基于自動微分技術(shù)的VSC-HVDC潮流計算

季 聰，衛(wèi)志農(nóng)，孫國強，韋延方

（河海大學(xué)可再生能源發(fā)電技術(shù)教育部工程研究中心，南京 210098）

隨著新型電力電子器件的出現(xiàn)特別是全控型器件的發(fā)展，基于電壓源換流器VSC（voltage source converter）和脈寬調(diào)制PWM（pulse width modulation）控制技術(shù)的新一代高壓直流輸電——VSC-HVDC（voltage source converter based high voltage direct current）已經(jīng)成為現(xiàn)實。1997年投入運行的瑞典Hellsjon實驗性工程是世界上第一個采用VSC的直流輸電工程。此工程的意義在于，它首次實現(xiàn)VSC-HVDC技術(shù)的工程化應(yīng)用，使直流輸電進(jìn)入了一個新的發(fā)展階段，開創(chuàng)了直流輸電技術(shù)的新時代。我國第一條VSC-HVDC示范工程——上海南匯風(fēng)電站系統(tǒng)于2011年5月并網(wǎng)成功，整體投入試運行，標(biāo)志著我國具有自主知識產(chǎn)權(quán)的VSC-HVDC核心技術(shù)成功應(yīng)用于實際工程。作為新一代直流輸電技術(shù)，VSC-HVDC解決了常規(guī)直流輸電技術(shù)的許多固有技術(shù)瓶頸：它可以無需無功補償實現(xiàn)有功功率和無功功率的獨立控制；可以用于對無源系統(tǒng)供電，而無需電網(wǎng)短路電流的支撐換相；濾波容量小、占地面積小。因此VSC-HVDC成為近年來眾多學(xué)者研究的熱點[1-4]。

在含VSC-HVDC的交直流潮流計算[5-8]中，形成雅克比矩陣采用的是最直接的方法，即手工對功率不平衡函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行微分，然后編寫微分代碼。由于加入VSC-HVDC后系統(tǒng)變量增加，編寫代碼的過程變得繁瑣，工作量變大而且易于出錯，自動微分 AD（automatic differentiation）技術(shù)的出現(xiàn)克服了這個缺點。AD將微分定義為代數(shù)運算，它可以計算任意階微分。目前AD技術(shù)已經(jīng)在電力系統(tǒng)潮流計算，狀態(tài)估計及最優(yōu)潮流等方面得到了應(yīng)用[9-11]。

目前采用的統(tǒng)一迭代法（下稱統(tǒng)一法）求解交直流混合系統(tǒng)的潮流計算方法是在傳統(tǒng)潮流計算方法的基礎(chǔ)上擴(kuò)展形成的。該算法收斂性好，但對原有的純交流程序繼承性差，代碼編制工作量大，而采用AD可以很大程度上克服這些缺點，提高代碼編寫效率，縮短程序開發(fā)周期。

但AD的引入增加了計算時間，故本文提出了一種定雅克比矩陣的保留非線性方法，使調(diào)用AD產(chǎn)生的時間損失大大降低，同時該算法的計算量也遠(yuǎn)小于統(tǒng)一迭代法。

本文著重研究AD技術(shù)在含VSC-HVDC交直流潮流計算中的應(yīng)用。結(jié)合AD技術(shù)，將基于運算符重載的 ADOL-C（automatic differentiation by overLoading in C++）自動微分工具應(yīng)用于統(tǒng)一法交直流潮流計算和保留非線性的潮流計算。實踐表明，用AD技術(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的手工編寫微分代碼計算Jacobian矩陣，使代碼量大大縮減，減少了程序的開發(fā)周期；而算例結(jié)果表明，保留非線性潮流算法計算量更小，計算速度更快，即使是采用了AD技術(shù)以后，在計算速度上依然有著明顯的優(yōu)勢。

1 AD技術(shù)

1.1 基本原理

微分運算一直是目標(biāo)優(yōu)化、非線性系統(tǒng)求解、靈敏度分析等熱點課題中的關(guān)鍵技術(shù)之一。1961年Robinson引入“無窮大量”和“無窮小量”，建立了“非標(biāo)準(zhǔn)分析”理論，提出在實數(shù)的延拓空間中，微分可以定義為代數(shù)運算。這種思想同計算機(jī)技術(shù)相結(jié)合就形成了“自動微分技術(shù)”[13，14]。

