基于GA理論的Volterra核辨識(shí)的多音激勵(lì)設(shè)計(jì)

韓海濤，譚力寧，馬紅光，朱曉菲，楊東東

（1.第二炮兵工程大學(xué)701教研室，陜西 西安 710025；2.第二炮兵工程大學(xué)101教研室，陜西 西安 710025）

0 引 言

Volterra級(jí)數(shù)是非線性系統(tǒng)建模的重要工具，其Volterra核辨識(shí)是一個(gè)復(fù)雜和困難的問題［1］。Volterra核辨識(shí)對(duì)激勵(lì)信號(hào)選擇有嚴(yán)格的要求，如果激勵(lì)信號(hào)選擇不當(dāng)則激發(fā)不出系統(tǒng)的特征，不能準(zhǔn)確地對(duì)Volterra核進(jìn)行辨識(shí)。傳統(tǒng)Volterra核辨識(shí)方法往往采用高斯白噪聲作為系統(tǒng)激勵(lì)，通過時(shí)域自適應(yīng)學(xué)習(xí)的方法來辨識(shí)Volterra核，這種方法存在的問題是，首先是產(chǎn)生高斯白噪聲激勵(lì)對(duì)設(shè)備硬件要求比較高，其次辨識(shí)出的核是局部有效的［2］?；诙嘁艏?lì)法的系統(tǒng)辨識(shí)為Volterra核辨識(shí)提供了一條便捷方法，然而該方法對(duì)多音激勵(lì)信號(hào)的頻域成分的選擇以及相位都有的要求。文獻(xiàn)［3］僅從頻率成分的選擇方面進(jìn)行了論述，然而多音激勵(lì)信號(hào)的相位也是一個(gè)必須考慮的重要因素，本文擬加入相位因素考慮多音激勵(lì)信號(hào)的設(shè)計(jì)問題。

多音激勵(lì)信號(hào)可以很好地激發(fā)出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，是一種廣泛使用的測(cè)試激勵(lì)信號(hào)［4－7］。多音信號(hào)是由在一定頻帶范圍內(nèi)的多個(gè)正弦信號(hào)疊加產(chǎn)生。但如果沒有合理的選擇相位，多個(gè)正弦信號(hào)的疊加會(huì)造成多音信號(hào)在時(shí)域上出現(xiàn)很強(qiáng)的波峰，這種現(xiàn)象的出現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)測(cè)試是不利的，一是系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)信號(hào)的幅度有限制要求，如果波峰超過系統(tǒng)的響應(yīng)范圍可能會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生損傷以至于破壞系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，還有可能人為的引入一些非線性因素；二是使系統(tǒng)的信噪比SNR（signal－to－noise ratio）下降，使測(cè)試容易受測(cè)量誤差的影響。測(cè)試過程中對(duì)于干擾噪聲的敏感性與測(cè)試信號(hào)的SNR 成反比［8］，因此提高測(cè)試信號(hào)的SNR 是提高測(cè)量精度的有效手段。波峰因子CF（crest factor）是衡量多音激勵(lì)信號(hào)性能的一個(gè)重要指標(biāo)，CF 越大說明多音激勵(lì)信號(hào)的波峰就越明顯。降低多音激勵(lì)信號(hào)的CF 可顯著提高信號(hào)的SNR，在不改變多音激勵(lì)信號(hào)頻譜特征的情況下如何降低多音激勵(lì)信號(hào)的CF 是多音激勵(lì)信號(hào)設(shè)計(jì)中面臨關(guān)鍵的問題。目前這一問題還沒有得到有效解決，是國(guó)內(nèi)外學(xué)者共同探討一個(gè)熱點(diǎn)問題［8－13］。

