求解帶有間斷系數(shù)泊松方程的修正有限體積

續(xù)小磊，馮秀芳

寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，銀川 750021

求解帶有間斷系數(shù)泊松方程的修正有限體積

續(xù)小磊，馮秀芳

寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，銀川 750021

1 引言

界面問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中有很多實(shí)例，如靜電、流體動(dòng)力學(xué)、熱傳遞等。在這里考慮下面的橢圓型界面問(wèn)題：

區(qū)域Ω被界面Γ分為幾個(gè)子區(qū)間Ωi，假設(shè)擴(kuò)散系數(shù)K在每一個(gè)子區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，在界面處是不連續(xù)的。流過(guò)界面的通量是光滑連續(xù)的，記為-K?u·n，此處n是界面處的單位向量。通常把系數(shù)間斷處稱(chēng)為界面。在本文中，得出一個(gè)求解二階橢圓界面問(wèn)題的新的差分格式。

有限體積方法是求解偏微分方程的一種新的數(shù)值方法，它是結(jié)合有限差分方法與有限元方法產(chǎn)生的，它既有有限差分方法的簡(jiǎn)單性又具備有限元方法的高精度性。具有離散模板結(jié)構(gòu)緊湊、較好的精確度和局部離散守恒等獨(dú)特性質(zhì)。在所有的這些離散化方法中，它們假定的擴(kuò)散系數(shù)的跳躍與有限元分區(qū)相結(jié)合。這意味著，擴(kuò)散系數(shù)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)是足夠光滑的，跳躍只可能發(fā)生在每個(gè)有限元邊界。文獻(xiàn)[1]對(duì)有限體積法做了詳細(xì)的介紹。有限體積學(xué)者早期的工作主要集中在標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)偶剖分，如利用三角形網(wǎng)格和四邊形網(wǎng)格生成精確的近似值（見(jiàn)文獻(xiàn)[2-6]）。有限體積法被廣泛應(yīng)用于計(jì)算流體力學(xué)和熱傳遞（如文獻(xiàn)[7-11]）。在文獻(xiàn)[12]中，shashkov將逼近平衡方程的思想擴(kuò)展到更大范圍的微分算子。這種新的方法已經(jīng)影響了離散算子相應(yīng)的微分算子以及具有相同性質(zhì)的其他算子。

具有間斷系數(shù)或間斷解的橢圓型方程經(jīng)常出現(xiàn)在自然模型問(wèn)題中，如表面張力具有跨越界面的壓力或壓力梯度的可壓縮兩相流；零馬赫數(shù)預(yù)混燃燒在動(dòng)態(tài)壓力和壓力梯度的火焰的投影方法；不同熱容量和導(dǎo)熱系數(shù)擴(kuò)散材料之間界面的熱傳導(dǎo)過(guò)程等。M.Oevermann在文獻(xiàn)[13]中給出了一個(gè)針對(duì)具有尖銳界面的三維變系數(shù)橢圓方程的二階有限體積方法，該方法在界面上使用標(biāo)準(zhǔn)的分段線性有限元區(qū)間和雙分段擬線性區(qū)間，界面的求解使用一個(gè)27點(diǎn)模板，由此產(chǎn)生的線性方程組采用BICGSTAB求解代數(shù)多重網(wǎng)格的辦法進(jìn)行預(yù)處理與解決。在各種測(cè)試中，包括大比例和非光滑界面的情況下實(shí)現(xiàn)了在L2范數(shù)和 L∞范數(shù)下的二階精度。文獻(xiàn)[14]中的浸入界面方法是利用有限體積法在笛卡爾網(wǎng)格下求解變系數(shù)二階橢圓型方程，其主要思想是使用解決方案的分段多項(xiàng)式表示一個(gè)雙網(wǎng)格，避免界面配置之間的區(qū)別，該方法利用九點(diǎn)格式，能達(dá)到二階精度。R.Ewing在文獻(xiàn)[15]中對(duì)經(jīng)典的有限體積方法[3]進(jìn)行了修正，新的方案中通量在界面處的分量是光滑的。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，R.Ewing的方法比經(jīng)典的有限體積方法更有效，解與通量在H1范數(shù)下均能達(dá)到二階精度。本文利用R. Ewing的思想，對(duì)經(jīng)典的有限體積方法作了進(jìn)一步的改進(jìn)，得到的結(jié)果比R.Ewing的方法更為精確。新的方案中通量在界面處的階段誤差能達(dá)到和光滑處同樣的二階精度，而且為了提高對(duì)調(diào)和平均系數(shù)的計(jì)算精度，采用了辛普森方法對(duì)其積分運(yùn)算。

