三維曲面船體外板數(shù)學(xué)展開方法研究

肖 雄，黃朝炎，胡 勇，袁 萍

(武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院，武漢430063)

在船舶建造過程中，對于船體復(fù)雜的空間曲面，為了繪制號料草圖或樣板，以便在平直的鋼材上號料，需要對船體外板進(jìn)行展開。目前船舶制造領(lǐng)域，外板展開基本上都是采用手工放樣或者計算機(jī)模擬手工放樣，誤差較大，而且效率低，嚴(yán)重影響船舶的自動化建造進(jìn)程。研究船體曲面板展開，尋求一種能利用計算機(jī)自動展開曲面板的方法，使外板展開的誤差減小，效率增加，對于船舶實(shí)現(xiàn)自動化生產(chǎn)具有重大意義［1-2］。

1 外板展開常用方法

曲面分為可展和不可展曲面，由微分幾何知識可知，只有高斯曲率處處為零的曲面(如柱面，錐面等)才為可展曲面，而船體外板絕大部分為不可展曲面。對于不可展曲面，曲面不可能與平面相貼合，因此不管是傳統(tǒng)的手工放樣，還是現(xiàn)代的計算機(jī)數(shù)學(xué)放樣，只能采用近似的展開方法，展開的曲面還原后與原來的曲面之間不可避免地存在一定的誤差。如果誤差不能滿足工程要求，則在實(shí)際生產(chǎn)中，外板展開后都要加放一定的余量，既浪費(fèi)材料，又增加了現(xiàn)場的修整作業(yè)。所以在現(xiàn)階段的研究中，要求在展開的時候盡量減少誤差，使其盡可能滿足工程的要求。

針對外板展開的精度控制及其自動化問題，國內(nèi)外研究者提出了許多相應(yīng)的改進(jìn)方法［3-5］，主要如下。

1)基于曲面離散的表達(dá)式，運(yùn)用分區(qū)域曲面的展開思想，使用有限元法計算曲面展開;

2)利用曲面自身的幾何特征，將曲面劃分為等參數(shù)網(wǎng)格，沿著一個方向，根據(jù)曲線的測地曲率，將這些曲線展開到一張平面上;

3)基于能量模型的力學(xué)展開法，對曲面不同的部位定義不同的彈簧彈性系統(tǒng)，來控制曲面展開的精度，通過使彈簧質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)變形，就可由初始平面映射到曲面展開的最終形狀。

雖然這些方法都在一定程度上提高了外板展開的精度，但是操作過程普遍較為復(fù)雜，而且每種方法只能適應(yīng)一定形狀的曲面板，對展開其他形狀板的誤差則較大。對于船體外板的加工成形，能夠在加工前對板材進(jìn)行準(zhǔn)確號料，無疑對于板材的自動化成形技術(shù)有著重大的實(shí)際應(yīng)用價值，而上述改進(jìn)方法距離實(shí)際應(yīng)用有一定的差距。因此為了實(shí)現(xiàn)船體外板展開自動化及精度控制，本文在對這些方法的總結(jié)以及手工撐線法研究的基礎(chǔ)上，提出了小曲面三角形展開法。

2 小曲面三角形法的理論分析

2.1 展開思想

船體外板大多為不可展曲面，處理方法只能是將其分割成若干個小塊，并把這些小塊近似地看成某種可展曲面進(jìn)行展開，最后再把這些展開的小塊集攏。

基于這種思想，小曲面三角形法是將船體外板沿長邊方向以一定間距劃分成若干長條，每個長條劃分成若干小曲面三角形(見圖1)，然后根據(jù)型線圖以及肋骨型線圖求出各個三角形三頂點(diǎn)的坐標(biāo)或相應(yīng)兩點(diǎn)之間的坐標(biāo)差，繼而求出三角形三邊直線長(Δx，Δy，Δz為兩點(diǎn)之間的坐標(biāo)差)，將這個長度近似作為小曲面三角形展開后的長度，逐個展開和連接這些小曲面三角形，從而得到外板的幾何展開圖。

