非線性振動系統(tǒng)的混沌研究

崔曉光

0.引言

非線性動力學中的復雜性現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)及分岔和混沌理論的建立，被認為是當代的基礎科學的重大成就之一，它使非線性科學有了可靠的理論保證，并激勵眾多的自然科學、工程學和數(shù)學工作者深入探索和研究。今天非線性科學正促使整個現(xiàn)代知識體系成為新科學，而動力系統(tǒng)、分岔、混沌和奇異性理論方法的發(fā)展也已超越原來數(shù)學的邊界，廣泛應用于振動、自動控制、系統(tǒng)工程、機械工程等部門非線性問題的研究，并且對經(jīng)典力學、物理學、固體力學、流體力學、化學工程、生態(tài)學和生物醫(yī)藥，乃至一些社會科學部門的研究和發(fā)展都產(chǎn)生了深遠影響。同時，科學世界的進一步深化反過來又促進非線性動力學數(shù)學理論的縱深發(fā)展。

混沌理論為研究自然界各種復雜現(xiàn)象提供了有效的途徑，它構(gòu)成了非線性動力學近代理論的基本內(nèi)容之一。

1.研究混沌的主要非線性方法

1.1時間序列分析和相圖法

由微分動力系統(tǒng)的定義可知一個微分系統(tǒng)的解沿著時間的方向定義了一條解曲線，即它表示了動力系統(tǒng)的狀態(tài)變量隨時間的歷程。相圖是系統(tǒng)的解在維相空間中描出的曲線，此曲線稱為相軌跡。

畫出了時間歷程圖和相圖后，可以通過對比分析和綜合以確定解的分岔和混沌現(xiàn)象。在相空間中，周期運動對應封閉曲線，混沌運動對應一定區(qū)域內(nèi)隨機分布的永不封閉的軌跡（奇怪吸引子）。但當動力系統(tǒng)的相空間的維數(shù)超過2或運動很復雜時，相軌跡可能混亂一片，很難看出規(guī)律和頭緒，這是它的局限性。

1.2龐加萊截面法

法國數(shù)學家H. Poincaré利用幾何的觀點，對非線性動力學系統(tǒng)進行了深入的研究，總結(jié)出了該方法。

定義1：Poincaré映射

其中，τ=τ（q）是經(jīng)q點的軌線首次回到所需的時間（一般而言， τ依賴于q，但不一定等于閉軌γ的周期T=T（p） ，但是當q→p 時，將有τ→T）。稱為Poincaré截面，整個過程如圖所示。

顯然，p點為Poincaré映射的一個不動點"同時，由Poincaré映射的定義可知， Poincaré映射可由微分方程的通解求得。

當系統(tǒng)的運動為極限環(huán)運動時，在Poincaré截面上簡化為一個不動點；當系統(tǒng)運動為周期運動時，在Poincaré截面上簡化為n個點（稱為周期n運動）；當系統(tǒng)的運動為準周期運動時，在Poincaré截面上則為沿一條直線段或一條曲線弧分布著的點的集合。因此Poincaré映射可用來判斷一個系統(tǒng)是否為混沌系統(tǒng)。顯然，它是一種比較直觀的方法。這種方法對于判斷一個三維非線性自治系統(tǒng)是否具有二維環(huán)面（對應的是準周期運動）特別有效，但是這種方法也有缺陷，不能很好的判斷一個更為復雜的混沌系統(tǒng)究竟是否是混沌或準周期運動。

定義2： 頻閃采樣法

為了避免復雜運動在相空間中軌跡的混亂不清，類似龐加萊截面法，可以只限于觀察隔一定時間間隔（稱采樣周期）在相空間的代表點。即不管連續(xù)運動的軌跡如何，用隔一定時間閃光一次的頻閃（觀察）法觀察軌跡上的一部分代表點（稱為采樣點）。這樣原來在相空間的連續(xù)運動就被一系列離散點p0、p1、p2、...所代表。

在通常情況下，變量總是取有限值，從而采樣點是在一定區(qū)域內(nèi)的一片密集點。如果采樣點足夠多，不斷加大分辨力，可得到不斷重復原分布形態(tài)的微細幾何結(jié)構(gòu)。這表明吸引子有不同層次的自相似結(jié)構(gòu)，從而系統(tǒng)的運動是混沌。

1.3重構(gòu)相空間法

重構(gòu)相空間法的目的是使一個時間序列在一個合適的空間坐標系中能顯示出混沌吸引子的結(jié)構(gòu)。判斷混沌運動的可靠方法之一是構(gòu)造相圖， 尋求奇異吸引子。

假設從實驗中測得一個數(shù)值序列x，x，...x，...， 其中x是第i時刻測量得到的試驗值，由于此數(shù)據(jù)序列是按時間序列進行測量得到，所以稱為時間序列。因為不知道實際的相空間的維數(shù)是多少，我們先用測得的這些數(shù)據(jù)支起一個m維空間?，F(xiàn)在重新回到m維嵌入空間上來。構(gòu)造維空間的方法很多，這里僅介紹一種較為直觀且有效的方法。如取m=10，把x，x，...，x，...x 。作為10維空間中的一個矢量y1，然后，右移一步，把x，x，...，x，...x作為維空間中的第二個矢量y2。繼續(xù)如上的步驟，構(gòu)造出一批矢量y，y，...，y。任意兩矢量之間差的絕對值r=

y

-y為矢量yi，yj端點間的距離。任意給出一個數(shù)ε，然后與所有的點對（y，y）間距離rij相比較，看有多少個r小于ε，其數(shù)目記為N1（ε），而rij>ε的數(shù)目記為N2（ε）。若令N（ε）=N（ε）+N（ε） ，把距離小于ε的點對在所有的點對中占的比例記為C（ε），即C（ε）= 。以上整個計算過程可以利用計算機來完成。

1.4功率譜分析方法

功率譜表示隨機運動過程在各頻率成分上的統(tǒng)計特性，可以采用標準程序軟件計算或?qū)Ｓ玫念l譜分析儀器測定其功率譜。為描述混沌振動的隨機性，可以應用研究隨機振動的頻譜分析方法識別混沌運動。通常假設混沌是各態(tài)歷經(jīng)的，即時間上的平均量與空間上的平均量相等。

在許多實際問題中，人們往往只能觀測到如下的離散事件序列

由于它反映了實際非線性動力系統(tǒng)的運動狀態(tài)，而吸引子正是這種狀態(tài)的歸宿，因此吸引子的信息就包含在這一時間序列當中。從實驗中可以直接測量的對象就是時間序列分析的功率譜。

對于隨機信號的樣本函數(shù)，對xi進行傅立葉變換。

對n個采樣值加上周期條X=x ，可計算時間序xj的自相關函數(shù)Φm=xx ，自相關函數(shù)的傅立葉變換就是功率譜：

式中，S說明第k個頻率分量對xj的貢獻，其意義代表單位頻率上的能量。

從時間序列上分析了非線性動力系統(tǒng)的波動狀態(tài)后，就可以很容易地從功率譜上區(qū)分出周期函數(shù)、擬周期函數(shù)和非周期函數(shù)。

2.總結(jié)

本文簡要地介紹了分岔和混沌的理論，其本質(zhì)和研究的內(nèi)容，以實例重點介紹了非線性時間序列分析的方法和應用。