GNSS導(dǎo)航中GDOP最小值的分析與驗(yàn)證＊

李 森，李長(zhǎng)會(huì)，劉 寧，楊 昊

（61365部隊(duì)，天津300140）

0 引 言

GNSS導(dǎo)航定位的誤差取決于觀測(cè)量的精度和接收機(jī)—衛(wèi)星幾何分布的情況，精度衰減因子GDOP描述了接收機(jī)與可視衛(wèi)星間的幾何分布關(guān)系，反映了由于衛(wèi)星幾何關(guān)系的影響造成的偽距測(cè)量誤差與目標(biāo)位置誤差的比例系數(shù)［1]，是衡量衛(wèi)星定位精度的一個(gè)重要指標(biāo)。幾何分布越好，GDOP值就越小，定位精度就越高。因此為了提高GNSS導(dǎo)航定位的精度，應(yīng)使GDOP值最小［2－3]。

文獻(xiàn)［4－6]給出了GDOP 值與接收機(jī)和衛(wèi)星組成的多面體體積之間的關(guān)系，但是未對(duì)GDOP的最小值進(jìn)行分析；文獻(xiàn)［7]對(duì)GPS定位中的GDOP進(jìn)行了分析，推導(dǎo)出了利用4顆衛(wèi)星導(dǎo)航定位時(shí)，GDOP的最小值為；文獻(xiàn)［1]經(jīng)過(guò)分析發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)［7]給出的最小值是不能達(dá)到的，并利用矩陣的特征值推導(dǎo)出GDOP的理論最小值為文獻(xiàn)［8]［9]從不同角度得到了與文獻(xiàn)［1]相同的GDOP理論最小值及其計(jì)算公式。以上文獻(xiàn)在GDOP最小值討論方面均有一定的參考價(jià)值。但是分析發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)［8]和［9]給出的GDOP最小值計(jì)算方法是從純數(shù)學(xué)角度推導(dǎo)的，沒(méi)有考慮到接收機(jī)不能接收地平線以下衛(wèi)星信號(hào)的情況。文獻(xiàn)［10]也指出在衛(wèi)星導(dǎo)航定位中，接收機(jī)通常只能接收衛(wèi)星高度截止角大于零的衛(wèi)星信號(hào)，在實(shí)際中上述理論最小值不能達(dá)到，但文獻(xiàn)［10]并沒(méi)有給出實(shí)際GDOP最小值的求解方法。

對(duì)現(xiàn)有文獻(xiàn)中GDOP最小值的計(jì)算方法進(jìn)行了討論，分析和給出了其計(jì)算GDOP最小值的不合理原因；從實(shí)際情況出發(fā)，對(duì)GDOP最小值的求解重新進(jìn)行了分析和推導(dǎo)，得到了GDOP最小值的計(jì)算方法，并給出了GDOP值達(dá)到最小時(shí)的衛(wèi)星空間幾何分布情況；最后給出了仿真和實(shí)測(cè)算例，驗(yàn)證了本文推導(dǎo)方法和結(jié)果的正確性。

1 現(xiàn)有GDOP最小值計(jì)算方法的分析

1.1 GDOP的定義

接收機(jī)至衛(wèi)星i在歷元tk時(shí)刻的偽距觀測(cè)方程為

式中：ρ為偽距觀測(cè)值；D為測(cè)站至衛(wèi)星的幾何距離；c為真空中光速；δti，δt為接收機(jī)與衛(wèi)星鐘差；dion為電離層延遲；dtro為對(duì)流層延遲；ε為未模型化的殘余誤差項(xiàng)及觀測(cè)噪聲。

在接收機(jī)的概略位置ˉrtro＝（x0y0z0）T處泰勒展開(kāi)，忽略二階以上的小量，得到觀測(cè)n（n≥4）顆衛(wèi)星的觀測(cè)方程為