對AD技術(shù)而言，無論函數(shù)多么復(fù)雜，總是由一系列的基本操作組成，如四則運算（加、減、乘、除），基本函數(shù)（三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等）。下面舉例說明：

將式（1）所示的函數(shù)引入到獨立變量和中間變量分解成一系列的基本運算，如表1所示。

表1 獨立變量和中間變量Tab.1 Independent and intermediate variables

由此在已知獨立變量的值之后，自頂而下就可以得到函數(shù)的精確值y。

給定x˙1、x˙2，通過使用微分計算的鏈?zhǔn)椒▌t，AD技術(shù)可以以完全機(jī)械的方式得到函數(shù)的微分，而且不含截斷誤差。目前AD有兩種模式：正模式和逆模式，它們的區(qū)別在于運用鏈?zhǔn)椒▌t計算傳遞函數(shù)的方式不同。

正模式直接按照表2自上而下，傳遞中間變量關(guān)于獨立變量的導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。逆模式具體流程見文獻(xiàn)[10]。

表2 正模式Tab.2 Forward modes

1.2 AD工具

現(xiàn)存的兩種自動微分的實現(xiàn)方法：源代碼變換方法和運算符重載方法。源代碼變換是顯式的重寫源代碼以得到導(dǎo)數(shù)代碼的方法，代表軟件有ADIFOR和ADIC。運算符重載利用C++等高級語言中的操作符重載的機(jī)理，通過重載每個操作以達(dá)到計算偏導(dǎo)數(shù)和根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t傳遞導(dǎo)數(shù)的目的，代表軟件有ADOL-C和ADC。

ADOL-C是由Dresden技術(shù)大學(xué)科學(xué)計算學(xué)院開發(fā)的自動微分系統(tǒng)，使用運算符重載的方法對C++程序進(jìn)行自動微分，能夠以正模式和逆模式計算任意階導(dǎo)數(shù)。基于以上優(yōu)點，本文選擇ADOLC工具進(jìn)行微分計算

2 VSC-HVDC穩(wěn)態(tài)模型

2.1 VSC-HVDC穩(wěn)態(tài)特性

交直流系統(tǒng)由交流系統(tǒng)和直流系統(tǒng)組成，其接口如圖1所示。

圖1 VSC-HVDC模型Fig.1 Model of VSC-HVDC

方程（2）～（9）則構(gòu)成了標(biāo)幺制下 VSC-HVDC的穩(wěn)態(tài)潮流計算模型。具體推導(dǎo)過程和變量說明見文獻(xiàn)[12]。

2.2 VSC-HVDC的控制方式

VSC-HVDC中VSC可以選擇的控制方式有以下幾種[7]：①定直流電壓、定無功功率控制；②定直流電壓、定交流電壓控制；③定有功功率、定無功功率控制；④定有功功率、定交流電壓控制。

本文對直流支路兩端的VSC-HVDC采用以下四種控制方式組合：①+③；①+④；③+②；④+②。

2.3 潮流方程

對于系統(tǒng)中的純交流節(jié)點，其潮流計算方程為

對于直流節(jié)點，其潮流計算方程為

根據(jù)VSC-HVDC的穩(wěn)態(tài)模型，可得到直流系統(tǒng)的潮流計算方程為

式中，下標(biāo)i表示第i個VSC。

直流網(wǎng)絡(luò)的電流偏差量方程為

式中，gdij為直流節(jié)點i、j之間的電導(dǎo)值。

在交直流潮流中融入AD技術(shù)后，與手動編程的區(qū)別在于，它將需要求解的變量聲明為ADOL-C的一組活躍變量，并用這一組活躍變量將系統(tǒng)的潮流方程表達(dá)出來，再調(diào)用函數(shù)庫中的Jacobian函數(shù)，生成系統(tǒng)的雅克比矩陣。

3 AD技術(shù)在交直流潮流中的應(yīng)用

在交直流潮流中融入AD技術(shù)后，與手動編程的區(qū)別在于，它將需要求解的變量聲明為ADOL-C的一組活躍變量，并用這一組活躍變量將系統(tǒng)的潮流方程表達(dá)出來，再調(diào)用函數(shù)庫中的Jacobian函數(shù)，生成系統(tǒng)的雅克比矩陣。

