計算博彩中的贏得概率

吳羽杰

工商銀行上海分行，上海 201206

許多文獻(xiàn)介紹了博彩中輸贏的概率問題，基本的假設(shè)都是對局者每局的贏得概率是常數(shù)，與冰冷的質(zhì)點一樣看待，借助質(zhì)點自由隨機(jī)游動的思考方法得到計算博彩中贏得概率的新方法。

1 質(zhì)點自由隨機(jī)游動

例1（文獻(xiàn)[1]中例7.3(自由隨機(jī)游動)）：假設(shè)一質(zhì)點在直線(數(shù)軸)上運動,在時刻0從原點出發(fā)，每隔一個單位時間向右或向左移動一個單位，向右移動的概率總是p，向左移動的概率總是q=1-p問：在時刻n質(zhì)點位于k的概率是多少？(n是正整數(shù)，k是整數(shù))

給出的解法是：

為了質(zhì)點在時刻n位于k，必須且只需在n次移動時向右移動的次數(shù)比向左移動的次數(shù)多k次。若用x表示向右移動的次數(shù)，y表示向左移動的次數(shù)，則必須且只需

x+y=n，x-y=k

于是，x=(n+k)/2，y=(n-k)/2

那么，A=“質(zhì)點在時刻n位于k”等價于”質(zhì)點在n次移動時有(n+k)/2次向右，(n-k)/2次向左”。所以

2 二人博彩的贏得概率

例2（文獻(xiàn)[1]中例7.4）：甲、乙二人進(jìn)行比賽，一局一局地比下去.每局獲勝者得1分，輸者得0分，累計得分比另一人多兩分者為優(yōu)勝(比賽進(jìn)行到產(chǎn)生優(yōu)勝者后停止)，已知每局中甲獲勝的概率是p，乙獲勝的概率是q=1-p，沒有和局，求甲獲勝的概率。給出的解法是：

A表示事件“甲優(yōu)勝”，B表示“前兩局均甲勝”，C表示“前兩局甲和乙各勝一局”。易知A=B∪(C∩A)，于是甲勝的概率是:

由于P(B)=p2，P(C)=pq+qp=2pq

所以P(A)=p2/(1-2pq)

我們認(rèn)為這兩個不同的例子，實際內(nèi)容是一樣的。也就是說，將例2中的甲視為在直線(數(shù)軸)上向右運動的質(zhì)點，乙視為向左移動的質(zhì)點,都在時刻0從原點出發(fā)，則

A=“甲優(yōu)勝”=質(zhì)點在時刻2位于2，或質(zhì)點在時刻4時前2時刻位于0后2時刻位于2，或質(zhì)點在時刻6時前4時刻位于0后2時刻位于2，或質(zhì)點在時刻8時前6時刻位于0后2時刻位于2，依次下去”，于是

與例2中的結(jié)果完全相同。也就是說，文獻(xiàn)[1]中例7.4僅僅是文獻(xiàn)[1]中例7.3的一個特例。

注：可以證明質(zhì)點在n=2k時刻位于0有2k種不同的情況。這是因為不能向左或向右連續(xù)移動兩次,即向左移動一次立即要向右移動,或者向右移動一次立即向左移動。于是質(zhì)點位置向量x=(x1，x2，x3，x4，…，x2k-1，x2k)中x2i(i=1，2，…，k)均為0，其它分量不是-1，就是1。于是在剩下的k個位子上放-1或1的不同方法為：

荷蘭物理學(xué)家惠更斯（C.Huyghens）在其《擲骰子的博弈中如何推理》——歷史上第一本概率論著作中給出如下問題(文獻(xiàn)[1]中例7.5）：

例3：甲、乙二人輪流投擲兩個骰子。若甲在乙擲出7點之前擲出6點,則甲勝；若乙在甲擲出6點之前擲出7點，則乙勝。約定甲先擲。問甲勝的概率是多少？乙勝的概率是多少？

雖然文獻(xiàn)[1]中給出了仿2（文獻(xiàn)[1]中例7.4）的解法求出解,我們認(rèn)為，這仍然是例1（文獻(xiàn)[1]中例7.3）的一個特例。也就是說,可以將甲視為奇數(shù)時刻移動的質(zhì)點，將乙視為偶數(shù)時刻移動的質(zhì)點。

由于甲擲出6點的概率是5/36，乙擲出7點的概率是1/6。所以將甲視為每次向左移動的概率為5/36、向右移動的概率為31/36的甲質(zhì)點；將乙視為每次向左移動的概率為1/6、向右移動的概率為5/6的乙質(zhì)點.由此可得甲勝的概率為:

p=p(甲左移)+p(甲右移且乙右移且甲左移)+p(甲右移且乙右移且甲右移且乙右移且甲左移)+……

與文獻(xiàn)[1]中的計算結(jié)果一樣。

[1]陳家鼎，鄭忠國，概率與統(tǒng)計[M].北京：北京大學(xué)出版社，2007：49-55