高等數(shù)學(xué)極限求解再思考

王曉輝

【摘 要】高等數(shù)學(xué)作為高職院校理工科專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程受到高職院校師生的普遍重視，數(shù)列和函數(shù)的極限求解作為高等數(shù)學(xué)的重要組成部分之一，也一直受到人們的普遍關(guān)注。文章闡述了高等數(shù)學(xué)極限求解的幾種方法和趣味教學(xué)法。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；極限求解；思考

高等數(shù)學(xué)極限思想的歷史悠久，它可以追溯到我國(guó)先秦時(shí)期著名的哲學(xué)家、思想家、道家主要?jiǎng)?chuàng)始人之一的莊子，其著名著作《天下篇》有云：“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”，體現(xiàn)了我國(guó)最早的極限思想。西方有約公元前490-425古希臘芝諾的阿基里斯追龜悖論和約公元前480-410的古希臘安蒂豐的用內(nèi)接正多邊形逼近圓的面積的極限思想等，這些極限思想只是哲學(xué)上的思想，如今，人們已經(jīng)把極限從理論運(yùn)用到實(shí)際中。而且，作為高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，極限的教學(xué)普遍受到人們的關(guān)注。

一、高等數(shù)學(xué)極限求解的若干方法的思考

極限是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，數(shù)列和函數(shù)的極限又是高等數(shù)學(xué)極限的兩個(gè)最重要的組成部分。目前，數(shù)列和函數(shù)的極限在計(jì)算機(jī)、經(jīng)濟(jì)、通信和自動(dòng)化等許多領(lǐng)域有著普遍的應(yīng)用。關(guān)于高等數(shù)學(xué)極限求解的方法在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教材或者高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教材中只做了簡(jiǎn)單介紹，經(jīng)過(guò)參考各類高等數(shù)學(xué)極限求解的文獻(xiàn)，文章總結(jié)歸納了以下幾種方法。

（一） 利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)求解高等數(shù)學(xué)極限的方法思考

連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)是連續(xù)函數(shù)在某一點(diǎn)處的極限值等于該點(diǎn)函數(shù)的函數(shù)值。例如：如果f（x）=x+1，那么

這種極限求解法完全是利用f（x）中x在2處的極限值直接帶入求解的，這種方法簡(jiǎn)單明了，可以一眼看出該函數(shù)求解的過(guò)程和極限求解的結(jié)果。當(dāng)然這只是正對(duì)簡(jiǎn)單函數(shù)的求解，對(duì)于復(fù)雜的函數(shù)極限求解，利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)求解極限這一方法就行不通了。例如：如果f（x）=x+1，求復(fù)雜函數(shù) 的極限值，這樣的復(fù)雜函數(shù)如果也用上述連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)求解，那么分母是零，而列數(shù)求解中分母是不能為零沒(méi)有意義的，所以基礎(chǔ)數(shù)學(xué)或者高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中分?jǐn)?shù)的分母不能為零。所以，運(yùn)用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在該函數(shù)的某一點(diǎn)的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值這個(gè)方法來(lái)求解 這個(gè)復(fù)雜函數(shù)是行不通的。但是可以先運(yùn)用通分法再運(yùn)用分子分母約分法，最后用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)求解這個(gè)復(fù)雜函數(shù)的極限。例如： = ，到這里運(yùn)用分子分母式子相同約分法，那么這個(gè)復(fù)雜函數(shù)就被簡(jiǎn)單化了，這個(gè)復(fù)雜函數(shù)簡(jiǎn)化為 ，然后運(yùn)用連續(xù)函數(shù)性質(zhì)求解函數(shù)極限，例如： = =2+3=5

（二）利用有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍然為無(wú)窮小來(lái)求解極限的方法思考

雖然運(yùn)用通分法、約分法和連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)法的結(jié)合可以求解許多復(fù)雜函數(shù)的極限，但是還是有許多函數(shù)是以上方法所不能解的，例如： 對(duì)于這個(gè)函數(shù)的極限，以上方法是不能求出它的極限的。那么，可以運(yùn)用有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍然為無(wú)窮小來(lái)求解這個(gè)函數(shù)的極限。

三角函數(shù)是高等數(shù)學(xué)函數(shù)極限求解最常見(jiàn)的函數(shù)極限求解，而常用的有界函數(shù)就是三角函數(shù)，如f（x）=x+1和f（x）= 都屬于有界函數(shù)。例如： 這個(gè)極限函數(shù)中的x為x到0時(shí)的無(wú)窮小，xsin 為x到0的有界函數(shù)，按照方法有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍然為無(wú)窮小來(lái)求解這個(gè)函數(shù)的極限，xsin 仍是x到0的極限，所以這個(gè)極限求解出來(lái)就是0。

