相空間重構(gòu)和參數(shù)統(tǒng)一求解的石油價(jià)格預(yù)測(cè)

孫善輝，李 鴻，張祖峰

1.宿州學(xué)院 智能信息處理實(shí)驗(yàn)室，安徽 宿州 234000

2.宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 宿州 234000

3.宿州學(xué)院 信息工程學(xué)院，安徽 宿州 234000

相空間重構(gòu)和參數(shù)統(tǒng)一求解的石油價(jià)格預(yù)測(cè)

孫善輝1，2，李 鴻3，張祖峰2

1.宿州學(xué)院 智能信息處理實(shí)驗(yàn)室，安徽 宿州 234000

2.宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 宿州 234000

3.宿州學(xué)院 信息工程學(xué)院，安徽 宿州 234000

1 引言

石油作為一種主要能源，對(duì)一個(gè)國家政治穩(wěn)定、經(jīng)濟(jì)發(fā)展起著至關(guān)重要的作用，石油價(jià)格受到軍事、政治、經(jīng)濟(jì)和外交等因素綜合影響，具有隨機(jī)性、突變性和混沌性等變化特點(diǎn)，因此石油價(jià)格預(yù)測(cè)一直是預(yù)測(cè)領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)[1]。

基于混沌理論的石油價(jià)格預(yù)測(cè)主要包括相空間重構(gòu)和預(yù)測(cè)算法兩個(gè)重要內(nèi)容，兩者相互聯(lián)系，相互影響，共同作用于石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果。為了提高石油價(jià)格預(yù)測(cè)精度，綜合考慮相空間重構(gòu)和預(yù)測(cè)算法之間的內(nèi)在聯(lián)系，本文提出一種基于相空間重構(gòu)和預(yù)測(cè)算法參數(shù)統(tǒng)一求解的石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型（PSR-LSSVM），并采用大慶石油價(jià)格數(shù)據(jù)對(duì)模型性能進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，以檢驗(yàn)本文模型的可行性和優(yōu)越性。

2 相關(guān)研究工作

石油價(jià)格已經(jīng)被證明是一個(gè)低維的混沌時(shí)間序列[2]。相空空間重構(gòu)是混沌時(shí)間預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)，可以挖掘隱藏于混沌吸引子中的演化規(guī)律。相空間重構(gòu)時(shí)，時(shí)間延遲(τ)和嵌入維(m)的選取至關(guān)重要，直接影響到后繼石油價(jià)格的預(yù)測(cè)精度[3]。對(duì)于參數(shù)τ和m的選取，目前主要有兩種思想：（1）τ和m分別、單獨(dú)求解。如首先采用自相關(guān)法、互信息法等來確定τ，然后采用G-P方法、偽最近鄰域法等來確定m，然而自相關(guān)法僅能提取時(shí)間序列間的線性相關(guān)性；互信息法雖能反映出系統(tǒng)的多種整體性關(guān)系，但這些關(guān)系只是高維相空間在二維空間中的投影，僅反映出重構(gòu)相空間中相鄰兩重構(gòu)坐標(biāo)的獨(dú)立性，而不能保證所有重構(gòu)坐標(biāo)間的整體獨(dú)立性。且在大多數(shù)的方法中，為了確定最佳的τ，需要先確定m，而為了確定m又需事先固定τ，這必將造成矛盾[4]。（2）τ和m統(tǒng)一求解。如Broomhead等提出了時(shí)間窗口法；Kim等提出的C-C法，τ和m統(tǒng)一求解利用τ、m間的相互關(guān)系，使重構(gòu)后的石油價(jià)格時(shí)間序列更加準(zhǔn)確反映石油價(jià)格變化趨勢(shì)，因此當(dāng)τ、m常采用統(tǒng)一求解的思想[5]。當(dāng)前，石油價(jià)格預(yù)測(cè)算法主要采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機(jī)等機(jī)器算法[6-7]，由于最小二乘支持向量機(jī)（LSSVM）具有訓(xùn)練速度快，泛化能力優(yōu)異等優(yōu)點(diǎn)，因此本文選擇LSSVM作為石油價(jià)格預(yù)測(cè)算法，而LSSVM預(yù)測(cè)性能與其參數(shù)的選擇密切相關(guān)[8]。在基于LSSVM的石油價(jià)格預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)模型中，其預(yù)測(cè)精度由相空間重構(gòu)和LSSVM共同確定，但目前石油價(jià)格預(yù)測(cè)沒有考慮兩者之間的聯(lián)系，完全割裂兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，導(dǎo)致τ和m的選取與LSSVM參數(shù)不匹配，難以建立整體性能最優(yōu)的石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型。

