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      完全零單半群的某些性質(zhì)

      2013-06-01 12:30:13崔菊芬張建剛
      關(guān)鍵詞:阿貝爾夾心單子

      崔菊芬,張建剛

      (上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院,上海 200234)

      完全零單半群的某些性質(zhì)

      崔菊芬,張建剛

      (上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院,上海 200234)

      討論了完全零單半群S的夾心陣P和結(jié)構(gòu)群G的交換性對(duì)其性質(zhì)的影響,推廣了完全單半群中的相應(yīng)結(jié)果,研究了當(dāng)S中每個(gè)不含零的子帶均為左零或者右零帶時(shí)S中元素的特征,并進(jìn)一步刻畫了完全零單半群冪等元的逆元的分布情況.

      完全零單半群;完全單半群;夾心矩陣

      1 預(yù)備知識(shí)

      眾所周知,正則半群是半群代數(shù)理論的主要研究對(duì)象.完全零單半群是其中最基礎(chǔ)的一個(gè)子類,它們?cè)谡齽t半群中起著重要的作用.因此,關(guān)于這類半群的研究一直受到許多人的重視.在1928年,俄國(guó)數(shù)學(xué)家СушкеВич系統(tǒng)地研究了特殊的完全零單半群——有限單半群的結(jié)構(gòu),可以看做是完全零單半群研究的開始.1940年,Rees.D討論了任意完全零單半群的結(jié)構(gòu).Rees的結(jié)論由A.H.Clifford和G.B. Preston在其1961的專著中得到了簡(jiǎn)潔而優(yōu)美的表述[1],A.H.Clifford和G.B.Preston稱之為Rees定理.

      由Rees定理,每一個(gè)完全零單半群都同構(gòu)于一個(gè)Rees矩陣半群M0[G;I,Λ;P].通過對(duì)集合I,Λ的分類,可以得到Rees矩陣半群的非零塊,并可證明它們是完全單子半群.進(jìn)一步將討論S夾心陣P和結(jié)構(gòu)群G的交換性對(duì)S的性質(zhì)的影響.在文章的第二部分分了3個(gè)層次討論了S的性質(zhì).文章的第三部分討論了完全零單半群與純正相關(guān)的一些性質(zhì)以及冪等元的逆元的分布情況.

      定義1.1令S是一個(gè)半群,E(S)表示其冪等元集合.若e∈E(S),稱e為本原冪等元,如果對(duì)任意的f∈E(S),

      定義1.2一個(gè)含0的半群S叫做null半群,若S中任意兩個(gè)元素的乘積是0.

      定義1.3不含0的半群S是單的,若S沒有真理想.含0的半群S叫做零單半群,若

      (i)除{0}和本身之外不再有其他的理想;

      (ii)S2≠{0}.

      零單半群S稱為完全零單半群,如果S含有一個(gè)本原冪等元.

      令G為群,e是G的單位元,I,Λ是兩個(gè)非空集合,令P=(pλi)是一個(gè)Λ×I矩陣,其中元素取自于G0=G∪{0}(稱為G0上的Λ×I矩陣),滿足:

      即P中每行每列都有非零元(稱P正則).

      令S=(I×G×Λ)∪{0},定義S上的運(yùn)算“·”為:?(i,a,λ),(j,b,u)∈S,

      引理1.1[1]如上定義的S是一個(gè)完全零單半群,記為S=M0[G;I,Λ;P].反之,每個(gè)完全零單半群都可以如此構(gòu)造.特別的,若矩陣P中元素均為群G的元素,元素運(yùn)算定義為:

      則S\{0}是一個(gè)完全單半群,記作S=M[G;I,Λ;P].反之,每個(gè)完全單半群都可以如此構(gòu)造.

      令S=M0[G;I,Λ;P]是一個(gè)完全零單半群.其中矩陣P稱為完全零單半群S的夾心陣.對(duì)每一個(gè)i∈I,記Λi={λ∈Λ:pλi≠0};對(duì)每一個(gè)λ∈Λ,記Iλ={i∈I:pλi≠0}.設(shè)εI和εΛ分別為I和Λ上的等價(jià)關(guān)系.它們的定義如下:

      記包含i的εI類為i*,包含λ的εΛ類為λ*.由εI和εΛ的定義可知,矩陣P=(pλi)被分成若干個(gè)子塊i*×λ*,并且對(duì)所有的i∈i*和λ∈λ*,要么pλi= 0,要么pλi≠0.

      定義1.4對(duì)所有的i∈i*,λ∈λ*,都有pλi≠0.則稱i*×λ*是夾心矩陣P的一個(gè)非零塊.反之稱為零塊.

      矩陣P的正則性可以保證對(duì)于每一個(gè)i*,均存在λ*使得i*×λ*是非零塊.

