一種基于小波變換的偏微分方程圖像去噪方法

張力娜，李小林

（1.咸陽師范學院數(shù)學與信息科學學院，陜西咸陽，712000；2.咸陽師范學院圖形圖像處理研究所，陜西咸陽，712000）

一種基于小波變換的偏微分方程圖像去噪方法

張力娜1，2，李小林2

（1.咸陽師范學院數(shù)學與信息科學學院，陜西咸陽，712000；2.咸陽師范學院圖形圖像處理研究所，陜西咸陽，712000）

針對紋理圖像在去除噪聲時，紋理信息容易被磨光，尤其是紋理的線狀結(jié)構(gòu)很容易被破壞的問題，提出在小波域改進耦合P－M擴散與相干增強擴散的方法，并用改進的方法對不同的小波子帶進行擴散，然后重構(gòu)，得到去噪圖像。數(shù)值實驗結(jié)果表明，本文方法在達到一定降噪效果，保持區(qū)域內(nèi)部較好光滑性的同時，對保持紋理信息、紋理的線狀結(jié)構(gòu)及紋理的光滑有很好的效果，說明該方法對紋理圖像去噪有較好的效果。

小波變換；偏微分方程；圖像去噪；紋理

1 引 言

圖像信號在產(chǎn)生、傳輸、存儲等過程中，常常受到噪聲的干擾，影響了人們對正確信息的獲取，因此，圖像去噪是圖像分析處理的前期必要工作。基于偏微分方程的方法［1－2］和基于小波變換的方法［3－4］是近年來圖像去噪的主要方法。在此基礎上，人們進一步研究了兩種方法之間的關(guān)系，并把兩種方法結(jié)合起來去噪，如：基于非線性小波閾值的各向異性擴散方法［5］，小波方向子帶偏微分方程遙感圖像去噪［6］，等等。

本文針對紋理圖像在去除噪聲時，紋理信息不容易保持的問題，提出小波域的耦合P－M擴散與相干增強擴散的去噪模型，首先將含噪聲圖像小波分解成低頻子帶和高頻子帶，利用低頻子帶檢測得到邊緣指示函數(shù)，然后根據(jù)各高頻子帶的圖像特征及邊緣指示函數(shù)選取不同權(quán)重的P－M擴散與相干增強擴散耦合進行擴散，最后重構(gòu)得到去噪圖像。

2 小波閾值去噪

設有如下觀測信號：

其中，()s t為真實的信號；()e t為方差σ2的高斯白噪聲，服從N 0，σ()2分布。

小波閾值去噪的基本思路是：①先對觀測信號f ()t做小波變換，得到一組小波系數(shù)wj，k；②由于信號()s t的奇變位置和一些重要的信息對應各尺度上的小波系數(shù)wj，k有較大的值，其他大部分位置的wj，k較小，而對于噪聲()e t的小波系數(shù)wj，k在每一尺度上的分布是均勻的，所有小波系數(shù)在小波域上對噪聲都有貢獻，因此，選取適當?shù)拈撝郸?，低于λ的小波系?shù)wj，k認為是由噪聲引起，設為0，高于λ的小波系數(shù)wj，k認為是由信號引起，予以保留或收縮，得到估計的小波系數(shù)＾wj，k；③利用新的小波系數(shù)＾wj，k進行小波重構(gòu)得到去噪后的信號。

去噪過程中，閾值λ的選取很重要，如果λ取值太小，會導致去噪后的圖像包含過多噪聲，如果λ取值太大，就會在去噪的同時也使部分重要的邊緣或紋理信息丟失。Donoho給出了較簡潔的計算公式：取閾值λ＝（N為信號的尺度或長度），但必須考慮圖像噪聲統(tǒng)計的方差σ估計，也就增加了準確估算閾值λ的難度。另外，小波的閾值處理在一定程度上破壞了小波域的非線性相關(guān)性，也會造成信號的失真。

3 耦合P－M擴散和相干增強擴散的去噪模型

Perona和Malik提出的各向異性擴散的去噪模型［7］在對分片光滑圖像去噪時能有效的保護圖像的邊緣信息，但是，由于P－M模型通過梯度模的大小來控制擴散的強弱，而沒有考慮梯度的方向性，使得邊緣上的噪聲不能被有效地去除，一些細小紋理的線狀特征丟失。Weickert提出的相干增強擴散模型［1］的擴散張量既考慮到了梯度模的大小也考慮了梯度的方向，使得擴散能夠抑制邊緣紋理處的噪聲，恢復斷裂的線狀特征，但是，圖像噪聲會影響邊緣的定位，使得在光滑區(qū)域產(chǎn)生很多虛假邊緣，嚴重影響圖像去噪的質(zhì)量。

