微分中值定理教學(xué)中的幾種輔助函數(shù)的構(gòu)造

周壽明

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

輔助函數(shù)的構(gòu)造在很多問題的解決中都起著關(guān)鍵的作用，因此它的作用非常之廣泛。幾乎所有數(shù)學(xué)專業(yè)的教材中都要用到輔助函數(shù)去解題，但都只是作為一種數(shù)學(xué)工具被“信手拈來”，讓初學(xué)者連看都感到困惑更不用說去掌握和運(yùn)用它。本文通過對(duì)例題進(jìn)行歸納、分析和總結(jié)出常見的五種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法——行列式法、變上限積分法、微分方程法、常值K 法、指數(shù)因子法。本文旨在找出這些輔助函數(shù)特點(diǎn)及適用對(duì)象，根據(jù)題意合理構(gòu)造出輔助函數(shù)，使解題思路更加清晰、解題過程更加明了。并由此得出利用輔助函數(shù)解題的一般步驟。

1 行列式法

數(shù)學(xué)的各門學(xué)科之間是普遍聯(lián)系的。借助高等代數(shù)中的行列式來構(gòu)造輔助函數(shù)，有時(shí)可以使問題變得更加直觀、明了。

行列式的微分性質(zhì)［1］設(shè)fij(x)(i，j = 1，2，…)為可導(dǎo)的函數(shù)，則有

［例1］設(shè)f(x)，g(x)，h(x)在a ≤x ≤b 上連續(xù)，在a ＜x ＜b 內(nèi)可導(dǎo)，證明:必存在一點(diǎn)ξ ∈(a，b)使

證明:該題要證的結(jié)論中出現(xiàn)了行列式，易知此題應(yīng)構(gòu)造如下一個(gè)行列式作為輔助函數(shù):

由于F(a)= F(b)= 0 ，由題設(shè)知F(x)滿足羅爾定理的條件，故至少存在一點(diǎn)ξ ∈(a，b)使

將(3)式按最后一行展開即可得(1)式。證畢。

事實(shí)上，拉格朗日中值定理和柯西定理都是(3)式的特例，亦即由此可得到這兩大定理的另一種證明方法:若令h(x)= 1 ，由(3)式即得柯西中值定理;若令h(x)= 1 ，g(x)= x，即得拉格朗日中值定理。

2 變限積分法

變限積分是證明積分等式、不等式的一種非常重要且行之有效的方法。主要是因?yàn)檫@類積分的函數(shù)具有很好的微分性質(zhì)。

積分法的微分性質(zhì)［1］設(shè)f 為連續(xù)函數(shù)，u，v 均為可導(dǎo)函數(shù)，且可實(shí)行復(fù)合與。則有:

在x ∈［a，b］上φ(x)單調(diào)遞減，又因?yàn)棣?a)= 0 ，故。證畢。

3 微分方程法

當(dāng)所要證明的結(jié)論中代數(shù)式比較復(fù)雜時(shí)，就不能很容易通過變限積分法找出原函數(shù)，這時(shí)我們通過微分方程的方法解決［2］。

［例3］設(shè)f(x)在閉區(qū)間［0，π］上連續(xù)，在開區(qū)間(0，π)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)= 0 ，求證:至少存在一點(diǎn)ξ ∈(0，π)，使得

4 常值K 法

常值K 法的一般步驟［3］:1)將結(jié)論中的所有常數(shù)分離至等式的一端，并設(shè)其為常數(shù)K;2)將所得等式進(jìn)行恒等變形，使含a 和f(a)的都移到等式的一端，另一端含b 和f(b);3)判斷上式是否為對(duì)稱式，若對(duì)稱則將a 變成x，將f(a)變成f(x)，即得到所需的輔助函數(shù)。

［例4］設(shè)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求證:至少存在一點(diǎn)ξ ∈(a，b)使得:bf(b)－af(a)=(b－a)f(ξ)+ ξf '(ξ).

5 指數(shù)因子法

由指數(shù)函數(shù)ex的各階導(dǎo)數(shù)仍然是ex，并且ex恒大于零，我們可以利用指數(shù)函數(shù)ex的這種良好性質(zhì)構(gòu)造ef(x)型輔助函數(shù)［4］。

［例5］設(shè)f(x)在［a，b］連續(xù)且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，若f(0)= f(a)，求證:至少存在一點(diǎn)ξ ∈(0，a)，使得:f'(ξ)= 3ξ2(f(ξ)－f(0))。

眾所周知，輔助函數(shù)的構(gòu)造有很大的靈活性和技巧性，應(yīng)就具體問題具體分析，充分挖掘已知條件和所證結(jié)論中蘊(yùn)涵的信息，大膽地運(yùn)用歸納、猜想、分析與化歸等數(shù)學(xué)思想，選擇合適的輔助函數(shù)，最終解決問題。因此，我們要對(duì)輔助函數(shù)的性質(zhì)、特征非常的熟悉，對(duì)它們的使用范圍“了如指掌”，平時(shí)多做題、多思考、多總結(jié)，只有這樣才能合適的選擇、靈活地運(yùn)用輔助函數(shù)進(jìn)行解題。

［1］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析［M］. 北京:高等教育出版社，2001.

［2］王文珍. 微積分學(xué)中輔助函數(shù)的應(yīng)用［J］. 長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，2005，8(6):33－35.

［3］朱崇軍，徐侃. 微分中值定理應(yīng)用中輔助函數(shù)的構(gòu)造［J］. 高等函授學(xué)報(bào)，2008，22(1):18－20.

［4］譚潔琦. 淺談微分中值定理證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造［J］. 四川教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，24(7):101－103.