全域性能圖譜，應用概率參數(shù)設計方法優(yōu)化了擬人機械腿的各結構參數(shù)，給出了一種擬人機械腿的設計方案。相對于以往串聯(lián)機械臂，這種機械臂的電機均置于固定件上，減小了可動構件的質量，且由三個電機共同承載末端件的承載重量。

1 新型擬人機械腿的結構布局特點

筆者提出的擬人機械腿通過三個電機驅動，實現(xiàn)膝關節(jié)和踝關節(jié)的運動，類似于人體膝關節(jié)和踝關節(jié)的結構特點，其驅動裝置安放在固定件的位置上。該機構的運動桿件不必承載驅動電機的重量，減少了電機數(shù)量，這種擬人機械腿具有結構簡單、承載能力強、運動慣性小、運動靈活等優(yōu)點，克服了傳動系統(tǒng)復雜、動態(tài)特性差等缺點。

這種擬人機械腿的結構布局特點如下：①三個直線移動副P1、P2和P3相互平行；② 三個直線移動副P1、P2和P3均安裝在基座上；③ 當桿FO2垂直于面MNO2、平行于桿FO1，且各移動副輸入均為零時，這種膝關節(jié)和踝關節(jié)機構處于初始位姿。移動副P1、P2和P3的初始長度分別為Li0（i＝1，2，3），Δli分別為各直線移動副的輸入位移。建立兩個坐標系：靜坐標系R（O1X1Y1Z1）、動坐標系S（O2X2Y2Z2），如圖1所示，點O2為這種機構的參考點。

圖1 擬人機械腿機構簡圖

2 位置分析

位置分析是機械運動分析和應用的基礎［13］。設（0，y，z）T為參考點O2的位置坐標，（α，0，γ）T為參考點O2的姿態(tài)坐標，如圖1所示。由這種機構的布局特點知，A、B、C、D、E、F、H和G在坐標系R中的位置矢量為

其中，n為桿EF的長度，θ1為桿FO2繞F點的轉角，逆時針為正，順時針為負，則

M和N在坐標系S中的位置矢量為

則M和N在坐標系R中的位置矢量為

式中，O2R為參考點O2在靜坐標系中的位置矢量；T為轉換矩陣。

由這種膝關節(jié)和踝關節(jié)機構的結構幾何關系可得

由式（1）～式（5）可得這種機構的位置反解：

其中，D1＝m－nsin（θ－θ1－π/2）－L10；D1、D2、D3、D4、D5、D6分別是關于機械腿各結構參數(shù)的函數(shù)。式（6）為該擬人機械腿機構的膝關節(jié)和踝關節(jié)機構的位置反解表達式，也是其唯一反解。

3 結構約束分析

設σ1、σ2、λ1、λ2、ζ1和ζ2分 別 為 沿 定 長 桿O1F、BG、CH、FO2、GM和HN方向的單位矢量，η1、η2和η3分別為定長桿O1F與桿FO2、定長桿BG與桿GM、定長桿CH與桿HN之間的夾角，則

其中，σ1＝ （FR－O1R）/m，σ2＝ （GR－BR）/｜GR－BR｜，λ1＝ （HR－CR）/｜HR－CR｜，λ2＝ （O2R－FR）/e，ξ1＝ （MR－GR）/d，ξ2＝ （NR－HR）/d。假設ηi（i＝1，2，3）的最小轉角和最大轉角分別為ηimin和ηimax，則這種機構的轉角約束為

設三個直線移動副P1、P2和P3輸入位移的最大值和最小值分別為Limax和Limin（i＝1，2，3），則直線移動副的長度約束為

4 運動學性能研究

設V＝（VY，VZ，ωZ，ωX）T為參考點O2在靜坐標系R中的廣義速度矢量，輸入速度矢量為v＝（v1，v2，v3）T，vi為Pi（i＝1，2，3）的輸入速度。由這種膝關節(jié)和踝關節(jié)機構結構特點，可得

