典型二階系統(tǒng)控制器設(shè)計

哈斯花

（赤峰工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

典型二階系統(tǒng)控制器設(shè)計

哈斯花

（赤峰工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

主要研究了典型二階系統(tǒng)控制器的設(shè)計方法.首先分析了二階系統(tǒng)的建模過程，然后設(shè)計了PID控制器，給出了校正后單位階躍響應(yīng)圖、校正后伯德圖、Simulink仿真、最后給出了穩(wěn)定性分析.經(jīng)過分析可知，系統(tǒng)在沒有經(jīng)過校正前不滿足要求，經(jīng)過PID校正后系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，調(diào)整時間縮短，反應(yīng)速度快，具有較強的抗干擾性和較好的魯棒性.

二階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型；PID控制器；系統(tǒng)穩(wěn)定性

1 建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

設(shè)輸出氣壓為p(t)，輸出位移x(t),有牛頓第二定理可得：

pA-kx(t)-bv=(M+m)a

代入數(shù)據(jù)M=0.08kg，m=0.02kg，k=4N/m，b=0. 04Ns/m，A=0.002m并整理后得：

對上式做拉氏變換可求出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：

進一步可求的系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：

求系統(tǒng)的閉環(huán)極點:

閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征方程：

可求出閉環(huán)極點

當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時即r(t)=1(t),R(s)=1/2特征值為是特征根的實部，代入數(shù)據(jù)可得σ=0.2，-σ=-0.2是特征根的虛部，稱為阻尼振蕩頻率.代入數(shù)據(jù)可得：ωd=6.33

s 1 到s 平面坐標(biāo)原點的距離為ωn

s 1 向量與s 平面負(fù)實軸的夾角β 稱為阻尼角.

β=arccosξ β=88°（已接近零阻尼狀態(tài)）

-σ=-0.2 ωd=6.33 β=88°繪制復(fù)平面二階系統(tǒng)閉環(huán)極點分布圖：

如圖所示兩個共軛復(fù)根在s平面的左半平面雖然接近虛軸但由上圖可知系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的.

系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù)

代入公式得當(dāng)r(t)=1(t)時，穩(wěn)態(tài)誤差ess=1

綜上所述原系統(tǒng)不滿足性能要求

原系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如下圖：

原系統(tǒng)的伯德圖如下：

由性能要求可以反求出系統(tǒng)最終的阻尼比和角頻率：

2 設(shè)計控制器

原系統(tǒng)的阻尼比為0.03已接近零阻尼狀態(tài)，所以需要通過設(shè)計控制器增加系統(tǒng)的阻尼比.故在控制器中加入比例微分環(huán)節(jié)，微分控制規(guī)律能反應(yīng)輸入信號的變化趨勢，產(chǎn)生有效的早期修正信號，以增加系統(tǒng)的阻尼程度，從而改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性.原系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，在輸入為r(t)=1(t)時存在穩(wěn)態(tài)誤差，需要在控制器中加入積分環(huán)節(jié)，PI控制器相當(dāng)于在系統(tǒng)中增加了一個位于原點的開環(huán)極點，同時也增加了個位于S左半平面的開環(huán)零點.增加的負(fù)實零點用來提高系統(tǒng)的阻尼程度，緩和PI控制器極點對系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生的不利影響.位于原點的極點可以提高系統(tǒng)的型別，即將系統(tǒng)提高到Ⅰ型，以消除或減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能.單位反饋系統(tǒng)框圖如下：

PID校正計算：

PID控制器的傳遞函數(shù)Gc(s)=Kp[1+1/Tis+Tds]其中Kp為可調(diào)比例系數(shù)

Ti為可調(diào)積分時間常數(shù)Td為微分時間常數(shù)

校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

單位負(fù)反饋閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

假設(shè)得到的閉環(huán)傳遞函數(shù)三階特征多項式可分解為

令對應(yīng)項系數(shù)相等，有

可求得PID校正所需的參數(shù)Kp，Ti，Td

校正后系統(tǒng)的特征多項式：

特征多項式不缺項，列出勞斯表：

由勞斯表可知系統(tǒng)穩(wěn)定.

校正后單位階躍響應(yīng)如下圖：

校正后得伯德圖如下圖：

由校正后的時域響應(yīng)曲線和頻域響應(yīng)伯德圖可知：校正后系統(tǒng)的性能指標(biāo)滿足要求.所以控制器的傳遞函數(shù)為Gc(s)

3 Simulink仿真

4 穩(wěn)定性分析

質(zhì)量變化對系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響較大，但質(zhì)量的變化，系統(tǒng)仍能在調(diào)整時間內(nèi)并在允許誤差范圍內(nèi)達到穩(wěn)定，系統(tǒng)的魯棒性較好.現(xiàn)在令在1s時系統(tǒng)受到一個脈沖信號的干擾，經(jīng)實驗證明，此時系統(tǒng)的響應(yīng)曲線較平滑且系統(tǒng)最終能回到平衡位置，達到穩(wěn)態(tài)，抗干擾能力強.

5 結(jié)論

經(jīng)過分析可知，系統(tǒng)在沒有經(jīng)過校正前不滿足要求，經(jīng)過PID校正后系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)差為零，調(diào)整時間縮短，反應(yīng)速度快，具有較強的抗干擾性和較好的魯棒性.這說明P控制器實質(zhì)上是一個具有可調(diào)增益的放大器.在信號變換過程中，P控制器只改變信號的增益而不影響其相位.在串聯(lián)校正中，加大控制器增益KP，可以提高系統(tǒng)的開環(huán)增益，減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，從而提高系統(tǒng)的控制精度，但系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，甚至可能造成閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此在系統(tǒng)校正設(shè)計中，不能單獨使用比例控制規(guī)律；微分控制可以增大系統(tǒng)的阻尼，使階躍響應(yīng)的超調(diào)量下降，調(diào)節(jié)時間縮短，且不影響常值穩(wěn)態(tài)誤差及系統(tǒng)的自然頻率.由于采用微分控制后，允許選取較高的開環(huán)增益，因此在保證一定的動態(tài)性能條件下，可以減小穩(wěn)態(tài)誤差，但是微分控制器只對動態(tài)過程起作用，而對穩(wěn)態(tài)過程沒有影響，且對系統(tǒng)噪聲非常敏感，所以，單一的D控制器在任何情況下都不宜與被控對象串聯(lián)起來單獨使用；而I控制器可提高系統(tǒng)的型別，有利于系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的提高，但積分控制使系統(tǒng)增加了一個位于原點的開環(huán)極點，使信號產(chǎn)生了900的相角遲后，于系統(tǒng)穩(wěn)定性不利，因此，在控制系統(tǒng)的校正設(shè)計中，通常不宜采用單一的I控制器.所以系統(tǒng)采用了PID控制器，達到了系統(tǒng)的控制要求.

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TP273+.4

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1673-260X（2013）01-0031-03