區(qū)間直覺模糊連續(xù)交叉熵及其多屬性決策方法

李香英

山東青年政治學(xué)院 信息工程學(xué)院，濟(jì)南 250014

區(qū)間直覺模糊連續(xù)交叉熵及其多屬性決策方法

李香英

山東青年政治學(xué)院 信息工程學(xué)院，濟(jì)南 250014

1 引言

多屬性決策[1-2]廣泛存在于社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、管理等領(lǐng)域，已經(jīng)成為涉及數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理科學(xué)和決策科學(xué)等多門學(xué)科研究的共同課題，其實(shí)質(zhì)是指在合理地處理決策問題時(shí)，用以在一組備選方案中選擇和確定最優(yōu)方案的一套理論、方法和程序等。

由Zadeh[3]于1965年提出模糊集（FS）以來，模糊集理論現(xiàn)已成功地應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。然而傳統(tǒng)的模糊集因其不能完整地刻畫所研究問題的信息，因此，Atanassov[4]引入了直覺模糊集（IFS）的概念。由于直覺模糊集同時(shí)考慮了隸屬度、非隸屬度和猶豫度三個(gè)方面的信息，因此它廣泛地應(yīng)用于處理模糊性和不確定性等方面的問題。由于客觀世界的復(fù)雜性和不確定性，以及人們思維能力和知識(shí)水平的局限性，用于表達(dá)決策信息的形式不僅僅只是確定數(shù)，而經(jīng)常以區(qū)間數(shù)的形式進(jìn)行描述。于是，Atanassov[5]在直覺模糊集和區(qū)間模糊集的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引入了區(qū)間直覺模糊集（IVIFS）。在區(qū)間直覺模糊集中，隸屬度和非隸屬度不再是確定的數(shù)，而是區(qū)間數(shù)。

交叉熵是模糊集理論中的一個(gè)重要的課題，它是度量?jī)蓚€(gè)系統(tǒng)間差異程度的重要工具。Shannon[6]首先在信息論中引入了交叉熵。Kullback和Leibler[7]提出了一種交叉熵距離，用于度量?jī)蓚€(gè)概率分布間的距離。Shang和Jiang[8]提出了模糊交叉熵，用于度量模糊集間的差異。Vlachos和Sergiadis[9]引入了直覺模糊交叉熵的概念，并且將其應(yīng)用于模式識(shí)別、醫(yī)療診斷和圖像分割中。Ye[10]提出了一種基于直覺模糊交叉熵的多屬性模糊決策方法。文獻(xiàn)[11]類比于直覺模糊交叉熵，引入了區(qū)間直覺模糊交叉熵的概念。目前，在區(qū)間直覺模糊環(huán)境下，有關(guān)交叉熵的研究很少。因此，本文基于連續(xù)有序加權(quán)平均（COWA）算子[12]，定義了一種新的區(qū)間直覺模糊交叉熵，并且提出了一種基于區(qū)間直覺模糊連續(xù)交叉熵的多屬性決策方法。其中，在屬性權(quán)重信息不完全可知和屬性權(quán)重信息完全未知的情況下，分別給出了屬性權(quán)重的確定方法。

2 預(yù)備知識(shí)

定義2.1[5]設(shè)X為一個(gè)非空集合，D[0，1]表示區(qū)間[0，1]上的所有閉子區(qū)間構(gòu)成的集合，則稱

為X上的區(qū)間直覺模糊集（IVIFS）。其中：

滿足以下條件：

其中，μΑ(x)和νΑ(x)分別表示集合X中的元素x屬于Α的隸屬度和非隸屬度。

定義2.2[12]設(shè)Q為基本單位區(qū)間單調(diào)BUM函數(shù)，即Q:[0，1]→[0，1]，Q(0)=0，Q(1)=1，并且Q(y)為單調(diào)函數(shù)。令Ω為非負(fù)區(qū)間數(shù)集，a=[a-，a+]∈Ω，F(xiàn):Ω→R+。若

