小區(qū)域礦區(qū)測(cè)繪中七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型研究及實(shí)現(xiàn)

賀小燕 秦科勒

【摘 要】目前國(guó)家礦區(qū)基礎(chǔ)測(cè)繪目普遍采用西安80坐標(biāo)系，在進(jìn)行控制測(cè)量時(shí)必將涉及54坐標(biāo)系與80坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換問(wèn)題。本文在分析七參數(shù)Bursa Wolf轉(zhuǎn)換模型的基礎(chǔ)上，利用最小二乘分解法解決了矩陣求逆過(guò)程中出現(xiàn)的數(shù)值不穩(wěn)定問(wèn)題，并基于VC++平臺(tái)實(shí)現(xiàn)了兩種坐標(biāo)系統(tǒng)間的轉(zhuǎn)換問(wèn)題。根據(jù)內(nèi)蒙古包頭哈不沁鐵礦測(cè)量點(diǎn)，對(duì)部分GPS網(wǎng)控制點(diǎn)進(jìn)行54坐標(biāo)與80坐標(biāo)的計(jì)算轉(zhuǎn)換試驗(yàn)，該模型簡(jiǎn)單、方便、可行，具有一定的實(shí)用意義。

【關(guān)鍵詞】坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算法；七參數(shù)；GPS；最小二乘分解法

隨著GPS技術(shù)的廣泛應(yīng)用，以WGS84坐標(biāo)系統(tǒng)成果越來(lái)越多。我國(guó)法定的國(guó)家大地坐標(biāo)系為北京54坐標(biāo)系和西安80坐標(biāo)系，北京54坐標(biāo)系采用的參考橢球?yàn)榭死鞣蛩够鶛E球體，而西安80坐標(biāo)系采用的參考橢球?yàn)镮AG75橢球體[1]。目前國(guó)家基礎(chǔ)測(cè)繪及一些工程項(xiàng)目普遍采用西安80坐標(biāo)系，在進(jìn)行控制測(cè)量時(shí)必將涉及54坐標(biāo)系與80坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換問(wèn)題。宗剛軍等[2]對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算法做了相關(guān)研究。本文在分析七參數(shù)Bursa Wolf轉(zhuǎn)換模型的基礎(chǔ)上，利用最小二乘分解法解決了矩陣求逆過(guò)程中出現(xiàn)的數(shù)值不穩(wěn)定問(wèn)題，并基于VC++實(shí)現(xiàn)了兩種坐標(biāo)系統(tǒng)間的轉(zhuǎn)換問(wèn)題。根據(jù)內(nèi)蒙古包頭哈不沁鐵礦測(cè)量點(diǎn)，對(duì)部分GPS網(wǎng)控制點(diǎn)進(jìn)行54坐標(biāo)與80坐標(biāo)的計(jì)算轉(zhuǎn)換試驗(yàn)，該模型簡(jiǎn)單、方便、可行，具有一定的實(shí)用意義。

1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換求解模型

在大地測(cè)量坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中，廣泛使用七參數(shù)Bursa Wolf轉(zhuǎn)換模型[3-4]解決54坐標(biāo)系至80坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換問(wèn)題，其模型為：

式中：X0、Y0、Z0是平移參數(shù)； 、 、 是旋轉(zhuǎn)參數(shù)；X54、Y54、Z54是大地點(diǎn)在舊坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；X80、Y80、Z80是大地點(diǎn)在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

上述矩陣模型的線(xiàn)性方程組表達(dá)式如下：

在具體轉(zhuǎn)換時(shí)先選用最好選用4組重合點(diǎn)（X54，Y54，Z54）和（X80，Y80，Z80），采用最小二乘法解算出方程中的轉(zhuǎn)換參數(shù)[5-7]，然后利用上述方程式實(shí)現(xiàn)其他數(shù)據(jù)的統(tǒng)一轉(zhuǎn)換。