其中，φ1為桿DE繞D點的轉角。式（10）對時間求導并整理，可得FO2繞F點的轉動角速度為

其中，逆時針為ω1正方向，順時針為ω1負方向。則參考點O2的線速度矢量為

其中，n1為垂直于桿FO2方向的單位矢量，V′僅受角速度ω1的影響。

由式（10）～ 式（12），可得

由這種膝關節(jié)和踝關節(jié)機構的結構特點，設M和N點相對于靜坐標系的速度矢量分別為VM和VN，則有

式中，VO2為參考點O2在靜坐標系下的線速度矢量；ω為參考點O2在靜坐標系下的角速度矢量。

設ei為移動副Pi（i＝1，2，3）的單位方向矢量，n2和n3分別為定長桿GM和HN的單位方向矢量，當這種機構不在奇異位姿時，M和N點分別沿桿GM和HN的速度矢量為

又

綜合式（10）～ 式（18），可得

由式（19）可得

考慮線速度矢量V′僅受角速度ω1的影響，為了便于性能分析，本文推導這種機構的速度雅可比矩陣J，由式（11）和式（21）可得

這種機構不在奇異位形時，考慮線速度和角速度為不同的量綱，式（22）可改寫為

其中，JV、Jω分別為這種膝關節(jié)和踝關節(jié)機構的線速度和角速度雅可比矩陣。式（25）反映了輸入速度和輸出速度之間的關系。

5 運動學性能評價指標的定義

當機構不在奇異位形時，雅可比矩陣Jω有奇異值分解，則存在正交陣Aω∈R2×2、Bω∈R3×3使

式中，σ1ω、σ2ω分別為Jω的兩個奇異值，且σ1ω≥σ2ω。

當這種機構不在奇異位形時，設輸入向量為單位向量，即

綜合式（23）～ 式（27），可得以下方程：

由式（28）可知，當輸入速度為單位向量時，輸出角速度分布在一個橢圓上［14］，其軸長分別為σ1ω和σ2ω，為了評價這種機械臂的速度傳遞性能，本文定義線速度傳遞性能評價指標KV和角速度傳遞性能評價指標Kη：

在擬人機械腿機構的工作空間內，速度傳遞性能評價指標在不同的姿態(tài)有不同的值。為此，分別定義KV和Kη在工作空間內的平均值為該擬人機械腿機構的全域線速度傳遞性能評價指標R（V）和全域角速度傳遞性能評價指標R（η）：

式中，V為擬人機械腿機構的工作空間。

6 靜力學性能研究

假設基座和各運動構件均為剛性構件，且忽略摩擦力。設F＝ （FX，F(xiàn)Y，MZ，MX）T為參考點O2的廣義輸出力矢量，f′＝ （f1，f2，f3）T為驅動力，fi（i＝1，2，3）分別為沿Pi（i＝1，2，3）方向的驅動力，F(xiàn)′＝ （FX，F(xiàn)Y）T僅受桿FO2繞F點的力矩M1的影響。為了便于分析，設F″＝ （M1，MZ，MX）T為參考點O2的廣義輸出力矢量。利用虛功原理，可以推導出f′與F″之間的關系。設在外力F″的作用下，參考點O2的廣義虛位移為δι′，相應的輸入端的虛位移為δp′。因此，各關節(jié)驅動力f所做的虛功之和為