2 網(wǎng)格剖分

首先給出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的網(wǎng)格劃分x0=0，x1=2，=1，xi=+h=2，3，…，N )。在這里，h=1N，N代表網(wǎng)格劃分的個(gè)數(shù)。需要指出的是x0=0和xN+1=1也是網(wǎng)格中的點(diǎn)，不同于其他網(wǎng)格點(diǎn)的地方是它們與相鄰的網(wǎng)格點(diǎn)之間的距離是，這種位移網(wǎng)格對(duì)Dirichlet邊界條件不是很方便，但是如果邊界條件中包含通量F，那么這種網(wǎng)格是十分方便和利于計(jì)算的。內(nèi)部網(wǎng)格點(diǎn)可以認(rèn)為是這樣一個(gè)控制體的中心：

3 有限體積離散

給定的橢圓方程（1）重寫(xiě)后可得：

本文的結(jié)論基于如下兩個(gè)假設(shè)：

有限體積的思想就是在控制體Si內(nèi)建立平衡方程，將

但是由于兩個(gè)特殊的內(nèi)點(diǎn)x1和xN與相鄰的邊界點(diǎn)的距離是，所以在這兩點(diǎn)處的差分需要特殊處理。結(jié)合式（16）和（4）得到逼近方程（2）的差分格式：

注 在式（17）中，需要指出以下幾點(diǎn)：

（1）用因子1.33和1.24分別代替了經(jīng)典格式中的因子1。換成新的因子后通量在x=0和x=1處能達(dá)到二階精度。

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證新格式的優(yōu)越性，下面進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，將與兩種已知的格式進(jìn)行對(duì)比：

（2）文中提到的Samarskii的經(jīng)典格式，本文將它命名為SHA格式。新的格式用NHA格式來(lái)標(biāo)記。

各種格式的結(jié)果最終用下面兩種范數(shù)進(jìn)行對(duì)比，分別是C-范數(shù)和L2范數(shù)：

由表1容易看出，新的方案和SHA格式都具有二階精度，但是新格式的收斂速度更快。AA格式為一階精度，收斂速度相對(duì)較慢。

表1 C-范數(shù)

從表2中可以看出，AA格式達(dá)不到一階精度，SHA和新格式都可以達(dá)到一階以上的精度，但是新格式的誤差更小，逼近精確解的效果更好。

從圖1～3中不難看出，新的格式（NHA）不論在粗網(wǎng)格還是細(xì)網(wǎng)格的情況下都能得到很好的逼近。SHA在網(wǎng)格很細(xì)密的時(shí)候才能較好地逼近精確解，AA格式在粗網(wǎng)格下幾乎不能反映精確解，而且精確度較低。

表2 L2-范數(shù)

圖1 例1在網(wǎng)格點(diǎn)為6時(shí)AA格式

圖2 例1在網(wǎng)格點(diǎn)為6時(shí)SHA格式

圖3 例1在網(wǎng)格點(diǎn)為6時(shí)NHA格式

5 結(jié)論

修正經(jīng)典的有限體積法得到了一種新的求解間斷系數(shù)橢圓方程的差分格式，無(wú)論在網(wǎng)格劃分較粗或較細(xì)的情況下都能對(duì)精確解進(jìn)行很好的逼近。進(jìn)一步的工作是將該方法從一維格式推廣到二維、三維格式，同時(shí)考慮將該方法推廣到非線性問(wèn)題。

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XU Xiaolei,FENG Xiufang

College of Mathematics and Computer,Ningxia University,Yinchuan 750021,China

In this paper,a new modified finite volume method is presented to solve the elliptic equations with discontinuous coefficients.This method allows discontinuities of the solution and normal derivatives on the interface inside the domain on a Cartesian grid.From experiment results,this scheme is second-order point-wise convergence and approximates the fluxes to second-order accuracy.At the same time,the numerical results show that the new scheme is much more accurate than the known schemes which use arithmetic and harmonic averaging in solving interface problems,especially in the cases of large jumps of coefficient.

finite volume method;elliptic equations with variable coefficients;interface problem

利用修正的有限體積方法求解帶有間斷系數(shù)的泊松方程，改進(jìn)是對(duì)基于笛卡爾坐標(biāo)系下的調(diào)和平均系數(shù)進(jìn)行的。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明新格式二階逐點(diǎn)收斂并且在界面處具有二階精度，新方法較已有的求解不連續(xù)擴(kuò)散系數(shù)的算術(shù)平均法和調(diào)和平均法，特別是在系數(shù)跳躍較大的情況下更具優(yōu)勢(shì)。

有限體積方法；變系數(shù)橢圓方程；界面問(wèn)題

A

O241.82

10.3778/j.issn.1002-8331.1305-0203

XU Xiaolei,FENG Xiufang.New modified finite volume approximation of elliptic equations with discontinuous coefficients.Computer Engineering and Applications,2013,49（23）：35-38.

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.11161036）。

續(xù)小磊（1986—），男，研究生，主要從事偏微分方程數(shù)值解方面的研究；馮秀芳（1975—），女，博士，教授，主要從事偏微分方程數(shù)值解方面的研究。E-mail：xuxiaoxiaolei123@163.com

2013-05-16

2013-07-25

1002-8331（2013）23-0035-04

CNKI出版日期：2013-08-22 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130822.1439.015.html