式中：X＝（δxδyδz b）T為待估向量；（δxδyδz b）T為位置改正量；b為接收機(jī)鐘差等效距離參數(shù)；為n×4的列滿(mǎn)秩系數(shù)矩陣；ei＝（exi，eyi，ezi）為接收機(jī)指向第i顆可視衛(wèi)星的方向余弦，滿(mǎn)足｜ei｜＝1，即ei（i＝1，2，…，n）均位于單位球面上；L為n×1觀測(cè)向量，其權(quán)陣為單位矩陣；ε為n×1隨機(jī)誤差向量。

模型（2）中X的最小二乘解為

其協(xié)方差陣為Q＝σ20（HTH）－1，其中σ0為未知的單位權(quán)中誤差，

則 GDOP＝［tr（HTH）－1]1／2其中tr（HTH）－1表示矩陣（HTH）－1的跡。

GDOP表征了接收機(jī)和可視衛(wèi)星在空間的幾何分布情況。GDOP值最小，則接收機(jī)和衛(wèi)星的空間幾何分布最佳，定位精度最高。另外，隨著可視衛(wèi)星數(shù)目的增加，GDOP的最小值不斷減少，即可視衛(wèi)星數(shù)目越多，GDOP 值越小，定位精度越高［9－10]。

1.2 現(xiàn)有GDOP最小值計(jì)算方法的分析

由條件｜ei｜＝1，i＝1，2，…n，可知矩陣HTH的跡為

即

當(dāng)λi（i＝1，2，3）相等時(shí)式（6）的等號(hào)成立且當(dāng)λ4＝n時(shí)，獲得最小值文獻(xiàn)［9]在條件下得到了同樣的GDOP最小值。但是這個(gè)最小值的獲取有一個(gè)前提就是要求HTH為對(duì)角矩陣，即需要同時(shí)滿(mǎn)足以下條件

由于參與導(dǎo)航定位解算的衛(wèi)星均應(yīng)為地平面上方的可視衛(wèi)星，則所有衛(wèi)星與z軸的夾角介于0和之間，故要求e＞0，i＝1，2，…，n.這與條件zi相矛盾，所以矩陣HTH不能為對(duì)角矩陣。故上述GDOP最小值是數(shù)學(xué)意義上的最小值，而不是測(cè)量意義上的最小值。

2 GDOP最小值的理論推導(dǎo)

推導(dǎo)GDOP的最小值，需要在滿(mǎn)足ezi＞0，i＝1，2，…，n的條件下進(jìn)行，此時(shí)HTH不再是對(duì)角矩陣。經(jīng)過(guò)分析，給出如下結(jié)論：

證明：因H為列滿(mǎn)秩矩陣，則HTH是正定矩陣，故C、D也是正定矩陣。即，在矩陣偏序意義下滿(mǎn)足C＞0、D＞0.

由分塊矩陣的求逆法可知

由于C、D為正定矩陣，故UD－1UT和UTC－1U 均半正定，即

且當(dāng)僅當(dāng)U＝0時(shí)上式等號(hào)成立。故

進(jìn)而得

因此

且當(dāng)僅當(dāng)U＝0時(shí)上式等號(hào)成立，證畢。

U＝0要求條件

同時(shí)成立，故求解GDOP最小值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找滿(mǎn)足上述條件的（exi，eyi，ezi），i＝1，2，…，n.獲得方程（13）的解析解比較困難，根據(jù)上述條件和衛(wèi)星在空間分布越分散GDOP值越小的要求，當(dāng)n＝4時(shí)，可構(gòu)造一族解如下所示：