2最小二乘分解法

在用最小二乘法求解轉(zhuǎn)換參數(shù)時(shí)涉及矩陣的求逆運(yùn)算，以式（3）為例，其誤差方程的系數(shù)陣A為N*7階，其中N為公共點(diǎn)數(shù)目。利用最小二乘法時(shí)需要求ATBA的逆矩陣，也即求一個(gè)7*7階矩陣的逆矩陣，并且對(duì)于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換而言，坐標(biāo)數(shù)據(jù)一般較大，因此很容易導(dǎo)致求逆的數(shù)值不穩(wěn)定。一種合理的解決方法是采用最小二乘分解法[8]，將系數(shù)矩陣A分解為：

這樣通過(guò)上式無(wú)需通過(guò)矩陣求逆即可得到轉(zhuǎn)換參數(shù)S的最小二乘解。

3算法實(shí)現(xiàn)

3.1定義坐標(biāo)系結(jié)構(gòu)體及轉(zhuǎn)換參數(shù)結(jié)構(gòu)體定義坐標(biāo)系結(jié)構(gòu)體，用CArray地址指針存儲(chǔ)和讀取數(shù)據(jù)。

Typedef struct COORD struct

{double x；double y；double z；}COORD；

typedefCArray CCoordinateArray； //定義坐標(biāo)數(shù)組

定義轉(zhuǎn)換參數(shù)結(jié)構(gòu)體：

Struct CTLSPARA

{doubleX0；doubleY0；doubleZ0；doubleY0；double x；double y；doublez；double k；}

3.2七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算法在已知某一礦區(qū)北京54坐標(biāo)系大地測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)情況下，根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，可計(jì)算相應(yīng)的西安80坐標(biāo)系坐標(biāo)數(shù)據(jù)。針對(duì)矩陣表達(dá)式（3）用最小二乘法解算出其中的轉(zhuǎn)換參數(shù)，具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：

1）輸入一組54坐標(biāo)到坐標(biāo)數(shù)組COORD54和一組80坐標(biāo)到坐標(biāo)數(shù)組COORD80；

2）把矩陣A分解成Q矩陣和R矩陣；

3）根據(jù)式（7）計(jì)算出坐標(biāo)換算參數(shù)（七參數(shù)）：3個(gè)平移參數(shù)X0、Y0、Z0，3個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù) 、 、 和1個(gè)尺度參數(shù)k；

4）把計(jì)算后的參數(shù)代入式（3），計(jì)算相應(yīng)的80坐標(biāo)系的空間間直角坐標(biāo)X80、Y80、Z80。在用最小二乘法求解未知的測(cè)量點(diǎn)數(shù)據(jù)時(shí)，利用QR矩陣分解可避免矩陣求逆過(guò)程中出現(xiàn)的不穩(wěn)定性，使求得的測(cè)量點(diǎn)數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的絕對(duì)值之和最小，從而提高54坐標(biāo)向80坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換精度。

4實(shí)例分析

利用內(nèi)蒙古包頭哈不沁鐵礦的實(shí)際測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)對(duì)程序進(jìn)行驗(yàn)證，從10個(gè)測(cè)量點(diǎn)中選取3個(gè)同名點(diǎn)參與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)的計(jì)算。相應(yīng)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

根據(jù)表1計(jì)算各坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)誤差XAvg、YAvg、ZAvg：

XAvg = dx/10=-0.01105702（m）

YAvg= dy/10=0.0005652328（m）

ZAvg= dz/10=0.001953834（m）

把計(jì)算得到的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)代入式（2），輸入該礦區(qū)測(cè)量點(diǎn)的北京54坐標(biāo)，得到的西安80坐標(biāo)及誤差見(jiàn)表2。

5結(jié)論

本文借助于最小二乘分解算法轉(zhuǎn)換北京54與西安80坐標(biāo)的結(jié)果通過(guò)表2可看出，轉(zhuǎn)換點(diǎn)位誤差最大為1.5cm，最小為0.1cm。該數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單，適于計(jì)算機(jī)編程解算，借助常規(guī)數(shù)字成圖軟件，可以實(shí)現(xiàn)小區(qū)域范圍內(nèi)新、舊坐標(biāo)之間的高精度的快速轉(zhuǎn)換，在控制點(diǎn)本身測(cè)量精度較高的條件下，坐標(biāo)換算誤差很小，可滿(mǎn)足小區(qū)域復(fù)雜礦區(qū)地形圖的測(cè)量要求，在實(shí)際生產(chǎn)科研有一定的應(yīng)用價(jià)值。

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