3 相空間重構(gòu)和最小二乘支持向量機(jī)

3.1 相空間重構(gòu)理論

設(shè)時(shí)間序列{xi}，其時(shí)間間隔為?t（單位時(shí)間），那么對(duì)于n個(gè)變量的動(dòng)力系統(tǒng)有：

通過消元法，使其變換為一個(gè)n階非線性微分方程：

變換后，新軌跡為：

式（3）描述了與原時(shí)間序列同胚的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，它由x(t)加上 (n-1)階導(dǎo)數(shù) x(1)(t)，x(2)(t)，…，x(n-1)(t)構(gòu)成的相空間重組，代替這種連續(xù)變量x(t)和它的導(dǎo)數(shù)，并可考慮不連續(xù)的時(shí)間序列和它的 n-1時(shí)滯位移

只要將時(shí)間延遲τ選作時(shí)間序列的時(shí)間尺度，將會(huì)保證延滯坐標(biāo)線性無關(guān)。

設(shè)單變量時(shí)間序列為{x(ti)，i=1，2，…，n}，時(shí)間延遲為τ=k?t，k=1，2，…，則可將該時(shí)間序列延拓成 m維相空間：

式中，Xi(t)為m維相空間中的一個(gè)相點(diǎn)。

任一相點(diǎn)Xi(t)有m個(gè)分量，m滿足條件：

m維相空間中的一個(gè)相點(diǎn)表示系統(tǒng)在某個(gè)瞬時(shí)后的狀態(tài)，而相點(diǎn)的連線構(gòu)成了點(diǎn)在相空間中的軌跡，這條“軌線”便表示了系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間的演化。于是在m維相空間中得到了一個(gè)相型，原則上講，就有了足夠的信息把時(shí)間序列的動(dòng)態(tài)特性展現(xiàn)在多維相空間上來進(jìn)行考察[9]。

根據(jù)Takens定理，由合適的嵌入維數(shù)m和時(shí)間延遲τ重構(gòu)的相空間，其在嵌入空間中的“軌線”與原系統(tǒng)是動(dòng)力學(xué)等價(jià)的，因此有：

式中，T為預(yù)測(cè)步長，f()為重構(gòu)的預(yù)測(cè)模型。

根據(jù)式（6），可以通過已知時(shí)間序列求出滿足式（6）的f()，就可以得到一個(gè)預(yù)測(cè)模型。

3.2 最小二乘支持向量機(jī)

對(duì)于訓(xùn)練樣本集{(xi，yi)}，i=1，2，…，n，xi和 yi分別表示樣本輸入和輸出，通過非線性映射函數(shù)Φ()將樣本映射到高維特征空間，從而獲得最優(yōu)線性回歸函數(shù)：

式中，w為特征空間的權(quán)值向量，b為偏置量。

根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則，式（7）問題求解的LSSVM回歸模型為：

式中，γ為正則化參數(shù)；ei為誤差。

通過引入拉格朗日乘子將式（8）轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)偶空間優(yōu)化問題，即