      令S是一個(gè)半群,元素a∈S稱為正則的,如果存在x∈S使得a=axa,若S中每個(gè)元素均正則,則稱S是一個(gè)正則半群.完全(零)單半群是正則半群.S的冪等元集合記作E(S).正則半群稱為純正的,若E(S)是子半群.對(duì)任意的a∈S,如存在x∈S使得a=axa,x=xax,稱x為a的逆元,記a的逆元集合為V(a).令S是一個(gè)半群,定義其上的如下關(guān)系,稱作格林關(guān)系.

      且H=R∩L,D=L R.令a∈S,P為S上的格林關(guān)系,Pa表示a所在的P類.

      文中未定義的術(shù)語和結(jié)論,請(qǐng)參看文獻(xiàn)[2],[3].

      2 完全零單半群中結(jié)構(gòu)群G的交換性對(duì)S的影響

      若一個(gè)半群S有如下性質(zhì),對(duì)于S中的任意元素x,y,都有xy=y(tǒng)x,稱半群S是交換半群(或阿貝爾半群).設(shè)S是一個(gè)正則半群,E(S)表示其冪等元集合,則由E(S)生成的子半群<E(S)>稱為S的核,記作C(S).在這一部分主要討論完全零單半群中的非零塊隨著夾心陣P和結(jié)構(gòu)群G交換性而產(chǎn)生的變化.假定Rees矩陣半群S=M0[G;I,Λ;P],e是群G的單位元.從P中的元素是可交換的、P包含在G的中心、G是阿貝爾的這3個(gè)層面來討論S非零塊的性質(zhì).

      引理2.1[3]令完全單半群S=M0[G;I,Λ;P],

      (1)對(duì)任意的a≠ 0,La=Sa\{0},Ra=aS\{0}.

      (2)S是正則半群,且僅有兩個(gè)D類,分別為{0}和D=S\{0}.如果a,b∈D,則或者ab= 0,或者ab∈Ra∩Lb,后者發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)La∩Rb包含有一個(gè)冪等元.

      令(0≠)a=(i,g,λ)∈S,由引理2. 1,結(jié)合Rees矩陣半群的運(yùn)算,可以記La=Lλ,Ra=Ri.進(jìn)而Ha=La∩Ra=Lλ∩Ri=Hiλ.容易理解,Hiλ是一個(gè)群,當(dāng)且僅當(dāng)pλi≠ 0,且此時(shí)該群H類的冪等元為(i,是夾心矩陣P的一個(gè)非零塊,即對(duì)所有的i∈i*,λ∈λ*,都有pλi≠ 0,記Si*×λ*=∪{Hiλ:i∈i*,λ∈λ*}.很顯然Si*×λ*是一些群的并.相應(yīng)的稱Si*×λ*是完全零單半群S的非零塊,類似的,可以定義完全零單半群S的零塊.對(duì)完全零單半群S的每一個(gè)H類必屬于某一個(gè)零塊或非零塊.

      定理2.1設(shè)S為完全零單半群.則S每一個(gè)非零塊構(gòu)成S的完全單子半群;S的每個(gè)零塊和0構(gòu)成S的null子半群.

      證明不失一般性,設(shè)

      若Si1*×λ3*構(gòu)成S一個(gè)非零塊.則對(duì)于任意的有pλi≠0成立,且Hiλ為群H類.由引理2.1(1),Hi1λ3,Hi1λ4在同一個(gè)R中,從而Hi1λ3∪Hi1λ4構(gòu)成子半群,同理可以證明,Hi2λ3∪Hi2λ4,Hi1λ3∪Hi2λ3,Hi1λ4∪Hi2λ4構(gòu)成子半群.任意的a∈Hi1λ3,b∈Hi2λ4,由于pλ 4,i2≠ 0,由引理2.1(2),ab∈Hi1λ4?eq Si1*×λ3*,從而Si1*×λ3*構(gòu)成子半群.又因?yàn)镾i1*×λ3*僅有一個(gè)D類,所以它是S的一個(gè)完全單子半群.

      若Si1*×λ3*構(gòu)成S的一個(gè)零塊.則對(duì)于任意的i∈,λ∈,有pλi=0成立.對(duì)任意的a,b∈Hiλ,由引理2.1(2),ab=0.對(duì)任意的,由引理2.1 (2),ab=0.從而,S的每一個(gè)零塊添零后均為S的一個(gè)null子半群.定理證畢.

      以下討論P(yáng),G中元素的交換性對(duì)完全零單半群S的影響.完全單半群S稱為過阿貝爾的,如果對(duì)任意的e∈E(S),He為阿貝爾群.

      引理2.2[2]對(duì)于完全單半群S=M[G;I,Λ;P],若P中的元素是可交換的,則S滿足恒等式ax0a0y0a=ay0a0x0a.

      定理2.2若P中的元素是可交換的,則對(duì)S的每一個(gè)非零塊Si*×λ*,

      (1)C(Si*×λ*)是過阿貝爾的.

