淺談取絕對值函數(shù)的可微性

王金

[摘要]探討了數(shù)學分析中關(guān)于取絕對值函數(shù)的求導問題，提出了判斷絕對值函數(shù)導數(shù)的存在性以及求導的直接法，并將此法由一元推廣到多元，給出了兩類特殊函數(shù)求導的公式解。

[關(guān)鍵詞]絕對值函數(shù) 可微性 導數(shù) 偏導數(shù)

一、前言

對于取絕對值函數(shù)的求導問題，在通常情況下，只能通過其定義求解，而下面給出的結(jié)論能夠更全面、更簡單的解決取絕對值函數(shù)的求導問題。

二、取絕對值的一元函數(shù)的求導問題

命題1：

若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可微，P0（x0）在（a，b）內(nèi)，則有：

1）當f（x0）≠0時

2）當f（x0）=0時

存在的充分且必要條件是：

若f（x0）= 0， 那么 =0. 【1】

證明：

1） 因為f（x0）≠0，不妨設(shè)f（x0）>0，則由可微必連續(xù)的性質(zhì)，

存在U（x0，δ），在U（x0，δ）內(nèi)f（x）>0，從而在U（x0，δ）內(nèi)，|f（x）|=f（x）

由導數(shù)概念的局部性可知：

即（1）式成立

2）當f（x0）=0時

從而可知，當且僅當f`（x0）=0時， 存在，

顯然 即2）式成立。

所以命題得證。

這個命題不僅提供了判斷導數(shù)存在的方法，而且還給出了導數(shù)的求解方法，我們估且稱此法為直接法。下面看幾個簡單的例子：

例1： 已知g（x）=|f（x）|=|x|，求g`（x）.

解： 1） 當x≠0時， f（x）=x=0

由命題1有：

2） 當x=0時， f（x）=x=0

∵f`（x）|x=0=1≠0

∴g（x）在x=0處不可導。

所以

看下面幾個有關(guān)特殊函數(shù)的定理：

定理1：

如果y=ln|x|，則 . 【2】

證明： 由y=ln|x|可知，x≠0.

令u=|x|， ∴y=lnu， 由例1可知，

， 所以命題得證。

定理1：如果y=ln|ax|，a∈R則

讀者可自行證明該定理。

由此可見，此類函數(shù)的求導結(jié)果與絕對值函數(shù)的系數(shù)沒有關(guān)系。

定理2：

如果 （pφ0），則 .

所以命題得證.

例2： 已知g（x）=|f（x）|=|cos（x）|， 求g`（x）.

解： 1） 當f（x）≠0時，

即 ， k≠0，±1，±2，…

因此我們有：

2） 當f（x）=cosx=0時， 即

∴g（x）在 ， 時不可導.

所以

例3： 求極限 ， （a≠0，b≠0） 【1】

解： ，當x∈p（0，δ）時，使x≠0，sinax≠0且sinbx≠0

當x∈p（0，δ） 時，x≠0， 均存在，

因此可利用羅比塔法則：

三、取絕對值的多元函數(shù)的求導問題

命題2：

若函數(shù)f（x1，x2，…，xn）在領(lǐng)域D內(nèi)可微， 且n≥2

， 則有：

1） 當 時，有：

2） 當 時，

存在的充分必要條件是：

證明：

1） 若 ，不妨設(shè) ，

則有可微必連續(xù)，有： ，在u（p0，δ）內(nèi)，f（x1，x2，…，xn）>0，

從而在u（p0，δ）內(nèi)|f（x1，x2，…，xn）|=f（x1，x2，…，xn）.

由偏導數(shù)概念的局部性有：

所以1）式成立.

2） 若 ，

即2）式成立.

因此命題得證.

例4： 已知g（x1，x2）=|f（x1，x2）|=|a1x1+a2x2|，求 ，其中αi∈R，i=1，2.

解：1）：當a1x1+a2x2=f（x1，x2）≠0時，由命題2有：

因此函數(shù)g（x1，x2）在a1x1+a2x2=0處不可導.

例5：如果

解：令u=|a1x1+a2x2|，則y=lnu，顯然u≠0，由例4可得

由此可得到一個簡單的推論：

推論1：

于是命題得證.

例6： 如果函數(shù)

所以命題得證.

根據(jù)例6容易得到下面的推論：

推論2：

證明： （略）

四、命題說明

⑴對于絕對值函數(shù)的端點的可導性可用左、右導數(shù)的定義進行討論。

⑵將定理2中絕對值函數(shù)系數(shù)推廣到不為零的任意實數(shù)，即如果 那么 其中0≠a∈R該結(jié)論與前面幾個結(jié)論相比，不具有特殊性，因此在原文中沒有寫入。

[參考文獻]

[1]馬金鳳、劉文昱，《關(guān)于取絕對值函數(shù)可微性的討論》，兵團教育學院學報，2001年，第三期，63-64。

[2]（蘇）N·PISKUNOV著，鄧本讓等譯，微分與積分學（上），吉林人民出版社，1983，96。

[3]方企勤，多元函數(shù)微分學，上?？茖W技術(shù)出版社，1980，19-65。

[4]華東師大數(shù)學系，數(shù)學分析（上、下），高等教育出版社，2000年（上）110-170，（下）121-166。

（作者單位：天祝藏族自治縣第二中學 甘肅天祝）