（三）利用極限的運(yùn)算法則和恒等變換來(lái)求解極限的方法思考

極限的運(yùn)算法則主要是四則運(yùn)算法、無(wú)窮小的性質(zhì)等法則，而恒等變換則包括通分、約分、比較最高次冪、變量替換等等法。

1、無(wú)窮小的性質(zhì)

無(wú)窮小的性質(zhì)是有限個(gè)無(wú)窮小的和，乘積仍然為無(wú)窮小。例如： a（x+x2+x3）的極限值仍然為0。

2、極限的四則運(yùn)算法則

極限的四則運(yùn)算法則的公式是如果 =A， =B，那么 [f（x）+g（x）]= + =A+B。用具體數(shù)字舉例說(shuō)明是 f（x）=3， g（x）=4，那么 [f（x）+g（x）]= f（x）+ g（x）=3+4=7。

3、約分法和通分法

約分法和通分法通常是結(jié)合起來(lái)運(yùn)用的，約分法是約去式子中等于0的因子，通分法是通過(guò)通分把函數(shù)化簡(jiǎn)為連續(xù)函數(shù)進(jìn)行求解。約分法試用于分子是0分母也為0型的極限的求解，而通分法則試用于∞±∞的極限求解。例如： 這個(gè)函數(shù)在極限求解過(guò)程中同時(shí)運(yùn)用了約分法和通分法兩種方法。

4、分子分母有理化

分子分母有理化比較適合分子、分母中存在根號(hào)的情況，它是通過(guò)分子分母有理化分解后，運(yùn)用約分法約去0因子的方法求極限的。例如： = = = = = 2

5、比較最高冪法和拆項(xiàng)消去法

比較最高冪法和拆項(xiàng)消去法一般比較適用于數(shù)列求極限。比較最高冪法是通過(guò)比較分子分母的最高次冪來(lái)求解極限的，在求解極限運(yùn)用中一般是分子的最高次冪高就是無(wú)窮大，如果是分母的次冪高就為0，如果兩者的最高次冪相同，那么該式子的極限為最高次冪的系數(shù)之比。拆向消去法一般結(jié)合分析通項(xiàng)約除中間項(xiàng)來(lái)求式子極限，這種極限求解法常運(yùn)用在數(shù)列無(wú)窮項(xiàng)求和的問(wèn)題中。

例如：（1） ， = ， （比較最高次冪法）

（2） = （拆向消除法）

（四）金蟬脫殼法

金蟬脫殼在孫子兵法書上是指通過(guò)布置障眼法先穩(wěn)住敵人，在敵人的視野內(nèi)留一小部分老弱病殘的軍隊(duì)，把自家的主力悄悄抽走，使之脫離敵人設(shè)計(jì)的陷阱。而在高等數(shù)學(xué)極限求解中金蟬脫殼主要是運(yùn)用兩個(gè)重要極限的過(guò)程中，保留式子的形式達(dá)到相同因子約去的方法來(lái)求解極限的。例如：

（1）如果 =1，那么 = =

（五）夾逼法則

夾逼法則主要用來(lái)求解分母按遞增或者遞減次序排列的無(wú)窮數(shù)列求和的極限求解。

例如：（1）求極限 （夾逼法則求解）

因?yàn)?，且 = =0所以這個(gè)極限的值就是0。

在以上幾種高等數(shù)學(xué)極限求解的方法，是依據(jù)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)教材和其它資料總結(jié)歸納出來(lái)的，在高等數(shù)學(xué)極限求解中往往需要幾種方法聯(lián)合起來(lái)才能進(jìn)行極限求解，要想在極限求解中得心應(yīng)手多加練習(xí)方為上策。

二、高等數(shù)學(xué)極限求解的教學(xué)方法

極限思想是人們探索有限、無(wú)限問(wèn)題不斷深化過(guò)程中取得的，從無(wú)限思想萌芽到現(xiàn)在的完善，歷經(jīng)了將近2000年的時(shí)間，可以稱的上是數(shù)學(xué)史上一次跨千年漫長(zhǎng)的旅途。對(duì)于現(xiàn)在職業(yè)學(xué)院的學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)好高等數(shù)學(xué)，對(duì)學(xué)生的各方面都有好處甚至有利于學(xué)生的心理健康發(fā)展。而極限求解作為高等數(shù)學(xué)至關(guān)重要的組成部分，又是一個(gè)比較難的部分，如果學(xué)生學(xué)會(huì)了這部分，對(duì)學(xué)生的高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)會(huì)起很大幫助，如果學(xué)生不能把握這部分，會(huì)對(duì)高等數(shù)學(xué)失去學(xué)習(xí)的興趣。作為高等數(shù)學(xué)的教師如何教學(xué)生學(xué)好極限求解這部分內(nèi)容至關(guān)重要。由于高等數(shù)學(xué)的枯燥乏味，很多學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)這門學(xué)科，其中女生占大多數(shù)。對(duì)此，職業(yè)學(xué)院的教師引進(jìn)極限求解興趣教學(xué)法對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)極限求解這部分會(huì)大有助益。