2.2 展開精度

理論誤差分析:設(shè)曲線方程y=f(x)，見圖2。

圖2 曲線示意

弧長為

式中:［xa，xb］——積分區(qū)間;

y'——曲線的一階導(dǎo)數(shù)。

式中:g″(ξ)——曲線在ξ的二階導(dǎo)數(shù);

ξ∈［xn-1，xn］使得|g″(ξ)|最大;

h=xn-xn-1。

由式(2)可知，弧長用梯形法積分有一階精度，對于光順的樣條曲線來說，用二次曲線來擬合局部，誤差可忽略不計。式(2)可化簡為

由于對于可展的小曲率板y'與1在同一量級，上式簡化為

因此可以得出

由式(6)可知，用弦線代替弧線求曲線長度，每段誤差與曲線二階導(dǎo)平方成正比，與區(qū)間長度三次方成正比。具體的誤差在計算機(jī)分析時是容易實(shí)現(xiàn)的。由此可知，誤差是隨區(qū)間長度的減小以三次速度收斂于0，由此可知，用該方法展開小區(qū)度船體外板是可行的。

從逼近原理出發(fā)，雖然將船體外板劃分成一系列小曲面三角形后近似展開，從理論上來說，這些小曲面三角形依然是不可展開的，得到的幾何展開圖只是一種近似圖形。但是，當(dāng)劃分的三角形足夠小時，展開的結(jié)果與該曲面的真實(shí)展開面的形狀和尺寸之間的誤差也足夠小，當(dāng)誤差小至在制造過程中不需要進(jìn)行補(bǔ)償和修整時，對于實(shí)際應(yīng)用來說，這一結(jié)果是精確的。所以，理論上，小曲面三角是可以獲得形狀和尺寸都具有很高精度的船體外板展開圖的。

3 外板展開實(shí)例

3.1 一般展開步驟

1)由各類軟件(如TRIBON、滬東東欣SPD等)或者船體型線圖輸出船體外板的型值數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)作合適的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換(使板在xoy平面的投影面積盡可能多，大體以長邊中性線方向?yàn)閤軸)，以便于彎板機(jī)的調(diào)型，類似于船體胎架設(shè)計過程中的正斜切、斜斜切等;

2)若所得型值數(shù)據(jù)偏少，可用樣條曲線插值，得到更多的數(shù)據(jù);

3)網(wǎng)格劃分。按插值后的型值數(shù)據(jù)的(x，y)將板劃分為四邊形，再作出所有四邊形同一方向的對角線。劃分后，外板由小的曲面三角形組成，這些三角形在xoy平面的投影面積相等(除邊界上);

4)將每一與x軸垂直的窄條以x軸為基準(zhǔn)按撐線法展開，再將所有窄條拼接在一起，要保證正投影在x軸上的曲線展開后仍在x軸上;

5)將數(shù)據(jù)輸入AutoCAD，輸出圖形。

3.2 展開實(shí)例

TRIBON系統(tǒng)是一個面向船舶詳細(xì)設(shè)計、生產(chǎn)設(shè)計的應(yīng)用系統(tǒng)。它運(yùn)行于DEC、HP或其它的圖形工作站平臺上，用OPENVMS操作系統(tǒng)作為系統(tǒng)支撐軟件。用批處理命令和屏幕菜單命令方式驅(qū)動的二、三維圖形系統(tǒng)是整個TRIBON系統(tǒng)的使用基礎(chǔ)。由于該系統(tǒng)采用了較好的硬件平臺和網(wǎng)絡(luò)環(huán)境，加之TRIBON系統(tǒng)又將船舶詳細(xì)設(shè)計和生產(chǎn)設(shè)計融為一體，使船體建造各階段間的數(shù)據(jù)具有良好的共享性和兼容性，這為船體數(shù)學(xué)放樣工作帶來極大方便。

1)實(shí)例中，取某船艏部一塊板，其空間形狀見圖3。

圖3 外板空間示意

2)利用TRIBON軟件的功能，生成的外板樣條曲線的型值(見圖4a))。其中，活絡(luò)樣板的調(diào)節(jié)示意圖見圖4b)?；罱j(luò)樣板是在加工外板擺樣時，改變了以往由于肋骨彎度而形成樣板與外板里夾角而傾斜放置的缺點(diǎn)，活絡(luò)樣板可以垂直外板放置，因?yàn)樗峭ㄟ^計算機(jī)處理，計算出肋骨的法向面，所以使用簡便，在實(shí)際操作中更體現(xiàn)了良好的使用價值［6］。

