關(guān)于積分第二中值定理介值點(diǎn)的討論

楊大勇

（隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅慶陽(yáng)745000）

關(guān)于積分第二中值定理介值點(diǎn)的討論

楊大勇

（隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅慶陽(yáng)745000）

該文論述了第二積分中值定理中的介值點(diǎn)ξ在開區(qū)間(a,b)內(nèi)能夠取得的條件.

連續(xù)；可積；積分中值定理；介值點(diǎn)

定理1[1,2]設(shè)函數(shù)g在[a,b]上可積,此時(shí)有如下三個(gè)命題:

⑴若函數(shù)f在[a,b]上非負(fù),遞減,則?ξ1∈[a,b],使得

⑵若函數(shù)f在[a,b]上非負(fù),遞增,則?ξ2∈[a,b],使得

⑶若函數(shù)f在[a,b]上單調(diào),則?ξ∈[a,b].使得

那么此定理中的ξ1,ξ2,ξ能否在開區(qū)間(a,b)內(nèi)取得呢？假如,設(shè)

如果在定理中的⑴中加上一個(gè)非常一般化的條件,那么一定能在開區(qū)間(a,b)內(nèi)取得.

定理2設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上非負(fù),遞減,f(a+0) -f(b-0)>0,函數(shù)g在[a,b]上可積,則ξ∈[a,b],

證明由定理5的⑴可知,?c∈[a,b],使得

如果c∈(a,b),取ξ=c,定理6便已獲證.

當(dāng)m=M時(shí)或m

設(shè)T={x0,x1,x2,…,xn}是[a,b]的任一劃分,記

令|f(x)|≤L.(a≤x≤b),ωk為g(x)在[xk-1,xk]上的振幅,于是

由定積分存在的充要條件可知,當(dāng)λ(T)→0時(shí),

以下證明當(dāng)mm,f(a+0)-f(b-0)>0,所以?b1,使得a0.

設(shè)a1與b1是T的兩個(gè)分點(diǎn),并記a1=xn1,b1=xn2,由Abel變換得

這與矛盾,這表明?ξ∈(a,b),使得G(ξ)=m.

同理可證,當(dāng)m

〔1〕華東師大數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.217—223.

〔2〕趙顯曾.數(shù)學(xué)分析拾遺[M].南京:東南大學(xué)出版社,2001.21—27.

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A

1673-260X（2013）01-0015-02