文獻(xiàn)［8］基于無窮范數(shù)提出了一種構(gòu)造多音激勵(lì)信號(hào)相位的方法，可以有效降低CF；文獻(xiàn)［9］依據(jù)多音激勵(lì)信號(hào)中每個(gè)頻率成分的功率，選定該頻率成分的相位及持續(xù)的時(shí)間，然后將多個(gè)時(shí)間段的信號(hào)疊加來構(gòu)造多音激勵(lì)信號(hào)，在一定程度降低了CF；文獻(xiàn)［10］提出了一種時(shí)頻域結(jié)合的方法來進(jìn)行多音激勵(lì)信號(hào)相位的選取，該方法首先從頻域上構(gòu)造多音激勵(lì)信號(hào)的頻譜，選定多音信號(hào)的頻率成分及初始相位，其次對(duì)構(gòu)造出來的信號(hào)頻譜求反傅里葉變換得到時(shí)域信號(hào)，然后對(duì)時(shí)域中出現(xiàn)的波峰進(jìn)行裁剪，并對(duì)裁剪后信號(hào)作傅里葉變換，校正多音激勵(lì)信號(hào)的幅度及相位，以此達(dá)到降低多音激勵(lì)信號(hào)CF的目的；文獻(xiàn)［11］采用了多相互補(bǔ)碼對(duì)的方法研究了多音信號(hào)峰值因子的減少作用；文獻(xiàn)［12－13］將多音激勵(lì)信號(hào)相位的選擇看成一個(gè)求解最優(yōu)化問題，采用隨機(jī)嘗試法和遺傳算法來解決該問題，獲得比較理想的實(shí)驗(yàn)效果。然而目前存在的方法使CF 降低的同時(shí)，使多音激勵(lì)信號(hào)的功率譜有所失真不利于系統(tǒng)辨識(shí)。本文以Volterra核辨識(shí)的多音激勵(lì)設(shè)計(jì)為目的，從多音激勵(lì)信號(hào)的頻率成分和相位兩個(gè)因素考慮，采用優(yōu)化遺傳算法方法解決多音激勵(lì)信號(hào)的相位選擇問題，經(jīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證該方法可以有效降低多音激勵(lì)信號(hào)的CF，保證信號(hào)的功率譜不失真。

1 問題描述

1.1 Volterra級(jí)數(shù)

對(duì)于任意連續(xù)的時(shí)不變?nèi)醴蔷€性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，可以用N階Volterra級(jí)數(shù)近似描述

式中：yn（t）——系統(tǒng)的第n階輸出響應(yīng)，hn（τ1，τ2，…，τn）——第n階Volterra時(shí)域核，或稱廣義脈沖響應(yīng)函數(shù)。hn（τ1，τ2，…，τn）的多維傅立葉變換為

Hn（ω1，ω2，…，ωn）稱為非線性系統(tǒng)的第n 階Volterra頻域核，或稱為第n階廣義頻率響應(yīng)函數(shù)GFRF（Generalized Frequency Response Function）

1.2 多音激勵(lì)信號(hào)設(shè)計(jì)的約束條件

K 音的多音激勵(lì)信號(hào)可用式（4）表示

式中：Yn（jωM）——yn（t）的傅里葉變換中頻率成為ωM的分量，φ（ωM）——Hn（ω1，ω2，…，ωn）的相位，angle——提取相位的函數(shù)。

波峰因子CF 定義為

Volterra核辨識(shí)的多音激勵(lì)信號(hào)必須要滿足兩個(gè)條件，如式（8），條件一是同一階核對(duì)應(yīng)輸出的頻率成分沒有重復(fù)，條件二是θi在0到π選取合適的值以使CF 最小

2 多音激勵(lì)設(shè)計(jì)

關(guān)于Volterra核辨識(shí)多音激勵(lì)信號(hào)頻率成分的選擇問題，已經(jīng)在文獻(xiàn)［3］中進(jìn)行了論述，本節(jié)主要針對(duì)多音激勵(lì)的相位的選取問題進(jìn)行討論。Schroeder法［9］是最早提出的降低多音激勵(lì)信號(hào)波峰因子的方法，后來的改進(jìn)方法都是按此方法的思路進(jìn)行設(shè)計(jì)。