式中，αi為拉格朗日乘子。

根據(jù)Mercer條件，核函數(shù)定義如下：

選擇RBF核函數(shù)作為LSSVM核函數(shù)，RBF核函數(shù)定義如下：

式中，σ為核函數(shù)寬度[10]。

最后LSSVM回歸模型為：

在LSSVM建模過程中，參數(shù)γ、σ對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果產(chǎn)生影響，當(dāng)前LSSVM算法均沒有考慮γ、σ和τ、m間的聯(lián)系，建立的預(yù)測(cè)模型存在一定的缺陷。為了克服該缺陷，本文提出τ、m和γ、σ的統(tǒng)一求解思想。

4 石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型參數(shù)統(tǒng)一求解

τ、m和γ、σ的統(tǒng)一求解是一個(gè)多參數(shù)組合優(yōu)化問題，遺傳算法（GA）具有智能性搜索、并行式計(jì)算和全局優(yōu)化等優(yōu)點(diǎn)的仿生算法能夠在較短時(shí)間找到全局最優(yōu)解[11]，因此本文采用GA算法對(duì)τ、m和γ、σ進(jìn)行統(tǒng)一求解。

4.1 個(gè)體編碼設(shè)計(jì)

為了便于進(jìn)行交叉和變異操作，GA的個(gè)體采用二進(jìn)制編碼，每一個(gè)體包括τ、m和γ、σ四部分。由于個(gè)體采用二進(jìn)制編碼，在進(jìn)行石油價(jià)格預(yù)測(cè)與建模時(shí)，通過式（13）將參數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。

式中，p表示參數(shù)的十進(jìn)制值；pmin和 pmax表示參數(shù)的最小值和最大值；l表示個(gè)體二進(jìn)制長度；d表示參數(shù)的二進(jìn)制位串的十進(jìn)制值。

4.2 適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計(jì)

粒子的優(yōu)劣通過適應(yīng)度函數(shù)值來評(píng)價(jià)，相空重構(gòu)和預(yù)測(cè)算法參數(shù)統(tǒng)一求解目標(biāo)是提高石油價(jià)格的預(yù)測(cè)精度，因此采用石油價(jià)格預(yù)測(cè)精度作為粒子的適應(yīng)度函數(shù)，即有：

式中，accuracy表示在參數(shù)τ、m和γ、σ下的石油價(jià)格預(yù)測(cè)精度。

4.3 石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型參數(shù)統(tǒng)一求解過程

（1）收集石油價(jià)格時(shí)間序列數(shù)據(jù)，由于LSSVM對(duì)0到1之間的數(shù)據(jù)最為敏感，因此對(duì)石油價(jià)格進(jìn)行歸一化預(yù)處理，具體為：

最后需要對(duì)石油價(jià)格預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行反歸一化處理，恢復(fù)真實(shí)預(yù)測(cè)值，具體公式如下：

（2）采用隨機(jī)方法產(chǎn)生初始化種群，每一個(gè)體由τ、m和γ、σ四部分組成。

（3）對(duì)個(gè)體進(jìn)行反編碼，根據(jù)τ和m對(duì)石油價(jià)格時(shí)間序列進(jìn)行重構(gòu)，LSSVM根據(jù)參數(shù)γ、σ石油價(jià)格時(shí)間序列訓(xùn)練集進(jìn)行學(xué)習(xí)，建立相應(yīng)的石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型，計(jì)算每一個(gè)體的適應(yīng)度值。

（4）判斷是否滿足算法的結(jié)束條件，若滿足結(jié)束條件，則停止優(yōu)化，并對(duì)最優(yōu)個(gè)體對(duì)進(jìn)行反編碼，得到最優(yōu)的τ、m和γ、σ，并轉(zhuǎn)至步驟（6）。

（5）對(duì)個(gè)體進(jìn)行選擇、交叉、變異等遺傳操作，產(chǎn)生下一代種群，返回步驟（3）對(duì)參數(shù)繼續(xù)進(jìn)行優(yōu)化。

