基于最小二乘法的平面拋物線輪廓度的誤差評(píng)定

王海洋，雷賢卿，崔靜偉

（河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，洛陽(yáng) 471003）

0 引言

在工程應(yīng)用當(dāng)中，廣泛涉及到平面線輪廓如漸開(kāi)線、橢圓、拋物線、擺線和萁舌線的輪廓度測(cè)量、識(shí)別和誤差評(píng)定[1]。如在模式識(shí)別和計(jì)算機(jī)視覺(jué)中，圖形（圖像）數(shù)據(jù)的模型擬合和匹配是一項(xiàng)基本工作。CAD中在理論和實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常遇到二次曲線的擬合問(wèn)題[2]。在徑流式葉輪的設(shè)計(jì)和制造過(guò)程中，拋物線型葉片以其良好的氣動(dòng)性能、強(qiáng)度及工藝性被普遍采用[3]。在汽車制造業(yè)的深孔加工中拋物線型麻花鉆以其排屑流暢、剛性好、使用壽命長(zhǎng)代替了傳統(tǒng)的麻花鉆[4]。在數(shù)控系統(tǒng)加工零件過(guò)程中，拋物線輪廓的插補(bǔ)擬合算法的研究對(duì)提高擁有拋物線輪廓零件的精度有著很高的實(shí)用價(jià)值[5]。因此研究拋物線輪廓度誤差評(píng)價(jià)方法對(duì)保證拋物線型葉片及其他拋物線型零件的加工質(zhì)量和精度有著重要的意義。

關(guān)于拋物線的輪廓度誤差的評(píng)定，國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)尚未給出明確的定義和特定的評(píng)定算法求解拋物線輪廓度誤差，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者專門對(duì)拋物線的研究較少，比較有代表性的成果分為幾何距離擬合和代數(shù)距離擬合；幾何距離擬合由H.Sp?th在1996提出的用正交距離最小二乘法擬合拋物線[6]和Sung Joon Ahn在H.Sp?th的基礎(chǔ)上對(duì)橢圓、拋物線等二次曲線用正交距離的最小二乘法進(jìn)行擬合[7]；在代數(shù)距離擬合中，劉海香對(duì)二次曲線的最小二乘法擬合進(jìn)行了闡述和比較，指出在二次曲線擬合中拋物型的曲線較難擬合，拋物型曲線的曲率比較大，擬合出來(lái)的誤差曲線理想程度較差[2]。這些擬合方法對(duì)于拋物線誤差的評(píng)定都有一定的效果和借鑒作用。

本文通過(guò)平面任意位置的拋物線方程，拋物線法線方程和拋物線本身的性質(zhì)，利用最小二乘原理和約束條件實(shí)現(xiàn)對(duì)平面任意位置拋物線輪廓度誤差的評(píng)定。

1 最小二乘拋物線擬合

平面任意位置拋物線的表達(dá)式 F ( x ,y)用平面一般二次曲線方程表示較為合適。設(shè)平面拋物線方程為：

設(shè)Wi(xi,yi)(i=1,2,3...N)為拋物線上的N個(gè)測(cè)量點(diǎn)，根據(jù)最小二乘原理擬合的目標(biāo)函數(shù)為：

為使得F為最小，使：

由此可得矩陣方程：

解方程（4）會(huì)得出0解，為了得出A、B、C、D、E和F的值，需要對(duì)方程加限制條件。根據(jù)一般二次曲線的平面解析幾何知識(shí)，二元二次方程為拋物線時(shí)， 令H=A+C，則H都是在坐標(biāo)軸的平移和旋轉(zhuǎn)變換之下的變量[9]，在這里我們令A(yù)+C=1帶入到方程（4）中，便可以解出A、B、C、D、E和F的值，方程(1)中的六個(gè)系數(shù)與拋物線的位置參數(shù)(θ,xc,yc)及形狀參數(shù)p存在以下關(guān)系[7]：

由方程組（6）可以得到用最小二乘法擬合出的拋物線的四個(gè)參數(shù)。

2 計(jì)算各測(cè)量點(diǎn)到最小二乘拋物線的法向距離

圖1 平面拋物線及測(cè)量點(diǎn)與最小二乘拋物線關(guān)系圖

2.1 計(jì)算法向距離

如圖1所示，我們定義點(diǎn) ),(ii iYXM 為過(guò)拋物線外一點(diǎn) ),x(ii iyW 的拋物線法線與擬合拋物線的交點(diǎn)，由于交點(diǎn) ),(ii iYXM 既在法線上又在最小二乘拋物線[8]上，則點(diǎn) MXi,Yi)滿足方程組（7）：