2.1 Schroeder法

Schroeder法是一種有效的多音激勵(lì)信號(hào)相位的選取方法，可以使CF 得到很大幅度地降低，設(shè)計(jì)出來信號(hào)如式（9）所示

式中：T——周期，N——多音激勵(lì)信號(hào)r（t）頻率成分的個(gè)數(shù)，tk可按式（11）計(jì)算

那么r（t）瞬時(shí)相位為

由式（10）和r（t）的連續(xù)性可得

可以看出Schroeder法的特點(diǎn)是對(duì)多音激勵(lì)的頻率和幅度都有確定要求，即頻率和幅度不能隨意選取。這一特點(diǎn)也是該方法的缺陷，顯然通過這種方式設(shè)計(jì)的多音信號(hào)不能用于Volterra頻域核辨識(shí)。

2.2 基于遺傳算法的多音激勵(lì)信號(hào)設(shè)計(jì)

2.2.1 遺傳算法

遺傳算法（genetic algorithm，GA）是將生物學(xué)的遺傳進(jìn)化原理和最優(yōu)化技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)生，它以自然選擇和遺傳理論為基礎(chǔ)，將生物進(jìn)化過程中適者生存規(guī)則與群體內(nèi)部的染色體的隨機(jī)信息交換相結(jié)合的高效全局尋優(yōu)搜索算法［14］。GA 將待解決問題的參數(shù)按照一定規(guī)則編碼，由若干基因組成一個(gè)染色體，對(duì)群體進(jìn)行選擇、交叉和變異運(yùn)算，經(jīng)過多次重復(fù)迭代直至得到最后的優(yōu)化結(jié)果。遺傳算法需要解決以下問題：

一是編碼問題，即如何將待求解的問題用一定編碼規(guī)則來表達(dá)，這是GA 理論的基礎(chǔ)，基本的編碼形式有二進(jìn)制碼、格雷碼、浮點(diǎn)數(shù)碼、多參數(shù)級(jí)別聯(lián)編碼及多參數(shù)交叉編碼等，編碼應(yīng)滿足完備性、健全性和非冗余性等規(guī)范。二是選擇算子的實(shí)現(xiàn)問題，選擇算子是在群體中選擇生命力強(qiáng)（即適應(yīng)度高）的個(gè)體產(chǎn)生新群體的過程，這樣使群體中適應(yīng)度高的個(gè)體得到保留和發(fā)展，適應(yīng)度低的個(gè)體逐漸被淘汰。選擇算子應(yīng)恰當(dāng)，如果選擇不當(dāng)會(huì)導(dǎo)致算法早熟。三是交叉算子的實(shí)現(xiàn)問題，交叉算子是以較大的概率從群體中抽選兩個(gè)個(gè)體的染色體，交換染色體的某個(gè)或某些位，該算子決定了GA的全局搜索能力。交叉運(yùn)算包括交叉點(diǎn)位置的確定問題和部分基因交換的實(shí)現(xiàn)問題兩個(gè)方面的內(nèi)容。交叉運(yùn)算可分單點(diǎn)交叉、兩點(diǎn)交叉、多點(diǎn)交叉、均勻交叉與算術(shù)交叉。單點(diǎn)交叉與兩點(diǎn)交叉的實(shí)現(xiàn)如圖1所示。三是變異算子的實(shí)現(xiàn)問題，該算子是以一個(gè)小概率對(duì)個(gè)體染色體編碼串上的某個(gè)或某些位值進(jìn)行突然改變。變異是產(chǎn)生新個(gè)體的有效手段，其可以有效改善遺傳算法的局部搜索能力和維持群體的多樣性；四是是適應(yīng)度函數(shù)的實(shí)現(xiàn)問題，其適應(yīng)度決定個(gè)體遺傳到下一代的概率。適應(yīng)度函數(shù)是評(píng)價(jià)群體中各個(gè)個(gè)體在優(yōu)化算法中能達(dá)到或接近最優(yōu)解的優(yōu)良程度，其設(shè)計(jì)應(yīng)滿足單值、連續(xù)、非負(fù)、最大化、合理、一致性、計(jì)算量小及通用性強(qiáng)等原則。