（6）根據(jù)最優(yōu)參數(shù)τ、m重構(gòu)石油價(jià)格時(shí)間序列，LSSVM采用γ、σ對(duì)石油價(jià)格訓(xùn)練集進(jìn)行學(xué)習(xí)，建立最優(yōu)的石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型，并對(duì)測(cè)試集進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到石油價(jià)格預(yù)測(cè)結(jié)果。

石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型的建立流程如圖1所示。

圖1 石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型建立流程

5 仿真實(shí)驗(yàn)

5.1 數(shù)據(jù)來源

采用2001年1月31日至2013年4月30日的大慶石油月平均價(jià)格作為仿真對(duì)象，共收集到160個(gè)數(shù)據(jù)，它們組成石油價(jià)格時(shí)間序列如圖2所示。前100個(gè)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，后60個(gè)數(shù)據(jù)作為測(cè)試集。

圖2 石油價(jià)格時(shí)間序列

5.2 對(duì)比模型及評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

為了使PSR-LSSVM的石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型的結(jié)果具有可比性，選擇兩種對(duì)比模型，分別為：（1）互信息法和虛假鄰點(diǎn)法分別求解τ、m，GA優(yōu)化LSSVM參數(shù)γ、σ的石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型（LSSVM）；（2）首先采用C-C求解τ、m，然后采用GA優(yōu)化LSSVM參數(shù)γ、σ的石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型（CC-LSSVM）。采用均方誤差（RMSE）、平均相對(duì)百分比誤差（MPAE）作為模型預(yù)測(cè)結(jié)果優(yōu)劣的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

5.3 模型實(shí)現(xiàn)

5.3.1 LSSVM的建模過程

對(duì)于圖2的石油價(jià)格時(shí)間序列，采用互信息法求其互信息函數(shù)，取其第一個(gè)極小值點(diǎn)作為延遲時(shí)間，由圖3可知，當(dāng)τ取3時(shí)，得到第一個(gè)極小值，此時(shí)τ即為時(shí)間延遲。

圖3 互信息法求時(shí)間延遲

通過虛假最近鄰點(diǎn)法求嵌入維數(shù)，結(jié)果如圖4所示，所求嵌入維數(shù)為4。用小數(shù)據(jù)量法計(jì)算大慶石油月平均價(jià)格時(shí)間序列的最大Lyapunov指數(shù)為1.163，表明大慶石油月平均價(jià)格時(shí)間序列具有混沌性。

圖4 虛假鄰點(diǎn)法求嵌入維數(shù)

根據(jù)τ=3，m=4對(duì)石油價(jià)格時(shí)間序進(jìn)行重構(gòu)，然后將重構(gòu)的石油價(jià)格時(shí)間序列訓(xùn)練集輸入到LSSVM進(jìn)行學(xué)習(xí)，采用GA對(duì)γ、σ進(jìn)行優(yōu)化，得到最優(yōu)的γ=20.12，σ=1.43，從而建立基于LSSVM的石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型。

5.3.2 CC-LSSVM的建模過程

對(duì)于石油價(jià)格時(shí)間序列，使用CC方法進(jìn)行相空間重構(gòu)。圖5為C-C方法計(jì)算延遲時(shí)間τ，從圖中可以看出，?Sˉ(t)的第1個(gè)近似極小值是4，Sˉ(t)的第1個(gè)近似零點(diǎn)也是4，于是確定延遲時(shí)間τ=4作為石油價(jià)格時(shí)間序列的時(shí)間延遲。

圖5 C-C法計(jì)算石油價(jià)格時(shí)間序列的時(shí)間延遲

圖6給出了采用C-C方法計(jì)算石油價(jià)格時(shí)間序列的Scor(t)曲線，可以看出Scor(t)大約在t=18時(shí)取得全局最小點(diǎn)，依據(jù)τw=(m-1)τ，因而取m=4。

