意味深長的問題倒不一定難

談祥柏

我家住在19樓，相當(dāng)高，電梯又經(jīng)常出故障，幸好我腳力很好，可以一口氣走上走下，并不感到吃力。從此以后，19這個(gè)數(shù)字就同我結(jié)下了不解之緣。

下面就來說一個(gè)由于我住在19樓而特別對19這個(gè)數(shù)字“刮目相看”的趣題。

在圖中所示的方框里分別填入從2到19的18個(gè)自然數(shù)，既不能重復(fù)，也不準(zhǔn)遺漏，要求任何兩個(gè)相鄰數(shù)字之和均為平方數(shù)。

凡是初次接觸到本題的人都不免倒吸一口冷氣，即使不公開表態(tài)，心里也不免發(fā)憷，認(rèn)為題目的要求未免太高了，恐怕很難做出來。

解題者信心不足，有打退堂鼓的意思，這也在情理之中，并不奇怪。

近年來，解題方法的研究蔚然成風(fēng)，這是一個(gè)很好的開始。拿本題來說，找到最小的自然數(shù)2，自然可以將它作為一個(gè)著力點(diǎn)。由于2+7=9，2+14=16，而9與16又都是平方數(shù)，因而可以建立起一個(gè)初步的關(guān)系鏈：

下一步是順藤摸瓜，對于最左端的7來說，可以同它連接的數(shù)只可能有兩個(gè)，即9和18（7+9=16，7+18=25，16和25都是平方數(shù)），從而得出了這個(gè)擴(kuò)充之后的關(guān)系鏈：

另外，還容易看出，在9的左端，尚可添加一個(gè)符合條件的自然數(shù)16（9+16=25），此時(shí)，關(guān)系鏈進(jìn)一步擴(kuò)充為這樣的形狀：

但此時(shí)，左面已經(jīng)發(fā)展到了山窮水盡的地步，我們只好轉(zhuǎn)變方針，到右面去繼續(xù)作戰(zhàn)。

真是天公作美，右方戰(zhàn)線的發(fā)展竟是出乎意料地順利，遠(yuǎn)非始料所及。一步一個(gè)腳印，很快就形成了一條滿足題目要求的長鏈：

“船到橋頭自然直”，題目基本上做完了。由于“一字長蛇陣”的形狀比較難看，數(shù)學(xué)史上有過一個(gè)很著名的“哥尼斯堡七橋”問題，經(jīng)過瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉的研究，通過拓?fù)渥儞Q之后，可以變成“一筆畫”問題來研究。在這里，我們也可以采用“拓?fù)渥儞Q”的手段，將它改造成以下的圖形：

此題覆蓋了從2到19的所有18個(gè)自然數(shù)，不重不漏，一網(wǎng)打盡，可是涉及的平方數(shù)搞來搞去卻只有4個(gè)：9、16、25、36，而且頭尾兩個(gè)數(shù)用得也不多，翻來覆去，大顯身手的只有16和25，難怪此題解出之后，許多人都夸它意味深長，無法復(fù)制。