此外還應(yīng)合理的選擇GA的控制參數(shù)如：群眾規(guī)模N、編碼長(zhǎng)度、交叉概率Pc和變異概率Pm等，這些控制參數(shù)的選擇決定著GA的性能。群體規(guī)模N的大小直接影響到遺傳算法的收斂性或計(jì)算效率，一般在10～200之間選取，交叉概率Pc一般取值范圍為0.4～0.99，變異概率Pm一般取值范圍為0.0001～0.1。

2.2.2 算法設(shè)計(jì)

基于多音激勵(lì)的非線性系統(tǒng)的Volterra核辨識(shí)，首先需要確定多音激勵(lì)信號(hào)的頻帶范圍，通常的做法是對(duì)待辨識(shí)的非線性系統(tǒng)進(jìn)行掃頻分析，確定系統(tǒng)有效頻率響應(yīng)范圍；其次在帶寬響應(yīng)范圍內(nèi)以同一階輸出頻率成分不重合作為選擇標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行頻率搜索，設(shè)搜索出的頻率成分組成的集合為WM；最后確定WM中每一個(gè)頻率分量的相位，使WM對(duì)應(yīng)多音激勵(lì)信號(hào)的CF 達(dá)到最小。

圖1 交叉運(yùn)算

以CF 最小化作為目標(biāo)函數(shù)，如果多音激勵(lì)含有K個(gè)頻率分量，那么可將CF 看成含有K個(gè)變量的函數(shù)，如式（7）所示，θi（i＝1，…，K）在0到π 之間取值使CF的取值最小。將變量θi按一定規(guī)則進(jìn)行編碼，形成一個(gè)基因，將K個(gè)基因組合在一體形成一個(gè)染色體。隨機(jī)生成一個(gè)種群，群體的規(guī)模為N，該群體按照選擇、交叉、變異等運(yùn)算進(jìn)行進(jìn)化，該流程可用圖2表示。

圖2 遺傳算法實(shí)現(xiàn)流程

基于Volterra 核的多音激勵(lì)信號(hào)設(shè)計(jì)可按以下步驟實(shí)現(xiàn)：

步驟1 對(duì)待測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行掃頻分析確定有效頻率響應(yīng)范圍B，在B 內(nèi)通過文獻(xiàn)［3］提出的方法搜索多音激勵(lì)信號(hào)的頻率成分，頻率成分組成的集合為WM，如果WM頻率成分的個(gè)數(shù)為K，確定式（7）中變量的個(gè)數(shù)為K，轉(zhuǎn)到步驟2；

步驟2 確定遺傳算法的控制參數(shù)，如群眾規(guī)模N、編碼規(guī)則、交叉概率Pc和變異概率Pm，轉(zhuǎn)到步驟3；

步驟3 初始種群由式（7）中每個(gè)變量在0到π 之間隨機(jī)取值產(chǎn)生。后面種群的規(guī)模和個(gè)體差異均由進(jìn)化規(guī)律決定，轉(zhuǎn)到步驟4；

步驟4 以式（8）中條件二作為目標(biāo)函數(shù)，對(duì)種群進(jìn)行適應(yīng)度評(píng)價(jià)。按編碼規(guī)范進(jìn)行編碼，對(duì)種群中每個(gè)個(gè)體進(jìn)行編碼，多個(gè)變量對(duì)應(yīng)的編碼組合形成染色體；

步驟5 根據(jù)每個(gè)個(gè)體適應(yīng)度，對(duì)種群進(jìn)行選擇操作。為了提高整體和局部搜索能力，分別對(duì)群體進(jìn)行交叉和變異操作，轉(zhuǎn)到步驟6；

步驟6 算法進(jìn)化是否滿足收斂條件，或者進(jìn)化次數(shù)是否滿足設(shè)定的次數(shù)，如果滿足條件則輸出結(jié)果，反之轉(zhuǎn)到步驟3。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