則稱F為連續(xù)有序加權(quán)平均（COWA）算子。

因此，F(xiàn)Q([a-，a+])是區(qū)間[a-，a+]的端點(diǎn)加權(quán)平均。當(dāng)λ=0時(shí)，F(xiàn)Q(a)=a-；當(dāng)λ=1時(shí)，F(xiàn)Q(a)=a+。于是，決測(cè)者可以根據(jù)其對(duì)決測(cè)結(jié)果所持的態(tài)度取不同的BUM函數(shù)Q(y)。

3 區(qū)間直覺模糊連續(xù)交叉熵和連續(xù)交叉熵距離

如何度量?jī)蓚€(gè)區(qū)間直覺模糊數(shù)間的距離是模糊集理論中的一個(gè)重要課題。由于兩個(gè)系統(tǒng)間的差異性可以通過它們之間的交叉熵進(jìn)行度量，人們就借用信息論中的交叉熵來定義兩個(gè)系統(tǒng)間的距離。

對(duì)于論域X={x1，x2，…，xn}上的兩個(gè)模糊集M={M(x1)，M(x2)，…，M(xn)}和N={N(x1)，N(x2)，…，N(xn)}，Shang等[8]提出了一種新的模糊交叉熵的確定方法：

對(duì)于論域X={x1，x2，…，xn}上的兩個(gè)直覺模糊集Α和B，Vlachos和Sergiadis[9]定義了一種直覺模糊交叉熵：

定義3.1 設(shè)為兩個(gè)區(qū)間直覺模糊數(shù)為COWA算子，則稱為間的區(qū)間直覺模糊連續(xù)交叉熵，其中：

然而，間的區(qū)間直覺模糊連續(xù)交叉熵不滿足對(duì)稱性，則定義如下距離：

定義3.2設(shè)為兩個(gè)區(qū)間直覺模糊數(shù)，則稱

為間的連續(xù)交叉熵距離。

由定義2.2知，連續(xù)交叉熵距離是態(tài)度參數(shù)λ的函數(shù)，因此，決策者可以根據(jù)其偏好而選擇不同的參數(shù)λ，進(jìn)而確定區(qū)間直覺模糊數(shù)間的連續(xù)交叉熵距離。

命題3.1 設(shè)α，β∈Ω為兩個(gè)區(qū)間直覺模糊數(shù)，α=間的連續(xù)交叉熵距離滿足以下性質(zhì)：

4 基于區(qū)間直覺模糊連續(xù)交叉熵的多屬性決策方法

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，信息的劇增，現(xiàn)實(shí)世界的各種決策問題比以前更加復(fù)雜、模糊和不確定，具體表現(xiàn)為決策信息是區(qū)間數(shù)、直覺模糊數(shù)及區(qū)間直覺模糊數(shù)等形式。本章給出了在區(qū)間直覺模糊環(huán)境下確定屬性權(quán)重的方法，并且提出了一種基于連續(xù)交叉熵距離和相對(duì)貼近度的多屬性決策方法。

設(shè)X={X1，X2,…,Xm}為備選方案集，C={C1,C2,…,Cn}為屬性集。D=為專家們提供的區(qū)間直覺模糊決策矩陣，其中為備選方案Xi在屬性Cj下的屬性值，且假設(shè)屬性權(quán)重向量為W=

4.1 基于區(qū)間直覺模糊連續(xù)交叉熵的屬性權(quán)重確定方法

在屬性Cj下，備選方案Xi與其他所有備選方案間的平均連續(xù)交叉熵為：

則在屬性Cj下，所有備選方案Xi(i=1，2，…，m)與其他所有備選方案間的綜合平均連續(xù)交叉熵為：

在決策過程中，所有方案在某一屬性下的屬性值差異越小，那么這個(gè)屬性提供給決策者的信息量就很少，在決策過程中的重要性就越低，則應(yīng)該賦予這個(gè)屬性的權(quán)重就越小。反之，若所有方案在某一屬性下的屬性值有明顯的差異，那么這個(gè)屬性在選擇最優(yōu)方案的過程中重要性就越高，因此應(yīng)賦予其大的權(quán)重。

