有限粒子數(shù)效應(yīng)對(duì)任意維量子氣體熱力學(xué)性質(zhì)的影響

陳禮煒

（三明學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，福建三明365004）

有限粒子數(shù)效應(yīng)對(duì)任意維量子氣體熱力學(xué)性質(zhì)的影響

陳禮煒

（三明學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，福建三明365004）

對(duì)于束縛在任意維諧振勢(shì)中的理想玻色氣體和費(fèi)米氣體，有限粒子效應(yīng)對(duì)其熱力學(xué)性質(zhì)將會(huì)產(chǎn)生影響。估計(jì)出在不同的情況下，有關(guān)于各個(gè)熱力學(xué)量的相對(duì)修正。并對(duì)兩種受限量子氣體所得結(jié)果進(jìn)行比較，得出結(jié)論:有限粒子數(shù)效應(yīng)對(duì)于凝聚狀態(tài)下的玻色氣體（玻色氣體在系統(tǒng)中發(fā)生玻色愛(ài)因斯坦凝聚）的影響要比費(fèi)米氣體和正常的玻色氣體（沒(méi)有發(fā)生玻色愛(ài)因斯坦凝聚的玻色氣體）顯著得多。

量子氣體；有限粒子數(shù)；諧振勢(shì)；熱力學(xué)性質(zhì)

近年來(lái)，人們對(duì)于對(duì)限尺度系統(tǒng)的熱力學(xué)性質(zhì)的研究產(chǎn)生了廣泛的興趣[1-6]。這在一定程度上推動(dòng)了介觀物理與納米技術(shù)的發(fā)展。在真實(shí)的系統(tǒng)中，例如在實(shí)驗(yàn)中觀察玻色愛(ài)因斯坦凝聚（BEC）[7-9]以及費(fèi)米氣體的簡(jiǎn)并[10]，原子通常是被束縛在隨著外勢(shì)變化的空間中。在一般情況下，受限的粒子數(shù)量是有限的，所以受限系統(tǒng)的有限粒子數(shù)效應(yīng)對(duì)其性質(zhì)的影響被廣泛地進(jìn)行研究[11-14]。在本文中，將把前人的工作推廣到D維諧振勢(shì)束縛的量子氣體系統(tǒng)，并且比較有限粒子數(shù)對(duì)于受限的玻色氣體和費(fèi)米氣體特性影響的區(qū)別。研究結(jié)果表明，有限粒子數(shù)效應(yīng)對(duì)于凝聚狀態(tài)下的玻色氣體（玻色氣體在系統(tǒng)中發(fā)生玻色愛(ài)因斯坦凝聚）的影響要比費(fèi)米氣體和正常的玻色氣體（沒(méi)有發(fā)生玻色愛(ài)因斯坦凝聚的玻色氣體）顯著得多。

1 費(fèi)米氣體和正常玻色氣體的熱力學(xué)量的一般表達(dá)式

首先考慮沒(méi)有相互作用的量子氣體束縛在D維諧振勢(shì)中，其中D維諧振勢(shì)沿著方向i的頻率為ωi（i=0,1,2，…，D），單粒子能級(jí)表達(dá)式為

其中?=h/2π，h為普朗克常數(shù)。

假設(shè)巨正則系綜可以有效的描述所研究的系統(tǒng)，這是一個(gè)非常重要的假設(shè)。嚴(yán)格地說(shuō)，正則系綜理論可能更適合于真實(shí)的實(shí)驗(yàn)裝置，其中粒子數(shù)量是基本固定的。由于這個(gè)原因，正則系綜的處理方法被廣泛地應(yīng)用于有限量子氣體系統(tǒng)[15-16]。對(duì)于有些統(tǒng)計(jì)量的漲落幅度，用兩種系綜處理之后，卻有可能產(chǎn)生顯著的差異[15]。然而，從兩種系綜出發(fā)所得到的熱力學(xué)量的差別與由分立能譜產(chǎn)生的有限尺度效應(yīng)相比卻是相對(duì)微小的，例如基態(tài)粒子數(shù)N0。因此，巨正則系綜仍然被廣泛應(yīng)用于小系統(tǒng)的尺度效應(yīng)的研究[11-14]。

在巨正則系綜中，系統(tǒng)的巨配分函數(shù)Ξ可以表達(dá)為

其中β=1/kBT，kB是玻爾茲曼常數(shù)，T是溫度，z=exp(βμ）是逸度，μ是系統(tǒng)的化學(xué)勢(shì)。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，與粒子內(nèi)部結(jié)構(gòu)有關(guān)的簡(jiǎn)并暫不考慮。在之前以及之后的方程中，上面的符號(hào)代表的是玻色系統(tǒng)，下面的符號(hào)代表的是費(fèi)米系統(tǒng)。