經(jīng)過(guò)分析可以發(fā)現(xiàn)，這一組解不但滿(mǎn)足上述條件式（13），而且滿(mǎn)足故此時(shí)矩陣為C對(duì)角矩陣。這一族解有明確的幾何意義：接收機(jī)與4顆衛(wèi)星組成一個(gè)對(duì)稱(chēng)的六面錐，中心與Z軸重合，接收機(jī)在錐尖位置，4顆衛(wèi)星不在與XOY平行的平面上，這個(gè)六面錐投影在XOY平面上是一個(gè)菱形。如果α＝β，則4顆衛(wèi)星在與XOY平行的平面上，接收機(jī)與4顆衛(wèi)星組成一個(gè)以正方形為底的五面錐，但此時(shí)系數(shù)矩陣H奇異，這樣的解不可取。

將這一族解代入到矩陣HTH中，得到GDOP最小值的計(jì)算公式為

根據(jù)上式可以方便地利用數(shù)值法得到GDOP的最小值。

當(dāng)n＝5時(shí)，可構(gòu)造一族解為

相應(yīng)地，GDOP最小值的計(jì)算公式為

此時(shí)在n＝4的基礎(chǔ)上，增加的第5顆衛(wèi)星在接收機(jī)正上方，即位于Z軸正上方的位置，此時(shí)GDOP值亦達(dá)到最小。

3 仿真與分析

算例1：為了驗(yàn)證本文推導(dǎo)出的GDOP理論最小值的正確性，以4顆、5顆可視衛(wèi)星為例進(jìn)行仿真分析。分別按下列三種方案計(jì)算相應(yīng)的GDOP最小值，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

1）用該方法計(jì)算得到GDOP的最小值，記為GDOPmin1.

3）根據(jù)美國(guó)JPL噴氣動(dòng)力實(shí)驗(yàn)室網(wǎng)站提供的衛(wèi)星軌道根數(shù)等數(shù)據(jù)，不考慮各種誤差的影響，采用外推法計(jì)算GDOP的最小值。這個(gè)GDOP最小值應(yīng)該是相對(duì)真實(shí)的，記為GDOPtrue.

表1 三種方案得到的GDOP最小值

算例2：為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文結(jié)果的正確性，利用XW－GPS1000接收機(jī)在鄭州市區(qū)采集一天的GPS靜態(tài)數(shù)據(jù)，采樣周期為1s，分析處理后可以得到GDOP值隨可視衛(wèi)星數(shù)變化的曲線如圖1所示。

圖1 衛(wèi)星GDOP值變化曲線

由圖1可以看出，對(duì)于GPS衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，由于受衛(wèi)星數(shù)目和衛(wèi)星軌道長(zhǎng)時(shí)間變化的限制及觀測(cè)時(shí)衛(wèi)星高度截止角的影響，可視衛(wèi)星數(shù)為4、5時(shí)，GDOP 最小值分別為3.492、2.430，比理論推導(dǎo)的GDOP最小值大的多。

4 結(jié) 論

對(duì)GNSS導(dǎo)航定位中GDOP最小值的計(jì)算方法進(jìn)行了分析，得到了以下結(jié)論：

1）在導(dǎo)航定位中，接收機(jī)通常只能觀測(cè)到衛(wèi)星高度截止角大于0的衛(wèi)星，因此相關(guān)文獻(xiàn)給出的GDOP理論最小值是不合理的，也是不能達(dá)到的；

2）對(duì)GDOP最小值進(jìn)行了重新分析和推導(dǎo)，得出當(dāng)接收機(jī)在n顆衛(wèi)星的空間幾何分布滿(mǎn)足一定條件時(shí)，GDOP達(dá)到最小值，并利用數(shù)值法得到了4顆、5顆可視衛(wèi)星對(duì)應(yīng)的GDOP最小值；

3）隨著GNSS的發(fā)展，當(dāng)多個(gè)衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)組合導(dǎo)航定位時(shí)，隨著衛(wèi)星數(shù)目的增加，衛(wèi)星的空間幾何分布會(huì)得到較大的改善，GDOP值將達(dá)到較??；

4）此研究成果可以為星座設(shè)計(jì)、導(dǎo)航定位精度分析等提供一定的理論參考。

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