若決策者對(duì)屬性Cj，j=1，2，…，n的權(quán)重wj的信息完全未知，則可通過以下方法確定權(quán)重wj：

若決策者僅僅知道屬性Cj，j=1，2，…，n的權(quán)重wj的部分信息H，為了得到最優(yōu)的權(quán)重向量，則可建立以下模型確定權(quán)重wj：

4.2 區(qū)間直覺模糊連續(xù)交叉熵的多屬性決策方法

本節(jié)運(yùn)用ΤOPSIS的思想[13]，基于區(qū)間直覺模糊連續(xù)交叉熵，提出一種新的區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法，具體步驟如下：

步驟1根據(jù)專家們提供的區(qū)間直覺模糊決策矩陣D=，利用公式（10）或模型（11），計(jì)算屬性權(quán)重向量W=(w1，w2，…，wn)。

步驟2構(gòu)造正理想方案X+和負(fù)理想方案X-如下：

運(yùn)用公式（7）分別計(jì)算備選方案Xi(i=1，2，…，m)與正理想方案X+和負(fù)理想方案X-的距離如下：

步驟3計(jì)算各備選方案Xi(i=1，2，…，m)與理想方案的相對(duì)貼近度Ri：

步驟4將相對(duì)貼近度R1，R2，…，Rm按降序進(jìn)行排列，則最大的相對(duì)貼近度所對(duì)應(yīng)的方案為最優(yōu)方案。

5 實(shí)例分析

利用本文提出的新的決策方法對(duì)實(shí)例進(jìn)行分析。由式（7）可知，當(dāng)態(tài)度參數(shù)λ取不同的值時(shí)，可以得到不同的連續(xù)交叉熵距離。本例取態(tài)度參數(shù)λ=0.5時(shí)的連續(xù)交叉熵距離對(duì)實(shí)例進(jìn)行分析。

假設(shè)某一投資公司將選擇一個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行投資，總共有以下四個(gè)項(xiàng)目可以考慮：（1）X1為一個(gè)汽車公司；（2）X2為一個(gè)電腦公司；（3）X3為一個(gè)軍火生產(chǎn)商；（4）X4為一個(gè)食品公司。該投資公司需要考慮下面三個(gè)方面并作出選擇：（1）C1風(fēng)險(xiǎn)分析；（2）C2發(fā)展前途；（3）C3社會(huì)環(huán)境壓力分析。專家們根據(jù)已知信息提供了表1所示的區(qū)間直覺模糊決策矩陣[14]。運(yùn)用本文提出的區(qū)間直覺模糊連續(xù)交叉熵的多屬性決策方法選擇最優(yōu)的投資項(xiàng)目。

表1 區(qū)間直覺模糊決策矩陣

步驟1運(yùn)用公式（10）計(jì)算屬性權(quán)重，得到屬性權(quán)重向量為：W=(0.421 3，0.084 4，0.494 3)。

步驟2構(gòu)造正理想方案X+和負(fù)理想方案X-：

運(yùn)用公式（12）和公式（13）計(jì)算四個(gè)項(xiàng)目方案Xi(i=1， 2，3，4)分別與正理想方案X+和負(fù)理想方案X-的距離和，結(jié)果如下：

步驟3根據(jù)公式（14）計(jì)算四個(gè)項(xiàng)目與理想方案的相對(duì)貼近度：

步驟4根據(jù)相對(duì)交叉熵對(duì)四個(gè)備選項(xiàng)目進(jìn)行排序：X2?X3?X4?X1，因此最優(yōu)的投資項(xiàng)目為X2，這與文獻(xiàn)[14]的結(jié)果是一致的。