按照通常的處理方法，在熱力學(xué)極限條件下，就是將（2）式中的求和符號(hào)換成積分符號(hào)，便可以輕松的得到巨配分函數(shù)的表達(dá)式。然而，在粒子數(shù)有限的情況下，這種處理方法可能會(huì)導(dǎo)致顯著的偏差。有關(guān)于對(duì)巨配分函數(shù)的計(jì)算，一種更加精確的處理方法是應(yīng)用歐拉-麥克勞林公式，如式（3）[17]。

只考慮由于有限粒子數(shù)效應(yīng)引起的第一項(xiàng)非零修正，可以得到巨配分函數(shù)的表達(dá)式

其中Γ(v)是伽瑪函數(shù)。注意到方程（4）中不包含基態(tài)的貢獻(xiàn)，且僅對(duì)費(fèi)米氣體和正常的玻色氣體有效。有關(guān)于凝聚狀態(tài)下的玻色氣體的性質(zhì)，將在第4節(jié)單獨(dú)討論。

在費(fèi)米氣體和正常的玻色氣體的情況下，對(duì)于任意取值的v，hv(z)是收斂的。這個(gè)問(wèn)題可以這樣解釋?zhuān)簩?duì)于費(fèi)米氣體，hv(z)可以簡(jiǎn)化為費(fèi)米積分fv(z)[18]，對(duì)于在0＜z＜∞范圍內(nèi)的任意值v，它的值是收斂的。對(duì)于玻色氣體，hv(z)簡(jiǎn)化為玻色積分gv(z)[18]，對(duì)于任意的v，在0＜z＜1范圍內(nèi)收斂，當(dāng)v≤1時(shí)z=1，玻色積分的值發(fā)散。對(duì)于正常的玻色積分，即v為在0＜z＜1范圍內(nèi)的任意值，gv(z)是收斂的。

從巨配分函數(shù)出發(fā)，可以很容易地得到系統(tǒng)的熱力學(xué)量。例如，可以分別得出內(nèi)能E，比熱C的表達(dá)式如(6)～(7)：

為了更清晰地表達(dá)有限粒子數(shù)效應(yīng)對(duì)于熱力學(xué)量的修正，引進(jìn)一個(gè)系數(shù)z0，使得z0滿足

可以很容易看出z0是系統(tǒng)處于熱力學(xué)極限近似情況下的逸度。從方程（8）和方程（9）出發(fā)，僅僅保留到xi的二次方項(xiàng)，可以得出：

通過(guò)方程（6）（7）（9）和（10），可以分別得出系統(tǒng)的內(nèi)能和熱容的表達(dá)式。

以上推導(dǎo)中，僅僅考慮了有限粒子數(shù)效應(yīng)的一級(jí)非零修正項(xiàng)，忽略了有關(guān)于xi的兩級(jí)以上的修正。從方程（3）可以得出，被忽略的第一個(gè)非零項(xiàng)包含了xi的三次方項(xiàng)，這意味著，以上所得結(jié)論的誤差的數(shù)量級(jí)為N-3/D。

2 強(qiáng)簡(jiǎn)并費(fèi)米氣體的情況

對(duì)于強(qiáng)簡(jiǎn)并的費(fèi)米氣體，lnz0＞＞1，通過(guò)索末菲引理，方程可以展開(kāi)為

通過(guò)方程（13），可以得出內(nèi)能E和熱容C的表達(dá)式如式（14）和（15）。

3 強(qiáng)簡(jiǎn)并情況下的玻色氣體

在玻色系統(tǒng)中，當(dāng)玻色-愛(ài)因斯坦凝聚發(fā)生時(shí)，即基態(tài)粒子數(shù)N0＞＞1，基態(tài)的貢獻(xiàn)將不能被忽略，因此在第2節(jié)中所給出的結(jié)果將不再適用。通過(guò)進(jìn)一步對(duì)基態(tài)的考慮，玻色氣體的巨配分函數(shù)Ξ可以表示為

再加上方程（17）（18），可以得出

其中，只考慮了有限粒子數(shù)效應(yīng)的一級(jí)修正項(xiàng)。通過(guò)方程（21）,可以容易地得到熱容的表達(dá)式

以上的結(jié)果僅僅對(duì)D≥2成立，因?yàn)?，?duì)于D=1，ζ（D）的值會(huì)發(fā)散。對(duì)于理想玻色氣體束縛在一維的諧振勢(shì)中，它的巨配分函數(shù)Ξ的表達(dá)式如式（23）所示