3.1 AD在統(tǒng)一迭代法交直流潮流中的應(yīng)用

統(tǒng)一迭代法需要在每次循環(huán)中根據(jù)迭代得到的系統(tǒng)變量值更新Jacobian矩陣，故每次循環(huán)都需要調(diào)用AD產(chǎn)生新的Jacobian矩陣，具體步驟如下，流程如圖2所示。

步驟2 聲明活躍變量數(shù)組X，并將x的值賦給X；

步驟3 初始化，迭代次數(shù)k置1；

步驟4 聲明活躍變量F，用活躍變量X寫出不平衡量F的表達(dá)式，將F的數(shù)值傳遞給f；

步驟6 調(diào)用ADOL-C的Jacobian函數(shù)計算Jacobian矩陣；

步驟7 三角分解法求得Δx(k)；

步驟 8 置k=k+1，x(k+1)=x(k)+Δx(k)，轉(zhuǎn)步驟5。

圖2 運用AD技術(shù)的統(tǒng)一法交直流潮流程Fig.2 Flow chart of simultaneous method AC-DC system power flow with AD technology

3.2 AD在保留非線性法交直流潮流中的應(yīng)用

保留非線性法保留了泰勒表達(dá)式的高階項，其Jacobian矩陣恒定，故只需在迭代之前，根據(jù)初值計算出Jacobian矩陣即可，整個計算過程中只需調(diào)用一次AD技術(shù)，故AD的引入將基本不會影響計算速度，算法的數(shù)學(xué)描述見文獻(xiàn)[15]。基于AD的保留非線性法交直流潮流步驟如下，流程如圖3所示。

步驟 1 設(shè)定初值 x={U，θ，Ud，Id，δ，M，Ps，Qs}；

步驟2 聲明活躍變量數(shù)組X，并將x的值賦給X；

步驟3 初始化，迭代次數(shù)k置1；

步驟4 聲明活躍變量F，用活躍變量X寫出潮流方程F的表達(dá)式，將F的數(shù)值傳遞給f；

步驟5 調(diào)用ADOL-C的Jacobian函數(shù)計算Jacobian矩陣；

步驟 8 置 k=k+1，x(k+1)=x(k)+Δx(k)，轉(zhuǎn)步驟6。

圖3 運用AD技術(shù)的保留非線性法交直流潮流程Fig.3 Flow chart of retaining nonlinearity method AC-DC system power flow with AD technology

4 算例分析

4.1 基本算例測試

下面以經(jīng)修改的IEEE14節(jié)點系統(tǒng)為例，驗證上述算法的有效性。

圖4為將IEEE-14節(jié)點系統(tǒng)的13-14支路替換為直流支路，并在交流節(jié)點接入VSC裝置后得到的交直流系統(tǒng)。直流系統(tǒng)參數(shù)如表3所示，均為標(biāo)幺值。

其中NBUS表示VSC所在的母線號，P1、Q1為VSC所在母線連接的負(fù)荷有功、無功，U、θ表示VSC所在母線的交流電壓幅值、相角，Ps、Qs為直流系統(tǒng)的注入有功、無功，Ud為直流電壓。R、X、XL、P1、Q1由系統(tǒng)給定；Ps、Qs初值設(shè)為與修改前系統(tǒng)支路功率相等，由原系統(tǒng)的潮流計算得到。Id、δ、M、分別為

表3 直流系統(tǒng)參數(shù)Tab.3 DC system parameters

式中，Pgi為節(jié)點發(fā)電有功。

表4和表5列出了經(jīng)修改的IEEE14節(jié)點系統(tǒng)在手動編程和基于AD技術(shù)兩種方式下的統(tǒng)一法和保留非線性法潮流計算結(jié)果，方法A、方法B為手動編程的統(tǒng)一法和保留非線性法，方法C、方法D為基于AD技術(shù)的統(tǒng)一法和保留非線性法，平均電壓單位為標(biāo)幺值。由于手動編程和基于AD技術(shù)的潮流計算結(jié)果并無差異，故表4只列出A、C兩種方法的計算結(jié)果。表5中除單位為度（°）外，其他均為標(biāo)幺值。