為了彌補Weickert的擴散模型在處理光滑區(qū)域時的不足，利用P－M模型在處理光滑區(qū)域的優(yōu)勢，文獻［8］提出了P－M擴散和相干增強擴散結(jié)合的模型：

其中，0≤o1( x，y)≤1為▽u的遞減函數(shù)，o2( x，y)＝1－o1( x，y)。在邊緣紋理處o1( x，y)→0，o2( x，y)→1相干增強擴散為主要擴散，能較好地保護邊緣紋理的線狀結(jié)構(gòu)，抑制邊緣上的噪聲，而在光滑區(qū)域o1( x，y)→1，o2( x，y)→0，P－M擴散為主要擴散，從而得到光滑的區(qū)域內(nèi)部。

4 小波域上的各向異性擴散方案

含噪聲的圖像u x，()y經(jīng)過一層小波分解，分解成一個低頻分量圖LL和3個高頻分量圖HL、LH、HH分別表示豎直方向、水平方向、對角方向的邊緣部分。低頻分量LL還可以相同的方式再繼續(xù)分解。分解后圖像的平滑部分主要集中在低頻上，噪聲和邊緣紋理信息主要集中在高頻部分?？紤]到各高頻分量的方向性以及Weickert相干增強擴散模型擴散的方向性，本文在小波域上改進了耦合P－M擴散與相干增強擴散的模型，利用改進的模型對各分量圖的小波系數(shù)進行擴散處理，再重構(gòu)得到去噪后的圖像。

耦合P－M擴散與相干增強擴散的模型綜合了兩者的優(yōu)點，但其中權(quán)重的選取很關(guān)鍵，而根據(jù)含噪聲圖像的梯度▽u構(gòu)造的權(quán)函數(shù)很容易受噪聲干擾，使得邊緣、紋理的檢測不夠準確，影響模型的效果，故此本文作出如下改進。

首先，對含噪聲圖像u( x，y)作小波分解，得到含噪聲較少的低頻分量圖uLL，對uLL用偏微分方程模型［9］：

檢測得到圖像邊緣指示函數(shù)b，模型中第二項為b的正則項，在一定程度上減少了虛假邊緣的出現(xiàn)。

圖1 函數(shù)o1（b）的圖形

其中，t為平移參數(shù)，s為伸縮參數(shù)，0≤t≤1，s＞0，參數(shù)l為接近于0的非負數(shù)。o1( x，y)是關(guān)于點對稱的單調(diào)遞減函數(shù)，有0≤l≤o（x，y）

1≤k≤1，o2( x，y)是關(guān)于點對稱的單調(diào)遞增函數(shù)，有0≤1－k≤o2（x，y）≤1－l≤1。當b的值趨向于0時，就判定為圖像邊緣，權(quán)重函數(shù)o1( x，y)為接近于0的值l、o2( x，y)為接近于1的值1－l，擴散模型中以相干增強擴散為主，以保護邊緣、紋理的線狀結(jié)構(gòu)，抑制邊緣上的噪聲；當b的值趨向于1時，就判定為圖像的光滑區(qū)域，權(quán)重函數(shù)o1( x，y)為接近于1的值k、o2( x，y)為接近于0的值1－k，擴散模型中以P-M擴散為主，以保持區(qū)域內(nèi)部的光滑性，而實際上k的值可以取定為1，因為光滑區(qū)域內(nèi)只需要P-M擴散，有相干增強擴散反而不好；而當b的值在t的附近時，不能判斷是被噪聲嚴重污染的光滑區(qū)域還是一些細小的邊緣或紋理，此時權(quán)重函數(shù)o1( x，y)、o2( x，y)的取值在對稱點附近，隨b的增大而減小或增大，模型中兩種擴散的權(quán)重相當。

最后，根據(jù)小波分解得到的不同方向的高頻分量圖的特征，調(diào)節(jié)參數(shù)選取不同尺度的權(quán)重函數(shù)o1( x，y)和o2( x，y)，作用于各個高頻分量圖進行擴散，使得相干增強擴散在各個方向的分量圖上能夠更好的發(fā)揮保護邊緣紋理線狀結(jié)構(gòu)的作用，同時也能保持結(jié)構(gòu)區(qū)域內(nèi)部較好的光滑性。