外力F″所作的虛功之和為

由虛功原理知，當這種機構處于平衡狀態(tài)時各外力所做元功之和等于零，即

虛位移δι′和δp′并非獨立，由該并聯(lián)機構速度雅可比矩陣所決定，即

綜合式（31）～ 式（36），整理得

其中，G為這種機構的力雅可比矩陣。由式（37）可得

7 靜力學性能評價指標的定義

考慮力和力矩為不同的量綱，式（39）可改寫成如下形式：

其中，GM為力雅可比矩陣G的后兩行。當這種機構不在奇異位形時，由矩陣分析理論，力雅可比矩陣G有奇異值分解，則存在正交陣CM∈R2×2、DM∈R3×3使：

式中，σ1、σ2分別為GM的兩個奇異值，且σ1≥σ2。

當這種機構不在奇異位形時，設輸入向量為單位向量，即

綜合式（40）～ 式（42），可得

由式（43）知，當輸入力為單位向量時，輸出力分布在一個橢圓上［14］，其軸長分別為σ1和σ2。由于力雅可比矩陣G隨著動平臺姿態(tài)的變化而變化，為了評價這種機構的力傳遞性能，本文定義力傳遞性能評價指標KF和力矩傳遞性能評價指標KM：

在擬人機械腿的工作空間內，機械腿不同姿態(tài)時，其力和力矩傳遞性能評價指標的值也不同。為此，定義KF和KM分別在擬人機械腿機構的工作空間內的平均值，為該擬人機械腿機構的全域力傳遞性能評價指標R（F）和力矩傳遞性能評價指標R（M）：

8 擬人機械腿的各全域性能圖譜

空間模型技術給出了各結構參數(shù)與各全域性能指標之間的分布規(guī)律［15-16］。這種膝關節(jié)和踝關節(jié)機構主要有10個結構參數(shù)，它們分別為a、b、c、f、θ、e、d、k和h?？紤]擬人機械腿結構形式，將分別討論大腿和小腿的結構參數(shù)優(yōu)化。由于h＝f和k＝b/cos（θ1/2），結構參數(shù)a對整個擬人機械腿機構的運動學性能沒有影響，故大腿的結構參數(shù)為b、c和f，小腿結構參數(shù)為θ、e和d。分別對大腿的主要結構尺寸參數(shù)與小腿的主要結構尺寸參數(shù)建立空間模型，并對大腿與小腿的結構尺寸參數(shù)進行量綱一化，令

則，k′1＝b/P′，k′2＝c/P′，k′3＝f/P′，k″1＝e/P″，k″2＝d/P″，k″3＝θ/P″。由于結構與裝配的工藝性的要求，定義參數(shù)k′1、k′2、k′3和k″1、k″2、k″3的取值范圍分別為

分別以k′1、k′2、k′3為橫坐標軸和k″1、k″2、k″3為橫坐標軸，由式（46）～式（48）建立大腿和小腿的幾何空間模型ΔM′N′Q′和ΔM″N″Q″，如圖2a所示。為了方便起見，將幾何空間模型 ΔM′N′Q′和ΔM″N″Q″投影到xy系內（圖2b），投影方程為

圖2 大腿與小腿的幾何空間模型及其平面映射

由式（1）～ 式（50），各性能評價指標與各結構參數(shù)之間的分布規(guī)律如圖3、圖4所示。

9 擬人機械腿的參數(shù)設計

圖3 擬人機械腿大腿機構的全域性能圖譜

圖4 擬人機械腿小腿機構的全域性能圖譜

本文提出了一種多目標概率參數(shù)設計方法，該方法以多個全域性能評價指標為目標，在各個參數(shù)的取值范圍內進行抽樣，分別計算各組參數(shù)抽樣值對應的各全域性能評價指標的值，判斷是否滿足各全域性能設計目標，給出各參數(shù)滿足各全域性能評價指標的分布規(guī)律，選取合理的結構幾何參數(shù)。