表1 測(cè)量數(shù)據(jù)（mm）

求解非線性方程組（7）求出各個(gè)滿足條件的Mi( Xi,Yi)(i = 1 ,2,3...N)的值并帶入式（8）計(jì)算各個(gè)測(cè)量點(diǎn)到拋物線的法向距離 d ( i)。

2.2 判斷測(cè)量點(diǎn) W i位于最小二乘拋物線的內(nèi)外側(cè)

通過(guò)將測(cè)量點(diǎn)到拋物線的代數(shù)距離的正負(fù)來(lái)判斷測(cè)量點(diǎn)位于擬合曲線的內(nèi)測(cè)還是外側(cè)。

將測(cè)量點(diǎn) Wi( xi,yi)的值帶入到擬合曲線F(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F中。

當(dāng) F ( x ,y)＞0,則測(cè)量點(diǎn) Wi( xi,yi)在拋物線的外側(cè)； F ( x ,y)＜0,則測(cè)量點(diǎn) Wi( xi,yi)在拋物線的內(nèi)側(cè)。

拋物線輪廓度誤差是指實(shí)際被測(cè)輪廓線對(duì)其理想輪廓線的變動(dòng)量。則每一個(gè)測(cè)量點(diǎn)Wi(xi,yi)(i=1,2,3...N)到擬合最小二乘拋物線的法相距離為：

當(dāng)測(cè)量點(diǎn)位于最小二乘拋物線外側(cè)時(shí)， d( i)取正值；當(dāng)測(cè)量點(diǎn)位于最小二乘拋物線內(nèi)側(cè)時(shí)， d( i)取負(fù)值。

3 拋物線的誤差

拋物線輪廓度公差帶是與理想拋物線等距的兩個(gè)拋物線等距線之間的區(qū)域。也即理想拋物線外側(cè)測(cè)量點(diǎn)的最小法向距離中的最大值與拋物線內(nèi)側(cè)測(cè)量點(diǎn)的最小法向距離的最小值之間的距離：

4 實(shí)例驗(yàn)證

為了檢驗(yàn)算法的正確性和可靠性，用計(jì)算機(jī)模擬發(fā)生具有不同幾何位置的拋物線數(shù)據(jù)，用本算法對(duì)其進(jìn)行形狀誤差評(píng)定，本文采用matlab軟件編程計(jì)算，由于沒(méi)有已有的參考數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，所以在一組標(biāo)準(zhǔn)拋物線中加入測(cè)量誤差δ=±0.05m的數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，測(cè)量數(shù)據(jù)處理結(jié)果如表2所示。

表2 數(shù)據(jù)處理結(jié)果

5 結(jié)論

本文結(jié)合最小二乘原理，通過(guò)利用拋物線方程系數(shù)限制條件得到平面任意位置拋物線的擬合方程，并通過(guò)拋物線方程及拋物線法線方程特點(diǎn)，找到測(cè)量點(diǎn)沿法線方向到最小二乘拋物線的距離，實(shí)現(xiàn)對(duì)平面任意位置拋物線的最小二乘誤差評(píng)定；本文方法適用于平面二次曲線并且無(wú)需進(jìn)行坐標(biāo)變換。

[1] 李秀明,石朝耀.基于方程的橢圓輪廓度的評(píng)定[J].北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2009,(35):1303-1307.

[2] 劉海香.平面上散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)的二次曲線擬合[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào),2004,16(11):1594-1598.

[3] 龔本正.徑流式葉輪的設(shè)計(jì)方法[J].華中工學(xué)院學(xué)報(bào),1979:226-245.

[4] 張淑榮.拋物線麻花鉆的設(shè)計(jì)原理[J].工具技術(shù),2012,(5):80-81.

[5] 劉海濤.基于Matlab的拋物線等間距擬合法的誤差分析[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造,2010,4:221-222.

[6] H.Sp?th. Least-squares orthogonal distances fitting of parabolas,Computer.State.1996:261-269.

[7] Sung Joon Ahn. Least-squares orthogonal distances fitting of circle,sphere,ellipse,hyperbola,and parabola,Pattern Recognition,2001,34:2283-2303.

[8] 王宇華.橢圓輪廓的評(píng)定方法及其計(jì)算機(jī)模擬[J].佛山大學(xué)學(xué)報(bào),1992,10 (6):27-31.

[9] 丘維聲.解析幾何[M].北京:北京大學(xué)出版社,1996:161-168.