3)利用活絡(luò)樣板的調(diào)節(jié)表的值，以活絡(luò)樣板上的測量點(diǎn)直接劃分成三角形，依次計算出劃分的小曲面三角形的三邊直線距離，以準(zhǔn)線為基準(zhǔn)，在CAD中依次在準(zhǔn)線上下兩邊畫出各個小三角形，然后將所有窄條拼接起來，見圖5，得到經(jīng)過小曲面三角形法展開的船體外板。

圖4 從TRIBON得到的外板實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

圖5 AutoCAD輸出外板展開圖

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為了驗(yàn)證試驗(yàn)結(jié)果及其誤差，將AutoCAD中輸出的外板展開圖與TRIBON軟件生成的船體外板展開圖(見圖6)進(jìn)行對比，結(jié)果見表7。

圖6 TRIBON軟件輸出的外板展開圖

表7 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和TRIBON對比

對比CAD和TRIBON的外板展開圖，經(jīng)檢驗(yàn)可知，由三角形法得到的外板展開圖和TRIBON軟件生成的展開圖基本吻合，而且偏差很小(如表7)，在實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證了三角形法的準(zhǔn)確性。

實(shí)際上，由于TRIBON給出的點(diǎn)的型值數(shù)據(jù)是一定的，而在實(shí)驗(yàn)計算中，完全是根據(jù)TRIBON給出的點(diǎn)來將曲面板劃分成三角形的，所以，結(jié)果雖然與TRIBON相吻合，但是與實(shí)際的外板展開圖之間肯定有一定的差距。為了減少這一差距，提高展開精度，可以在已給出的型值點(diǎn)之間，進(jìn)行非均勻有理B樣條曲線插值來增加型值點(diǎn)(用計算機(jī)編程來實(shí)現(xiàn))，這樣可以增加型值點(diǎn)的數(shù)量，即將曲面板劃分成更多更小的三角形，可以在很大程度上提高展開的精度，理論上，利用三角形法展開可以達(dá)到加工所需的精度。

4 結(jié)論

小曲面三角形法通過將三維曲面船體外板劃分成小塊三角形，再由已知的型值點(diǎn)計算出三角形的三邊長度，并將其等效為平面三角形在平面上展開的方法。由于可以通過型值點(diǎn)插值，控制劃分點(diǎn)的數(shù)目，從而控制小曲面三角形的大小，所以外板展開的精度也是可以控制的。通過試驗(yàn)論證，小曲面三角形法展開外板可以達(dá)到很高的展開效率以及要求的展開精度，不需要在加工前預(yù)留余量，這將對船體外板的自動化成形建造具有非常大的實(shí)際意義和實(shí)用價值。在插值和計算機(jī)展開外板的工作中，本文只做了初步的嘗試工作，沒有利用計算機(jī)編程，以實(shí)現(xiàn)軟件之間的數(shù)據(jù)交換，達(dá)到計算機(jī)自動展開船體外板的效果，這是本文的不足之處，也是以后努力的方向。

［1］楊 啟.關(guān)于計算機(jī)輔助船體外板展開方法及其幾何精度的研究［D］.武漢:武漢交通科技大學(xué)，1997.

［2］龐 林.船體外板展開的保形法研究［D］.大連:大連理工大學(xué)，2004.

［3］劉寅東，戰(zhàn)豎婷.船體外板展開算法及程序?qū)崿F(xiàn)［J］.船海工程，2007，29(3):34-36.

［4］蔡云南，趙尚輝.外板展開圖程序［J］.船舶，2000(6):58-61.

［5］徐兆康.船體復(fù)雜曲板展開的幾點(diǎn)思考［J］.造船技術(shù)，2006(4):19-21.

［6］張 輝.利用VBA技術(shù)實(shí)現(xiàn)外板展開線的自動繪制［J］.船舶設(shè)計通訊，2005(1):58-60.