表4 迭代次數(shù)和計算時間比較Tab.4 Comparison of iteration times and computing time

表5 各VSC控制及狀態(tài)變量Tab.5 VSC control and state parameters

由表4結(jié)果可見，計算時間從長到短順序為方法A、方法C、方法B、方法D。采用AD后統(tǒng)一法所需計算時間增加，而保留非線性方法在手動編程和基于AD技術(shù)兩種方式下速度均優(yōu)于統(tǒng)一迭代法。

4.2 控制模式測試

在實際電力系統(tǒng)運行中，為了實現(xiàn)穩(wěn)定運行、減少損耗、控制潮流等功能，VSC-HVDC常常需要在多種控制模式下運行。

表6列出了在不同控制方式下，手動編程的統(tǒng)一迭代法和保留非線性法的收斂次數(shù)和計算時間比較。

表6 不同控制方式下計算結(jié)果比較Tab.6 Computational results comparison in different control modes

由此可知，不同控制方式下，統(tǒng)一法和保留非線性方法均能很快收斂，而且保留非線性方法速度上一直占有比較大的優(yōu)勢。

4.3 算法效率測試

表7列出了統(tǒng)一法、保留非線性算法對系統(tǒng)進(jìn)行計算的迭代次數(shù)和計算時間，各系統(tǒng)直流支路兩端的VSC控制方式組合為①+③。

表7 各算例迭代次數(shù)和計算時間比較Tab.7 Iteration times and computing time comparison of different test systems

表中多個算例結(jié)果表明，在手動編程寫Jacobian矩陣時，保留非線性方法較統(tǒng)一迭代法速度更快，而采用AD技術(shù)后，保留非線性方法由于只需要生成一次Jacobian矩陣，并只需對其進(jìn)行一次三角分解，大大減少了計算量，縮短了計算時間。表中算例結(jié)果表明，系統(tǒng)越大，保留非線性方法在速度上的優(yōu)勢越明顯。

5 結(jié)論

（1）將AD技術(shù)引入到統(tǒng)一迭代法的VSCHVDC潮流計算中，驗證了AD技術(shù)的有效性。

（2）將保留非線性方法用于含VSC-HVDC的交直流潮流計算，并驗證了其在速度上的優(yōu)越性。

（3）在修改后的 IEEE-14、30、57、118 節(jié)點系統(tǒng)上，基于AD技術(shù)，進(jìn)行了含VSC-HVDC的交直流混合系統(tǒng)潮流的算例仿真和分析，仿真結(jié)果驗證了AD技術(shù)有效性和保留非線性方法的優(yōu)越性。

[1]李庚銀，呂鵬飛，李廣凱，等（Li Gengyin，Lü Pengfei，Li Guangkai，et al）.輕型高壓直流輸電技術(shù)的發(fā)展與展望（Development and prospects for HVDC light）[J].電力系統(tǒng)自動化（Automation of Electric Power Systems），2003，27（4）：77-81.

[2]湯廣福，賀之淵，騰樂天，等（Tang Guangfu，He Zhiyuan，Teng Letian，et al）.電壓源換流器高壓直流輸電技術(shù)最新研究進(jìn)展（New progress on HVDC technology based on voltage source converter）[J].電網(wǎng)技術(shù)（Power System Technology），2008，32（22）：39-44，89.

[3]袁旭峰，程時杰（Yuan Xufeng，Cheng Shijie）.多端直流輸電技術(shù)及其發(fā)展（Multi-terminal HVDC transmission technology and its development）[J].繼電器（Relay），2006，34（19）：61-67，70.

[4]陳蔓，陸繼明，毛承雄，等（Chen Man，Lu Jiming，Mao Chengxiong，et al）.基于遺傳算法的優(yōu)化控制在VSCHVDC中的應(yīng)用（Application of genetic algorithm based optimal control in VSC-HVDC）[J].電力系統(tǒng)及其自動化學(xué)報（Proceedings of the CSU-EPSA），2006，18（4）：19-23.