6 結(jié)論

自從Atanassov引入?yún)^(qū)間直覺模糊集的概念以來，對(duì)區(qū)間直覺模糊交叉熵理論的研究相對(duì)較少。本文在區(qū)間直覺模糊交叉熵的基礎(chǔ)上，結(jié)合COWA算子，定義了一種新的區(qū)間直覺模糊交叉熵，即區(qū)間直覺模糊連續(xù)交叉熵，并且進(jìn)一步提出了兩個(gè)區(qū)間直覺模糊數(shù)間的連續(xù)交叉熵距離，其優(yōu)點(diǎn)在于可以根據(jù)決策者的偏好選擇不同的態(tài)度參數(shù)，從而得到不同的連續(xù)交叉熵距離。其次，本文分別給出了在屬性權(quán)重信息部分可知和屬性權(quán)重信息完全未知的情況下的權(quán)重確定方法。最后，基于區(qū)間直覺模糊連續(xù)交叉熵提出了一種新的區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了新的決策方法的可行性和有效性。

[1]邱苑華.管理決策與應(yīng)用熵學(xué)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2001.

[2]徐玖平，陳建中.群決策理論與方法實(shí)現(xiàn)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009.

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[14]高志海，魏翠萍.一種區(qū)間直覺模糊熵公式及其應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2012，48（2）：53-55.

LI Xiangying

College of Information Engineering,Shandong Youth University of Political Science,Jinan 250014,China

Τhis paper presents the concept of the interval-valued intuitionistic fuzzy continuous cross-entropy under the intervalvalued intuitionistic fuzzy environment,which is based on the COWA operator.Τhe continuous cross-entropy distance between two interval-valued intuitionistic fuzzy values is proposed by using the concept of the interval-valued intuitionistic fuzzy continuous cross-entropy.It obtains the weighted distance degree values between every alternative and ideal alternative depending on the Τechnique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution（ΤOPSIS）method,and calculates the relative closeness for each alternative with respect to ideal alternative.It can select the best alternative in accordance with the relative closeness.On the one hand,a programming model based on the principle of maximum cross-entropy is proposed to calculate the attribute weights aiming at the decision making problem with binding attribute weight conditions.On the other hand,it develops a method to obtain the attribute weights in accordance with the cross-entropy theory,aiming that the information about attribute weights is completely unknown.A practical example shows the feasibility and validity of the proposed decision making method.

interval-valued intuitionistic fuzzy sets;continuous cross-entropy;Continuous Ordered Weighted Average（COWA）operator;multi-criteria decision making

在區(qū)間直覺模糊（IVIF）環(huán)境下，利用連續(xù)有序加權(quán)平均（COWA）算子定義了一種新的區(qū)間直覺模糊數(shù)間的交叉熵，即區(qū)間直覺模糊連續(xù)交叉熵。依據(jù)提出的區(qū)間直覺模糊連續(xù)交叉熵定義了直覺模糊數(shù)間的連續(xù)交叉熵距離?；讦砄PSIS的思想得到備選方案與理想方案的加權(quán)距離，并且計(jì)算備選方案與理想方案的相對(duì)貼近度，依據(jù)相對(duì)貼近度選擇最優(yōu)方案。其中，針對(duì)屬性權(quán)重信息不完全確定條件下的決策問題，提出了以區(qū)間直覺模糊連續(xù)交叉熵最大為準(zhǔn)則的規(guī)劃模型；針對(duì)屬性權(quán)重信息完全未知的情況，根據(jù)交叉熵理論確定屬性權(quán)重向量。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了新的決策方法的可行性和有效性。

區(qū)間直覺模糊集；連續(xù)交叉熵；連續(xù)有序加權(quán)平均（COWA）算子；多屬性決策

A

O22

10.3778/j.issn.1002-8331.1211-0365

LI Xiangying.Interval-valued intuitionistic fuzzy continuous cross-entropy and its application in multi-attribute decisionmaking.Computer Engineering and Applications,2013,49（15）：234-237.

李香英（1971—），女，講師，主要研究領(lǐng)域?yàn)閿?shù)據(jù)庫應(yīng)用，軟件系統(tǒng)開發(fā)。E-mail：victory_lxy@163.com

2012-11-29

2013-03-04

1002-8331（2013）15-0234-04

CNKI出版日期：2013-03-21 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.ΤP.20130321.0939.004.html

◎工程與應(yīng)用◎