開關磁阻電機的三維有限元分析

熊春宇 王艷芹 吳春梅 李欣欣

(大慶師范學院物理與電氣信息工程學院，黑龍江 大慶 163712)

0 引言

目前，二維有限元分析在開關磁阻電機的磁場計算過程中得到了廣泛應用。但受到理論知識不足的影響以及硬件條件的限制，很少有對開關磁阻電機整個場域進行三維有限元分析的研究。二維有限元分析在搭建模型時采用分步建模，這會存在一定的誤差，不具有通用性。同時，由于模型簡化帶來的誤差，對計算值也有較大的影響［1］。本文采用的三維建模方法正是基于整體建模的方法，利用三維有限元數(shù)值進行分析計算，可以準確描述開關磁阻電機的端部磁場效應，使磁場的計算更為精確。

1 三維有限元與二維有限元的比較

二維有限元分析對計算機硬件環(huán)境要求不高，計算速度較快。在對端部效應要求不嚴格的情況下，該方法也能基本滿足有限元分析的要求;而且與解析法相比較，該方法所得到的結果也較為理想，在電磁場分析中也得到了一定的應用。二維有限元在研究時忽略了端部磁場效應，而當轉子在極對槽的位置附近時端部磁場效應是比較嚴重的。由端部磁場效應引起的誤差可能會達到33%左右，這種誤差在一些要求較高的電磁計算中是不能被忽略的。采用二維計算時，只能計算繞組的平面有效部分，而無法計算端部特性和端部漏感，從而無從考慮端部效應對電感和轉矩等電機參數(shù)的影響。解決以上這些問題的有效方法就是采用三維有限元數(shù)值計算［2］。

2 開關磁阻電機的三維電磁場分析

由于開關磁阻電機在不對齊位置下端部的磁場非常嚴重，要精確計算電機的磁鏈特性，就必須采用三維有限元分析法［3］。雖然三維有限元方法早在1980年就用于電機的磁場計算，但長期以來，廣大研究人員仍采用二維有限元計算，然后再用修正系數(shù)補償端部磁場的計算誤差［4］。其根源在于三維有限元分析對計算機硬件環(huán)境要求很高，且三維電磁場分析有限元軟件不易獲得。

本文采用有限元分析軟件ANSYS，完成開關磁阻電機的三維有限元分析。

2.1 三維有限元模型

本文對一臺3 kW、四相(8/6極)開關磁阻樣機進行三維有限元分析，電機結構尺寸如表1所示。

表1 樣機結構尺寸Tab.1 Structure sizes of the prototype

根據(jù)樣機的結構參數(shù)，建立的開關磁阻電機三維有限元模型如圖1所示。

圖1 三維有限元模型Fig.1 Three-dimensional finite element model

2.2 基本假設

考慮到三維有限元分析的基本原理及求解方式，再結合電機的實際結構，在進行三維有限元分析前，作如下基本假設［5］。

①單位長度的導線上，電流處處相等;

②電機定轉子及轉軸的材料磁化曲線是單值函數(shù);

③不考慮電機軸，且認為電機外殼和電機軸不會產生漏磁;

④忽略軸承及軸承室的影響，整個電機軸具有相同的直徑。

2.3 數(shù)學方程

在三維計算中，采用標量磁位φ對開關磁阻電機進行有限元分析。這里引入一個新的概念“跑道線圈”，它可以作為一個特殊的單元，區(qū)別于電機剖分單元。采用跑道線圈來表示電流源，對電機施加載荷［6］。這樣做的好處是在有限元模型剖分時，不必考慮電流源的作用，而是把它當作剖分模型以外的部分。對于無源靜態(tài)磁場，可以將麥克斯韋方程寫成如下形式:

在電機定轉子極部和軛部，磁場可用磁標量ψ表示為:

假設在鐵磁材料與空氣的交界處有A、B兩點，在這兩點處的磁標量可表示為:

所求得的整個場域上邊值問題為:

式中:Ω1、Ω2分別為電機內外圓周表面。

采用三維有限元分析，在進行有限元剖分之前，需要確定剖分對象的形狀函數(shù)?？紤]到計算機硬件環(huán)境的限制以及剖分的效果，本文采用四面體單元進行分析求解［7］。四面體剖分單元如圖2所示。

圖2 四面體剖分單元Fig.2 Tetrahedralization split unit

四面體單元由四個三角形構成，單元的四個節(jié)點分別用a、b、c、d表示，并按照右手螺旋關系編號。四面體單元內任一位置的磁位ue為x、y、z的線性函數(shù)，可表示為:

設節(jié)點 a、b、c、d 對應的坐標分別為(xa，ya，za)、(xb，yb，zb)、(xc，yc，zc)、(xd，yd，zd)，對應的磁位分別為，則有:

由式(6)可得 α1、α2、α3和 α4，并將結果代入式(5)，可得:

式中:k=a，b，c，d。

式中:x、y、z為單元e內P點的坐標;Vc為P點和面bcd所組成的子四面體的體積。

式中:Vb為P點和面acd所組成的子四面體的體積;Vc為P點和面bcd所組成的子四面體的體積;Vd為P點和面abc所形成的子四面體的體積。

3 三維有限元分析的前處理

三維有限元分析包括電機模型的建立、單元類型定義、模型賦材質和網(wǎng)格劃分［8］。

在三維模型的建立過程中，需要考慮鐵心的長度(取為0.18 m)。本文采用圖形用戶界面(graphical user interface，GUI)方式對電機整體建模。當電機位置角θ=30°時的三維模型如前文圖1所示，經(jīng)搭接后，將各實體之間的縫隙消除，實現(xiàn)真正意義上的相關聯(lián)。

