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    兩個變系數非線性Schr?dinger 的精確解

    2013-07-10 04:53:14黃彥輝張金良魏鵬波
    關鍵詞:橢圓型孤子二階

    黃彥輝,張金良,魏鵬波

    (河南科技大學數學與統計學院,河南洛陽471023)

    0 引言

    變系數非線性Schr?dinger 方程

    當考慮到色散系數、非線性參數和增益系數為z 函數時,方程(1)是光通訊中非常重要的模型。文獻[1]利用變系數F-展開法導出了方程(1)的Jacobi 橢圓函數解;文獻[2]從可積的觀點,基于Lax 對得到了Darboux 變換,借助于該變換,導出了方程(1)的精確多孤子解,并由此得到了顯式單孤子解和二孤子解。文獻[3]先預設解形式,直接代入方程(1),得到方程的顯式精確解;文獻[4]利用變分法,得到了方程(1)的顯式解析近似解;借助于Lie 群約化方法,文獻[5]導出了方程(1)的精確解。

    本文考慮的另一個變系數非線性Schr?dinger 方程為:

    其中,φ(z,t)為電場的復包絡;α1(z)、α2(z)、α3(z)、α4(z)和α5(z)分別為二階色散、非線性Kerr 效應引起的自相位調制、自陡崤和自頻移參數;Γ(z)為增益參數。由于有著廣泛的應用,方程(2)已引起眾多學者的關注。文獻[6 -10]研究了方程(2),得到了顯式亮孤子解、暗孤子解。文獻[11]利用擴展的tanh-展開法,在參數滿足一定的條件下得到了擬亮孤子解、暗孤子解。文獻[12]借助于輔助橢圓型方程,導出了方程(1)和方程(2)的精確解。

    本文利用齊次平衡原則[13-16]及二階線性輔助常微分方程,求出輔助橢圓型方程的精確解,借助于輔助橢圓型方程,導出了兩個變系數非線性Schr?dinger 方程(1)和方程(2)的精確解。

    1 輔助橢圓型方程的精確解

    考慮

    依據齊次平衡原則,設輔助橢圓型方程(3)的精確解形如下:

    其中,d-1和d1為待定常數;G = G(ξ)滿足二階輔助常微分方程:

    其中,μ 為待定常數。

    將式(4)代入式(3)并利用式(5),得方程(3)的精確解如下。

    情形1 A >0,B <0。

    情形2 A <0,B <0。

    情形3 A = 0,B <0。

    2 方程(1)和方程(2)的精確解

    由文獻[12]知,方程(1)的精確解表示為:

    方程(1)中的系數α(z)、β(z)和γ(z)滿足

    其中,D0、D1、A 和B 為常數;φ(ξ)滿足輔助方程(3)。

    借助于輔助方程(3)的解,可得方程(1)的精確解,表示為:

    情形1 A >0,B <0。

    情形2 A <0,B <0。

    情形3 A = 0,B <0。

    由文獻[12]知,方程(2)的精確解可分為兩種情況:(Ⅰ)α1(z)+ 3κα3(z)≠0;(Ⅱ)α1(z)+3κα3(z)= 0。

    對于以上兩種情況,方程(2)的精確解可借助于輔助方程(3)的解導出,為了簡潔起見,本文不再一一列出。

    3 結論與分析

    本文用二階線性常微分方程導出了輔助橢圓型方程的精確解,然后,借助于該輔助橢圓型方程推導出了兩個變系數NLS 類方程的解以及相應的約束條件,和文獻[3,10]中的算法相比,本文的計算方法更簡潔、直接。

    [1] Zhang J F,Dai C Q,Yang Q,et al.Variable-coefficient F-expansion Method and Its Application to Nonlinear Schr?dinger Equation[J].Optics Communications,2005,252:408 -421.

    [2] Hao R Y,Li L,Li Z H,et al. A New Approach to Exact Soliton Solutions and Soliton Interaction for the Nonlinear Schrodinger Equation with Variable Coefficients[J].Optics Communications,2004,236:79 -86.

    [3] 張善卿,李志斌.一類變系數非線性Schr?dinger 方程的精確解析解[J].華東師范大學學報,2003(2):32 -35.

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    [6] Hao R Y,Li L,Li Z H,et al. A New Way to Exact Quasi-soliton Solutions and Soliton Interaction for the Cubic-quintic Nonlinear Schr?dinger Equation with Variable Coefficients[J].Optics Communications,2005,245(1/6):383 -390.

    [7] Yang R C,Hao R Y,Li L,et al. Dark Soliton Solution for Higher-order Nonlinear Schrodinger Equation with Variable Coefficients[J].Optics Communications,2004,242(1/3):285 -293.

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    [10] Yang R C,Hao R U,Li L,et al. Dark Soliton Solution for Higher-order Nonlinear Schrodinger Equation with Variable Coefficients[J].Optics Communications,2004,242:285 -293.

    [11] Zhang J F,Yang Q,Dai C Q. Optical Quasi-soliton Solutions for Higher-order Nonlinear Schr?dinger Equation with Variable Coefficients[J].Optics Communications,2005,248:257 -265.

    [12] Zhang J L,Li B A,Wang M L.The Exact Solutions and the Relevant Constraint Conditions for Two Nonlinear Schr?dinger Equations with Variable Coefficients[J].Chaos,Solitons and Fractal,2009,39:858 -865.

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    [14] Wang M L,Zhou Y B,Li Z B.Application of a Homogeneous Balance Method to Exact Solutions of Nonlinear Equations in Mathematical Physics[J].Physics Letters A,1996,216:67 -75.

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    [16] 王明亮,李志斌,周宇斌.齊次平衡原則及其應用[J].蘭州大學學報,1999,35(3):8 -16.

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