      (2)對(duì)任意的e,f,g,h∈E(Si*×λ*),若ef H gh,則有efgh=ghef.

      (3)Si*×λ*作為S的完全單子半群滿足恒等式ax0a0y0a=ay0a0x0a.

      證明(1)設(shè)e1,…,em,f1,…,fn∈E(Si*×λ*),則e1…em,f1…fn∈C(Si*×λ*).若e1…emH f1…fn,為方便,不妨取由完全零單半群的乘法及假設(shè)條件可知道,i=k,u=θ.不妨假設(shè):

      其中a,b均為P中元素或者P中元素作為群G的子群<P>中元素的逆元的乘積.由條件P中的元素是可交換,進(jìn)而,P中的元素與子群<P>中元素的也交換,從而P中的元素與a,b都交換,故

      所以C(Si)是過阿貝爾的.

      (2)由(1)容易得到.(3)由引理2.2可得.

      完全單半群稱為中心的,如果任意兩個(gè)冪等元的乘積落在其所在最大子群的中心里面.

      引理2.3[2]對(duì)于完全單半群S=M[G;I,Λ;P],若P屬于是G的中心,則S滿足恒等式a0x0a=ax0a0.

      定理2.3若P屬于是G的中心,則對(duì)S的每一個(gè)非零塊Si*×λ*,

      (1)Si*×λ*是中心的.

      (2)Si*×λ*作為S的完全單子半群滿足恒等式a0x0a=ax0a0.

      證明(1)對(duì)任意的u).顯然Hiμ是包含ef的極大子群.

      對(duì)任意的a=(i,g,u)∈Hef,因?yàn)镻是G的中心,

      故ef落在包含它的極大子群的中心里面.由e,f的任意性,得證.

      (2)由(1)及引理2.3可得.

      引理2.4[2]對(duì)于完全單半群S=M[G;I,Λ;P],若G是阿貝爾的,則S滿足恒等式a0xa=axa0.

      定理2.4若G是阿貝爾的,則對(duì)S中任意的非零塊Si*×λ*,

      (1)Si*×λ*是過阿貝爾的.

      (2)Si*×λ*作為S的完全單子半群滿足恒等式a0xa=axa0.

      證明 (1)Si*×λ*是S的完全單子半群,且它的結(jié)構(gòu)群也為G.完全單半群的每一個(gè)H類都同構(gòu)與G,由于G阿貝爾的,所以Si*×λ*是過阿貝爾的.

      (2)由(1)及引理2.4可得.

      3 純正性質(zhì)

      正則半群S稱為純正的,如果冪等元集合E(S)構(gòu)成子半群.特別的,對(duì)于完全零單半群S=M0[G;I,Λ;P],若S純正,則任意的,由引理2.1可得兩種情形成立:

      定理3.1令S=M0[G;I,Λ;P]為一個(gè)完全零單半群,且S是純正半群.對(duì)任意的i,j∈I,λ,u∈Λ,若pλi,puj≠ 0,則

      證明必要性顯然,只需證明充分性.

      同樣的方法,可以證明其他情形,從而證明了B={e,f,g,h}為一個(gè)子帶,且B中不含零.

      又因?yàn)棣耍絬或者i=j(luò),不妨設(shè)λ=u且i≠j,即e L f.下證對(duì)任意的g∈B,有g(shù) L e成立.

      重復(fù)上面過程計(jì)算gf,結(jié)合λ=u,可得

      由(3.1),(3.2)可知ξ=λ=u,即g L e.從而B為左零帶.類似的,若λ≠u且i=j(luò),則B為右零帶.定理證畢.

      [1] CLIFFORD A H,PRESTON G B.The algebraic theory of semigoups[M].Rhode Island:Mathematical Surveys of the A-merican Mathematical Society,No7 Providence,R I,1961.

      [2] PETRICH M,REILLY N.Completely Regular Semigroups[M].New York:John Wiley&Sons Inc,1999.

      [3] HOWIE JM.Fundamental of Semigruop Theory[M].Oxford:Oxford Clarendon Press,1995.

      Some properties of com pletely 0-sim ple sem igroups

      CUIJufen,ZHANG Jiangang
      (College of Mathematics and Sciences,Shanghai Normal University,Shanghai 200234,China)

      We consider the properties of completely 0-simple semigroup S when the sandwichmatrix P and G are Abelian,and generalize the corresponding results for completely simple semigroups.The elements of S are characterized if the subband of S is a left zero band or a right zero band.And then we characterize the inverses of idempotents of S.

      completely 0-simple semigroup;completely simple semigroup;sandwichmatrix

      O 152.7

      A

      1000-5137(2013)02-0120-05

      (責(zé)任編輯:馮珍珍)

      2013-01-12

      國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目( 11201305,11001046);上海市教委創(chuàng)新項(xiàng)目(12YZ081)

      崔菊芬(1987-),女,上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院碩士研究生;張建剛(1977-),男,上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院副教授.

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