[5]陳謙，唐國慶，王潯（Chen Qian，Tang Guoqing，Wang Xun）.多端VSC-HVDC系統(tǒng)交直流潮流計算（AC-DC power flow algorithm for multi-terminal VSC-HVDC systems）[J].電力自動化設(shè)備（Electric Power Automation E－quipment），2005，25（6）：1-6.

[6]Angeles-Camacho C，Tortelli O L，Acha E，et al.Inclusion of a high voltage DC-voltage source converter model in a Newton-Raphson power flow algorithm[J].IEE Proceedings-Generation，Transmission and Distribution，2003，150（6）：691-696.

[7]鄭超，周孝信，李若梅，等（Zheng Chao，Zhou Xiaoxin，Li Ruomei，et al）.VSC-HVDC 穩(wěn)態(tài)特性與潮流算法的研究（Study on the steady characteristic and algorithm of power flow for VSC-HVDC）[J].中國電機(jī)工程學(xué)報（Proceedings of CSEE），2005，25（6）：1-5.

[8]Zhang Xiaoping.Multiterminal voltage-sourced converter-based HVDC models for power flow analysis[J].IEEE Trans on Power Systems，2004，19（4）：1877-1884.

[9]Orfanogianni T，Bacher R.Using automatic code differentiation in power flow algorithms[J].IEEE Trans on Power Systems，1999，14（1）：138-144.

[10]葉芳，衛(wèi)志農(nóng)，孫國強，等（Ye Fang，Wei Zhinong，Sun Guoqiang，et al）.基于自動微分技術(shù)的電力系統(tǒng)狀態(tài)估計算法（State estimation of power systems with automatic differentiation technology）[J].電力系統(tǒng)保護(hù)與控制（Power System Protection and Control），2010，38（17）：91-95，100.

[11]耿光超，江全元（Geng Guangchao，Jiang Quanyuan）.基于自動微分技術(shù)的內(nèi)點法最優(yōu)潮流算法（An automatic differentiation based interior-point method for optimal power flow）[J].電力系統(tǒng)自動化（Automation of Electric Power Systems），2008，32（23）：41-45.

[12]孫國強，李育燕，衛(wèi)志農(nóng)，等（Sun Guoqiang，Li Yuyan，Wei Zhinong，et al）.含 VSC-HVDC 的交直流混合系統(tǒng)狀態(tài)估計（State estimation of power system with VSCHVDC）[J].電力系統(tǒng)自動化設(shè)備（Electric Power Automation Equipment），2010，30（9）：6-12，23.

[13]Walther A，Griewank A.A package for the automatic differentiation of algorithms written in C/C++[EB/OL].http：//www.coin-or.org/projects/ADOL-C.xml，2009.

[14]王莉萍，程彬杰，唐天同，等（Wang Liping，Cheng Binjie，Tang Tiantong，et al）.用于電子光學(xué)系統(tǒng)像差分析的自動微分技術(shù)及其在Visual C++平臺上的軟件實現(xiàn)（Automatic differentiation technique for aberration analysis of electronic optic systems with implementation in Visual C++environment）[J].電子顯微學(xué)報（Journal of Chinese Electron Microscopy Society），1999，18（6）：644-651.

[15]王憲榮，柳焯，張伯明（Wang Xianrong，Liu Chao，Zhang Boming）.非線性總項與保留非線性潮流算法的拓廣（The sum total of nonlinear terms and the development of load flow algorithm retaining nonlinearity）[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報（Journal of Harbin Institute of Technology），1990，22（6）：60-66.

[16]陸進(jìn)軍，黃家裕（Lu Jinjun，Huang Jiayu）.電力系統(tǒng)多端直流（MTDC）潮流算法改進(jìn)（An improved multi-terminal HVDC power flow method）[J].電力系統(tǒng)及其自動化學(xué)報（Proceedings of the CSU-EPSA），2000，12（5）：4-6，18.

[17]吳素平，尚榮艷，羅隆福（Wu Suping，Shang Rongyan，Luo Longfu）.新型直流輸電系統(tǒng)中感應(yīng)濾波技術(shù)的影響（Impacts of inductive filtering technology in the novel DC transmission system）[J].電力系統(tǒng)及其自動化學(xué)報（Proceedings of the CSU-EPSA），2010，22（4）：49-55.