通過兩次實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文提出的方法，實(shí)驗(yàn)一為仿真實(shí)驗(yàn)，和文獻(xiàn)［3］提出的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了對(duì)比；實(shí)驗(yàn)二是通過對(duì)一非線性模擬電路的多音激勵(lì)信號(hào)進(jìn)行設(shè)計(jì)，驗(yàn)證提出方法的有效性。

實(shí)驗(yàn)1Schroeder法設(shè)計(jì)的多音激勵(lì)信號(hào)如式（9）所示，假設(shè)有16個(gè)諧波分量，如式（14）所示

如果將θk都設(shè)為0，得到多音激勵(lì)信號(hào)和功率譜如圖3所示，從圖3（a）中可以看出相位為0時(shí)，激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生尖峰很大，達(dá)到2.5V，經(jīng)計(jì)算CF為5.101；采用Schroeder法，按照式（13）選擇θk，得到信號(hào)和其功率譜如圖4所示，從圖4（a）中可以看出激勵(lì)信號(hào)平滑，產(chǎn)生的波峰比較小，CF為1.620，但從圖4（b）中可以看出，與圖3（b）比較，Schroeder法設(shè)計(jì)出多音激勵(lì)信號(hào)功率譜失真嚴(yán)重；如果采用本文提出的遺傳算法得到的結(jié)果如圖5所示，從圖5（a）可以看出產(chǎn)生的多音激勵(lì)信號(hào)沒有產(chǎn)生很強(qiáng)波峰，信號(hào)比較平滑，CF為1.247，圖5（b）與圖3（a）相比較可以功率譜幾乎沒有失真。從而可以看出本文提出的方法在降低CF的同時(shí)，信號(hào)功率譜沒有失真，從而驗(yàn)證了該方法的有效性。

實(shí)驗(yàn)2 圖6為一非線性模擬電路，u為輸入激勵(lì)信號(hào)，流過R1電流為i1，流過R2的電流為i2，由于R2與C1并聯(lián)，它們兩端的電壓同為u1，u1為系統(tǒng)輸出，非線性電阻R2的伏安特性為：i2＝0.001（u1＋5u12），電路對(duì)u 幅度要求為5V。

圖5 遺傳算法設(shè)計(jì)多音激勵(lì)信號(hào)及其功率譜

圖6 非線性模擬電路

采用文獻(xiàn)［3］提出的方法設(shè)計(jì)出多音激勵(lì)信號(hào)的頻率，結(jié)果為WM＝｛11，511，1013，1517，2025，2553，3093｝Hz，WM中每個(gè)頻率分量幅度選為1，采用本文提出方法進(jìn)行相位選擇，優(yōu)化出的相位為｛－1.693，－3.008，2.548，0.744，－0.456，0.277，－3.086｝rad，未經(jīng)優(yōu)化的激勵(lì)信號(hào)如圖7（a）所示，其幅度已經(jīng)超過5V，對(duì)應(yīng)的CF為3.300，優(yōu)化過的激勵(lì)信號(hào)如圖7（b）所示，幅度控制在了4幅度以內(nèi)，對(duì)應(yīng)的CF為2.133。

4 結(jié)束語

從系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)辨識(shí)Volterra核，辨識(shí)結(jié)果的準(zhǔn)確度依賴于激勵(lì)信號(hào)的選擇。多音激勵(lì)下的Volterra核辨識(shí)是一種簡(jiǎn)單易行的方法，然而關(guān)于多音激勵(lì)如何選擇問題，目前還沒有得到有效解決。本文在多音激勵(lì)信號(hào)頻率成分選擇的基礎(chǔ)上，提出一種基于遺傳算法的相位優(yōu)化方法，在保證多音激勵(lì)信號(hào)功率譜不失真的情況下可以有效的降低的波峰因子。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法的有效性。該方法可廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)辨識(shí)及動(dòng)態(tài)特性測(cè)試，具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

圖7 關(guān)于Volterra核辨識(shí)的多音激勵(lì)信號(hào)設(shè)計(jì)

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