（一）數(shù)學(xué)史極限概念

學(xué)生往往比較喜歡聽(tīng)故事，數(shù)學(xué)教師可以在講解極限教學(xué)之前翻閱一些資料，把數(shù)學(xué)史的極限概念的形成過(guò)程編成一個(gè)接一個(gè)的小故事，在課堂上講給學(xué)生聽(tīng)，在故事中參雜極限求解的概念和極限求解的方法。多講歷史故事，少講定義，是一種比較吸引學(xué)生的教學(xué)方法，教師利用學(xué)生的這個(gè)興趣點(diǎn)，展開(kāi)自己的教學(xué)，在極限求解這部分中，能幫助學(xué)生盡快的掌握這部分知識(shí)。這種教學(xué)方法，正是驗(yàn)證了我國(guó)春秋時(shí)期偉大的教育家、儒家學(xué)派創(chuàng)始人孔子的“知之者不如好之者，好之者不如樂(lè)之者”的名言。比如：教師可以從戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的莊子一直講到現(xiàn)代極限求解的現(xiàn)實(shí)運(yùn)用。讓學(xué)生了解歷史的同時(shí)還了解到極限在日常生活中的實(shí)際應(yīng)用，這樣學(xué)生就可以在趣味中不知不覺(jué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史極限的概念了。

（二）用極限簡(jiǎn)潔、嚴(yán)格精美的語(yǔ)言描述

極限的概念一般的人會(huì)認(rèn)為是維爾斯特拉給出的。1717-1783年，法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾明確的提出極限就是微積分的基本概念。到了19世紀(jì)，一些數(shù)學(xué)家根據(jù)以前的研究，重建了微積分的基礎(chǔ)，如極限、函數(shù)的連續(xù)性等都被重新構(gòu)建。但是，這種構(gòu)建并不完善，因而引來(lái)了許多數(shù)學(xué)家的質(zhì)疑，后來(lái)18i5-1897年，德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾特拉斯完善了極限的概念，成功實(shí)現(xiàn)極限概念的代數(shù)化。有了極限概念后，無(wú)窮小量的問(wèn)題才得到解決。

（三）用極限概念蘊(yùn)藏的人生哲理啟示學(xué)生

很多東西學(xué)精之后，發(fā)現(xiàn)世界的萬(wàn)事萬(wàn)物都是相通的，高等數(shù)學(xué)極限概念中也蘊(yùn)含了深刻的人生哲理。從極限的概念可以看出很多哲理，比如：不要小看每天一點(diǎn)點(diǎn)的改變，時(shí)長(zhǎng)日久，水滴也可以穿石，每天小的積累一直堅(jiān)持下去會(huì)有大的收獲。數(shù)學(xué)教師可以告訴學(xué)生極限教大家的哲理就是做任何事情一定要堅(jiān)持，如果感覺(jué)學(xué)極限求解比較難，那么每天堅(jiān)持進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，永不放棄，最終會(huì)學(xué)會(huì)高等數(shù)學(xué)的極限部分。在哲學(xué)上的量變質(zhì)變規(guī)律揭示了事物發(fā)展變化形式上具有的特點(diǎn)，從量變開(kāi)始，質(zhì)變是量變的終結(jié)。這是極限概念所表達(dá)的最高境界，也是教師教書育人的最高境界。

三、結(jié)束語(yǔ)

極限求解作為高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，先后受到多層人士的重視，作為高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，也須對(duì)極限求解這部分高度重視。文章先詳細(xì)闡述了利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)求解高等數(shù)學(xué)極限、利用有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍然為無(wú)窮小來(lái)求解極限、利用極限的運(yùn)算法則和恒等變換來(lái)求解極限、金蟬脫殼法四個(gè)求解高等數(shù)學(xué)極限的方法，結(jié)尾簡(jiǎn)單闡述了幾個(gè)其它方法，最后又從三部分探討了極限興趣教學(xué)法。

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