本文采用的三維剖分單元是SOLID98四面體單元，該四面體有10個節(jié)點。SOLID98單元不用設置實常數(shù)，模型中的材料區(qū)域包括空氣、鐵磁材料和繞組，其中，通電線圈采用ANSYS提供的跑道線圈。三維分析中定義的材料參數(shù)如下。

①空氣區(qū)的相對磁導率為1.0;

②鐵磁材料的B-H曲線根據(jù)廠家提供參數(shù)取近似單值函數(shù);

③繞組部分統(tǒng)一分配，相對磁導率為1.0。

對電機賦完材質后的模型如圖3所示。其中，圖3(a)為最大電感位置即θ=30°時的模型，圖3(b)為最小電感位置θ=0°時的模型。將賦完材質的所有實體用粘接(GLUE)命令融合到一起，使各實體邊界融合，以滿足第二類邊界條件。

圖3 三維賦材質模型Fig.3 Three-dimensional material model

由于三維網(wǎng)格劃分對計算機硬件環(huán)境要求較高，在確保計算準確度的同時，減小工作量，采用適當?shù)木_度剖分實體模型，所得三維網(wǎng)格剖分示意圖如圖4所示。

圖4 三維網(wǎng)格剖分示意圖Fig.4 Three-dimensional mesh split

從圖4可以看出，在定轉子極間氣隙處，網(wǎng)格劃分較密;而在其他部分，由于飽和現(xiàn)象不嚴重，剖分單元較大。跑道線圈是一個獨立的基元，不進行網(wǎng)格劃分。在剖分時可以忽略跑道線圈的存在，它對剖分結果無任何影響，只需在電流起作用的情況下考慮即可。

4 邊界條件及載荷

三維有限元分析的求解區(qū)域是完整的電機模型。對整個立體圓周進行研究時，只考慮滿足第一類邊界條件，忽略第二類邊界條件，計算可得在與磁力線垂直的磁標量位MAG=0。采用GUI或宏命令FMAGBC施加力的標志與二維分析的情況相同，它們均將轉子定義為組件，并標志力和力矩。

在三維有限元分析過程中，引入了磁標勢的概念。這時將電流源作為一個特殊的單元處理，它與電機的模型是兩個獨立的部分，定義電流源的單元屬性為SOURCE36。這樣做的好處是使電流源的作用不受電機模型的影響，易于建立電機模型，并便于施加載荷。跑道線圈的示例圖如圖5所示。

圖5 跑道線圈Fig.5 Racetrack coil

“跑道線圈”考慮了電機定子繞組的端部效應，充分反映了電機繞組的實際結構。

5 三維有限元分析的求解

采用三維有限元方法分析靜態(tài)磁場時，通常采用磁標勢法［9］。磁標勢法分為以下三種分析方法。

①簡化標勢法:該方法用于分析無鐵區(qū)或無電流源的模型;

②差分標勢法:該方法用于有鐵區(qū)，但是鐵區(qū)不為磁場形成閉合回路的模型;

③通用標勢法:該方法用于含鐵區(qū)，且鐵區(qū)又為磁場提供閉合回路的場合。

經(jīng)過考慮，本文采用通用標勢法對電機磁場進行求解。選擇靜態(tài)磁場分析，采用通用標勢法，設置收斂精度為 0.001，完成求解［10］。

6 后處理及結果分析

當電流為16 A時電機的磁感應強度分布如圖6所示。

圖6 磁感應強度分布Fig.6 Distribution of magnetic induction density

磁感應強度矢量分布如圖7所示。磁感應強度的大小充分反映了開關磁阻電機內部電磁場的強弱分布。從圖7可以看出，在通電線圈附近，磁場較強，其他處磁場較弱。

圖7 磁感應強度矢量分布Fig.7 Distribution of magnetic induction vector

磁場強度分布如圖8所示。

圖8 磁場強度分布Fig.8 Distribution of magnetic field intensity

磁場強度矢量分布如圖9所示。磁場強度的分布反映了電機磁場源的強弱。根據(jù)磁感應強度的分布規(guī)律也可以看出，磁通總是沿著磁阻最小的路徑閉合。在磁路的方向上，極間漏磁通分布較亂，特別在最小電感位置，除定轉子極的主磁通路徑外，其他部分磁通較亂。同時可知，電機存在嚴重的局部飽和現(xiàn)象，最嚴重區(qū)域在定轉子極附近，這也說明端部效應對結果會有很大的影響，體現(xiàn)了三維有限元分析的必要性。磁場強度最大值集中在定轉子極間氣隙。

圖9 磁場強度矢量分布Fig.9 Distribution of magnetic field intensity vector

7 結束語

本文對開關磁阻樣機進行了三維有限元分析［11－14］，考慮了端部效應對磁場分布的影響，構建了三維分析下的數(shù)學模型。該模型的特別之處在于三維有限元分析加載電流時提出了“跑道線圈”這一概念，在考慮了端部效應的同時，也解決了立體模型施加載荷時出現(xiàn)的方向選擇困難的問題。采用通用磁標勢法對非線性方程組進行求解，得出了最大電感和最小電感位置處的磁感應強度和磁場強度分布。

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