本文算法主要步驟：

步驟一：對含噪圖像u( x，y)進行小波分解，得到低頻分量圖uLL和高頻分量圖uHL、uLH、uHH；

步驟二：利用低頻分量圖uLL檢測得到邊緣指示函數(shù)b，構(gòu)造權(quán)重函數(shù)o1( x，y)、o2( x，y)；

步驟三：調(diào)節(jié)參數(shù)選取適合的權(quán)重，利用模型（2）分別對各分量圖uLL、uHL、uLH、uHH作擴散去噪處理；

步驟四：對步驟三中處理后的各高頻子帶與低頻子帶重構(gòu)得到去噪后的圖像。

5 數(shù)值實驗結(jié)果

本文選取大小為256×256的Barbara灰度圖像作為實驗圖像，加入高斯白噪聲，用P－M擴散和相干增強擴散結(jié)合的方法、對小波系數(shù)用P－M擴散的方法和本文的方法比較圖像去噪的效果。本文中用小波函數(shù)d b1對圖像進行2層分解，對各分量圖像用本文方法進行擴散，然后重構(gòu)得到去噪圖像。表1是在不同噪聲水平下，3種方法去噪后的峰值信噪比。

表1 不同噪聲水平下3種方法去噪后的峰值信噪比

圖1為原始圖像，圖2、圖3分別為加入方差為20和30的高斯白噪聲的圖像實驗的結(jié)果，圖4、圖5分別為圖2、圖3局部放大的效果圖，其中（a）為噪聲圖像，（b）為對小波系數(shù)用P－M擴散方法去噪后的圖像，可以看出圖像的結(jié)構(gòu)區(qū)域內(nèi)部光滑性較差，一些細小的邊緣和紋理被磨光，紋理的線條是間斷零亂的，（c）為P－M擴散和相干增強擴散結(jié)合方法去噪后的圖像，（d）為本文方法去噪后的圖像，（c）和（d）去噪的效果都比（b）的好，并有各自的優(yōu)點。（c）的方法對保持結(jié)構(gòu)區(qū)域的邊緣有較好的效果，但是光滑區(qū)域內(nèi)容易產(chǎn)生一些小的虛假邊緣，本文方法得到的（d）在保持區(qū)域邊緣的效果比（c）要差一些，但是區(qū)域內(nèi)的光滑性較好，而且從人物頭巾的紋理可以看出，本文方法保持了更多的紋理信息，并且紋理光滑，保持了較好的線狀結(jié)構(gòu)。

圖1 Barbara

圖2 噪聲方差為20的3種方法去噪效果

圖3 噪聲方差為30的3種方法去噪效果

圖4 噪聲方差為20（圖3）的放大效果圖

圖5 噪聲方差為30（圖4）的放大效果圖

5 結(jié) 論

本文在小波域中改進了P－M擴散與相干增強擴散結(jié)合的方法，對各個分量圖的小波系數(shù)進行擴散，再重構(gòu)。實驗結(jié)果表明，本文方法在達到一定降噪效果，并保持區(qū)域內(nèi)部較好光滑性的同時，對保持紋理信息、紋理的線狀結(jié)構(gòu)及紋理的光滑有很好的效果，說明該方法對紋理圖像去噪有較好的效果。

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Image denoising method of partial differential equation based on wavelet transform

ZHANG Li-na1，2，LIXiao-lin2
（1.Department of Mathematics，Xianyang Normal University，Xianyang 712000，China；2.Institute of Graphics and Image Processing，Xianyang Normal University，Xianyang 712000，China）

The texture information is easy to be polished when denoising the images，especially the linear structure of the texture is easy to be damaged.Amethod is put forward thatsmooth sub-image by usingmodifiedmethod of combination of P-M diffusion and coherence enhancing diffusion in wavelet domain，the differentwavelet sub-bands are diffused with the improvedmethod and reconstructed，then the denoising image is obtained.Numericalexperiments show that the proposed method have better effect on texture image denoising，especially on keeping the texture information，the linear structure and smoothness of the texture.

wavelet transform；partial differential equations；image denoising； texture

TP391.41

A

10.3969／j.issn.1001-5078.2013.08.022

1001-5078（2013）08-943-04

陜西省自然科學基礎研究計劃（No.2011JE011）；陜西省教育廳專項科研基金（No.2013JK0602）資助。

張力娜（1978－），女，講師，碩士，研究方向為圖像處理，小波分析。

2013-01-14