圖6 C-C法計(jì)算石油價(jià)格時(shí)間序列的Scor(t)曲線

根據(jù)τ=4，m=4對(duì)石油價(jià)格時(shí)間序列進(jìn)行重構(gòu)，然后將重構(gòu)的石油價(jià)格時(shí)間序列訓(xùn)練集輸入到LSSVM進(jìn)行學(xué)習(xí)，采用GA對(duì)γ、σ進(jìn)行優(yōu)化，得到最優(yōu)的γ=147.55，σ= 1.55，從而建立基于CC-LSSVM的石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型。

5.3.3 PSR-LSSVM的建模過程

根據(jù)上述石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型參數(shù)統(tǒng)一求解過程，得到PSR-LSSVM的最優(yōu)參數(shù)為：τ=1，m=5，γ=176.45，σ=6.22，根據(jù)最優(yōu)參數(shù)，建立基于PSR-LSSVM的石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型。從而得到3種石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型的參數(shù)見表1。

表1 石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型的參數(shù)

5 .4 結(jié)果與分析

5.4.1 模型的泛化能力對(duì)比

根據(jù)建立的LSSVM、CC-LSSVM和PSR-LSSVM預(yù)測(cè)模型對(duì)石油價(jià)格訓(xùn)練集進(jìn)行擬合，得到的擬合結(jié)果如圖7所示。

圖7 各模型對(duì)石油價(jià)格訓(xùn)練集擬合結(jié)果

從圖7可知，在所有預(yù)測(cè)模型中，PSR-LSSVM的擬合效果最好，其擬合結(jié)果與石油價(jià)格期望輸出相當(dāng)吻合。這主要是由于PSR-LSSVM通過對(duì)相空間重構(gòu)的參數(shù)τ，m與LSSVM的參數(shù)γ，σ進(jìn)行統(tǒng)一求解，挖掘了相空間重構(gòu)和LSSVM之間的內(nèi)在聯(lián)系，可以更加準(zhǔn)確地?cái)M合石油價(jià)格復(fù)雜的變化趨勢(shì)，進(jìn)一步提高了石油價(jià)格擬合精度，對(duì)比結(jié)果表明，將PSR-LSSVM用于石油價(jià)格建模的思想是可行的、有效的，性能明顯優(yōu)于τ，m與γ，σ分別、單獨(dú)優(yōu)化的石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型。

5.4.2 模型的泛化能力對(duì)比

評(píng)價(jià)一個(gè)預(yù)測(cè)模型性能的優(yōu)劣，主要考察其預(yù)測(cè)能力而非擬合能力，因此，分別用LSSVM、CC-LSSVM和PSR-LSSVM的石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型對(duì)測(cè)試集進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖8所示。從圖8可知，PSR-LSSVM的預(yù)測(cè)性能要優(yōu)于對(duì)比模型，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際石油價(jià)格值更加吻合，是一種預(yù)測(cè)精度高、泛化能力強(qiáng)的石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型。

圖8 各模型對(duì)石油價(jià)格測(cè)試集的預(yù)測(cè)結(jié)果

各種模型的預(yù)測(cè)擬合和預(yù)測(cè)誤差見表2。從表2各種評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)可知，PSR-LSSVM預(yù)測(cè)結(jié)果誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于LSSVM和CC-LSSVM，預(yù)測(cè)精度得以提高，綜合對(duì)比結(jié)果表明，PSR-LSSVM對(duì)相空間重構(gòu)和預(yù)測(cè)算法參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一求解，可以提高石油價(jià)格的預(yù)測(cè)精度，克服傳統(tǒng)分開、單獨(dú)優(yōu)化難以找到全局最優(yōu)參數(shù)的缺陷，預(yù)測(cè)結(jié)果更加可靠。