由此求出總粒子數(shù)和內(nèi)能的表達(dá)式分別為(24)(25)。

方程（24）（25）可以運(yùn)用數(shù)值計(jì)算，探討有限粒子數(shù)效應(yīng)對(duì)于氣體性質(zhì)的影響[12]。

對(duì)于一維凝聚的玻色氣體，z→exp(x1/2)是不合理的，因?yàn)檫@會(huì)導(dǎo)致大約1/N0的相對(duì)誤差，這與有限粒子數(shù)引起的相對(duì)修正是同一個(gè)數(shù)量級(jí)的。因此，如何解析得到其有限粒子數(shù)的修正是后續(xù)需要研究的問(wèn)題。

值得注意的是在本節(jié)和第2節(jié)中所得到的對(duì)于玻色氣體的解析結(jié)果不能涵蓋在凝聚溫度附近的情況。這不像在無(wú)限的系統(tǒng)中存在一個(gè)極限臨界點(diǎn)，在有限的系統(tǒng)中相變溫度附近的物理量在某一特定的區(qū)間內(nèi)，可能變化得非常平穩(wěn)。在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，與溫度有關(guān)的物理量要比其它的區(qū)間復(fù)雜得多，這個(gè)問(wèn)題在參考文獻(xiàn)[14]中有做具體的討論。

4 討論

為了更清晰地展示有限粒子數(shù)效應(yīng)對(duì)兩種受限量子氣體性質(zhì)的影響，如圖1所示，繪制了在各向同性的諧振勢(shì)束縛下，熱容隨溫度變化的特性曲線。圖1（a）和（b）分別表示費(fèi)米氣體和玻色氣體。圖中實(shí)心方形點(diǎn)表示的是本文所得的解析結(jié)果；實(shí)線是嚴(yán)格的數(shù)值計(jì)算，對(duì)各量子態(tài)求和所得出的結(jié)果；虛線是在熱力學(xué)極限條件下所得結(jié)果?？梢郧逦乜闯鰧?duì)于費(fèi)米氣體和正常的玻色氣體，由于有限粒子數(shù)效應(yīng)引起的熱容修正非常的小，只有在放大的插圖中才能看到。然而，對(duì)于凝聚狀態(tài)下的玻色氣體，有限粒子數(shù)效應(yīng)對(duì)于熱容的修正相對(duì)較大，可以在主圖中直接看到。從圖中還可以看出，本文所得到的解析解與數(shù)值計(jì)算所得結(jié)果十分吻合，它們的差別即使在放大的圖中也難以分辨。

圖1 熱容隨溫度變化的特性曲線

圖1對(duì)于費(fèi)米氣體和玻色氣體，在粒子數(shù)為1000的情況下，熱容隨溫度的變化曲線。實(shí)心方點(diǎn)、實(shí)線和虛線分別表示本文所得到的解析結(jié)果，嚴(yán)格的數(shù)值計(jì)算和熱力學(xué)極限條件下所得結(jié)果。

5 結(jié)論

本文研究了理論量子氣體束縛在D維諧振勢(shì)中的熱力學(xué)性質(zhì)，討論了有限粒子數(shù)效應(yīng)對(duì)于系統(tǒng)性質(zhì)的影響，估算出在不同情況下，有限粒子數(shù)效應(yīng)引起的熱力學(xué)量的修正的數(shù)量級(jí)，展示了對(duì)于玻色氣體和費(fèi)米氣體的區(qū)別。得出對(duì)于凝聚的玻色氣體，有限粒子數(shù)效應(yīng)要比對(duì)于費(fèi)米氣體和正常的玻色氣體顯著得多。

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The Effects of a Finite Number of Particles on Two Trapped Quantum Gases

CHEN Li-wei
(Mechanic and Electronic Engineering College,Sanming University,Sanming 365004,China)

The effects of a finite number of particles on the thermodynamic properties of ideal Bose and Fermi gases trapped in any dimensional harmonic potential are investigated.The orders of relative corrections to the thermodynamic quantities due to the finite number of particles are estimated in different situations.The results obtained from the two trapped quantum gases are compared,and consequently,it is shown that the finite-particle-number effects for the condensed Bose gas (a Bose gas with BEC occurring in the system)are much more significant than those for the Fermi gas and normal Bose gas (a Bose gas without BEC).

quantum gas;finite particle number;harmonic potential;thermodynamic

O413.1

A

1673-4343（2013）04-0001-06

2013-04-29

三明學(xué)院科研基金項(xiàng)目（B201202/G）

陳禮煒，女，福建永安人，講師，博士。研究方向:統(tǒng)計(jì)物理，工程熱力學(xué)，清潔能源利用。