由圖3和圖4知，R（V）、R（η）、R（F）和R（M）的 最 大 值 和 最 小 值 分 別 為 0.9132m/s、1.1937rad/s、3.9086N、4.0183N·m 和 0.3218 m/s、0.2018rad/s、0.5321N、0.3561 N·m。以各性能評價指標的中間值為設計目標，即以R（V）＝0.6265m/s、R（η）＝ 0.6978 rad/s、R（F）＝2.2204N和R（M）＝2.1872N·m為設計目標，當R（V）≥0.6265m/s、R（η）≥0.6978rad/s、R（F）≥2.2204N和R（M）≥2.1872N·m 時，各性能評價指標較好，分別在各主要設計參數(shù)的取值范圍內按均勻分布進行抽樣，在滿足設計目標的情況下，統(tǒng)計各參數(shù)抽樣值的分布規(guī)律，繪制頻率直方圖，見圖5。圖5中，橫坐標分別表示各結構參數(shù)的取值大小，當給定一個結構參數(shù)時，可得到多組結構參數(shù)組合，計算出多組結構參數(shù)下的性能評價指標值，計算得到優(yōu)于設計目標值的結構參數(shù)的組數(shù)與總結構參數(shù)的組數(shù)的比值。

圖5 擬人機械腿結構參數(shù)設計直方圖

圖 5 中，f（b）、f（c）、f（f）、f（θ）、f（e） 和f（d）分別表示達到設計目標值的概率。通過上述分析，同時考慮加工與裝配工藝性，為這種腿關節(jié)機構選取了一組較合理的結構幾何參數(shù)：b＝200mm，c＝150mm，d＝450mm，e＝450mm，f＝ 310mm，θ＝ 120°。 此 時，f（b）、f（c）、f（d）、f（e）、f（f）和f（θ）的值較大，R（V）＝0.8927m/s、R（η）＝0.8763rad/s、R（F）＝ 3.1856N、R（M）＝3.9201N·m。

基于擬人機械腿的參數(shù)優(yōu)化結果，同時考慮加工與裝配工藝性，給出一種擬人機械腿的設計方案，如圖6a所示，這種擬人機械腿與球面三自由度并聯(lián)機構（作為擬人髖關節(jié)機構原型）串聯(lián)在一起，構成擬人下肢的設計方案，如圖6b所示。這種擬人機械腿機構的膝關節(jié)和踝關節(jié)采用4－DOF欠驅動機構為機構原型，通過三個電機實現(xiàn)膝關節(jié)和踝關節(jié)的運動方式，電機等固定件靠近腰部附近，減小電機等固定件產生的力矩，增加腿部的承載能力，減小運動慣性，發(fā)揮并聯(lián)機構的優(yōu)點，同時，這種新型擬人下肢可實現(xiàn)任何步態(tài)狀況，具有主動控制步態(tài)的優(yōu)點。因此，這種新型擬人下肢具有結構簡單、承載能力強、運動慣性小、運動穩(wěn)定等優(yōu)點。

圖6 擬人下肢的設計方案

10 結論

（1）提出了一種新型擬人機械腿及其概率參數(shù)設計方法，給出了位置反解方程、運動傳遞平衡方程和靜力學平衡方程，定義了運動和靜力學傳遞性能評價指標及各全域性能評價指標。

（2）對一種新型擬人機械腿進行了運動傳遞性能分析，給出了位置反解方程、運動傳遞平衡方程和靜力學平衡方程，定義了運動和靜力學傳遞性能評價指標及各全域性能評價指標。

（3）應用空間模型技術繪制了各全域性能圖譜，給出了各結構參數(shù)與各全域性能圖譜之間的映射關系圖譜，為這種新型擬人機械腿的參數(shù)優(yōu)化、軌跡規(guī)劃和應用奠定基礎。

（4）應用概率參數(shù)設計方法，選取了較合理的結構參數(shù)，同時考慮加工與裝配工藝性，給出了擬人機械腿的設計方案。

（5）對新型擬人機械腿的承載能力進行了研究，與傳統(tǒng)的串聯(lián)機械腿相比，這種機械腿的承載能力大大增強，且其速度和力傳遞性能較好。

（6）這種新型擬人機械腿具有結構簡單、承載能力強、運動慣性小和加工工藝性好等優(yōu)點，適用于仿生機器人等領域。

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