表2 不同石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型的性能對(duì)比

6 結(jié)束語

石油價(jià)格具有時(shí)變性、混沌性，在石油價(jià)格建模預(yù)測(cè)過程中需要對(duì)相空間進(jìn)行重構(gòu)和對(duì)預(yù)測(cè)算法的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，為此，充分利用兩者之間的聯(lián)系，挖掘出石油價(jià)格復(fù)雜的變化趨勢(shì)，提出了一種基于PSR-LSSVM的石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相對(duì)于對(duì)比模型，PSR-LSSVM提高了石油價(jià)格預(yù)測(cè)精度，研究成果對(duì)于具有混沌特性的石油價(jià)格建模和預(yù)測(cè)具有重要的理論和實(shí)踐意義。

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SUN Shanhui1，2,LI Hong3,ZHANG Zufeng2

1.Laboratory of Intelligent Information Processing,Suzhou University,Suzhou,Anhui 234000,China
2.College of Mathematics and Statistics,Suzhou University,Suzhou,Anhui 234000,China
3.College of Information Engineering,Suzhou University,Suzhou,Anhui 234000,China

In order to improve the predicting accuracy oil price,a novel oil price predicting model is proposed based on unified solving parameters phase space reconstruction and predicting algorithm according to relation between phase space reconstruction and predicting algorithm.The least square support vector machine is selected as the predicting algorithm of oil price,and the parameters of phase space reconstruction and LSSVM are taken as individuals of the genetic algorithm,and the optimal delay time,embedding dimension and LSSVM parameters are obtained through selection,crossover and mutation evolutionary mechanism,the predicting model of oil prices is established and the performance of predicting model is tested by Daqing oil price time series.The results show that the proposed model obtains higher predicting accuracy than the models which phase space reconstruction and LSSVM are optimized independently,and it provides a new research idea for the predicting problem of chaotic time series.

oil price;least squares support vector machine;phase space reconstruction;unified solving;modeling and predictions

為了提高石油價(jià)格預(yù)測(cè)精度，利用相空間重構(gòu)和預(yù)測(cè)算法參數(shù)之間的相互聯(lián)系，提出一種基于相空間重構(gòu)和預(yù)測(cè)算法參數(shù)統(tǒng)一求解的石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型（PSR-LSSVM）。選擇最小二乘支持向量機(jī)作為石油價(jià)格預(yù)測(cè)算法，將相空間重構(gòu)和LSSVM參數(shù)作為遺傳算法的個(gè)體，通過選擇、交叉和變異等進(jìn)化機(jī)制找到最優(yōu)的時(shí)間延遲、嵌入維和LSSVM參數(shù)，根據(jù)最優(yōu)參數(shù)建立石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型，并通過大慶石油價(jià)格時(shí)間序列對(duì)模型性能進(jìn)行測(cè)試。結(jié)果表明，相對(duì)于獨(dú)立優(yōu)化相空間重構(gòu)和LSSVM參數(shù)的石油價(jià)格預(yù)測(cè)模型，PSR-LSSVM獲得了更高的石油價(jià)格預(yù)測(cè)精度，為具有混沌性的時(shí)間序列預(yù)測(cè)問題提供了一種新的研究思路。

石油價(jià)格；最小二乘支持向量機(jī)；相空間重構(gòu)；統(tǒng)一求解；建模預(yù)測(cè)

A

TP391

10.3778/j.issn.1002-8331.1308-0068

SUN Shanhui,LI Hong,ZHANG Zufeng.Oil price predicting based on unified solving by phase space reconstruction and parameters.Computer Engineering and Applications,2013,49（23）：247-251.

安徽省高校優(yōu)秀青年人才基金項(xiàng)目（No.2012SQRL202）；宿州學(xué)院智能信息處理實(shí)驗(yàn)室開放課題（No.2013YKF15）。

孫善輝（1979—），男，講師，主要研究領(lǐng)域?yàn)榉中螏缀渭捌鋺?yīng)用；李鴻（1965—），男，博士生，教授，主要研究領(lǐng)域?yàn)閿?shù)據(jù)挖掘、算法設(shè)計(jì)與分析；張祖峰（1979—），男，博士，講師，主要研究領(lǐng)域?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微分方程。

2013-08-07

2013-09-23

1002-8331（2013）23-0247-05