基于線性矩陣不等式的動態(tài)控制分配方法研究

臧希恒 唐 碩,2

1. 西北工業(yè)大學航天學院，西安 710072 2. 航天飛行動力學技術重點實驗室，西安 710072

控制分配在飛行控制系統(tǒng)[1-3]、艦船控制系統(tǒng)[4-5]及其他冗余控制系統(tǒng)中扮演著重要的角色。控制分配模塊給執(zhí)行機構(如飛行器的副翼、升降舵、襟翼、方向舵和推力矢量，及艦船推進器、舵、螺旋槳等)發(fā)送控制指令來產生由上級控制系統(tǒng)所輸出的需用控制輸入指令(如力、力矩、加速度等)。如何將這些虛擬的或者說是廣義的控制指令轉換為實際的執(zhí)行機構控制指令稱為控制分配問題。圖1闡明了上述控制問題的基本結構。

圖1 控制分配問題結構圖

基于Durham[1-3]在控制分配領域的研究工作，一些控制分配方法在上個世紀末得到了廣泛的研究[6-11]，現(xiàn)有的控制分配技術大多為線性控制分配，即假設虛擬控制輸入與執(zhí)行機構的效率為線性函數(shù)，現(xiàn)有線性控制分配方法總體可分為2大類:非優(yōu)化控制分配方法和基于數(shù)值優(yōu)化的控制分配方法。非優(yōu)化控制分配方法主要有直接法、偽逆法、串式鏈法等，而基于數(shù)值優(yōu)化的控制分配方法的典型代表是有約束線性規(guī)劃，混合整數(shù)規(guī)劃，二次規(guī)劃等?，F(xiàn)有的控制分配技術的綜述性研究見文獻[12-14]，Page 和Steinberg[13-14]對于大多數(shù)常見的線性控制分配算法進行了大量的開閉環(huán)仿真實驗，并總結各種控制分配算法的優(yōu)缺點。另一方面，Bodson[12]比較了基于數(shù)值優(yōu)化方法的有約束控制分配方法，并給出了其在實時飛行控制系統(tǒng)中可行性的建議。

一般而言，控制分配的目標是通過產生合理的執(zhí)行機構指令來獲得所需的機體控制輸入，同時又必須滿足各種嚴格的約束。迄今為止,大多數(shù)的控制分配算法都傾向于忽略執(zhí)行機構動態(tài)性的影響，或者分開處理執(zhí)行機構動態(tài)性[6-14]。為了便于問題的處理，通常假設執(zhí)行機構沒有動態(tài)性，或者是相對于飛行器來說足夠快以至于可以忽略其動態(tài)性。然而執(zhí)行機構動態(tài)性的出現(xiàn)將降低整個控制系統(tǒng)的有效帶寬，甚至可以加重未建模非線性的負面影響。Oppenheimer 和Doman[15-16]已經表明了執(zhí)行機構動態(tài)性對控制分配有著重要的影響并且提出了一種補償執(zhí)行機構動態(tài)性的方法。然而，這種方法只能適用于一階和二階執(zhí)行機構。H?rkeg?xd[17]通過增加對執(zhí)行機構速率的懲罰擴展了一般的二次規(guī)劃控制分配算法，使算法具有頻率依賴的特性，實現(xiàn)了對執(zhí)行機構帶寬的考慮，這種控制分配方法被他命名為“動態(tài)”控制分配，然而這種方法嚴格意義上并沒有將全部的執(zhí)行機構動態(tài)性信息考慮到算法中來，只能算得上是一種偽動態(tài)控制分配算法，但是其研究成果卻促進了廣大學者對動態(tài)控制分配算法的研究。文獻[18-20]提出的模型預測動態(tài)控制分配方法利用執(zhí)行機構模型來預測所需的執(zhí)行機構狀態(tài)和控制輸入軌跡，并且以最優(yōu)軌跡的跟蹤問題來決定控制分配的解。但是這種方法需要一個預測模塊來預測控制輸入指令、執(zhí)行機構狀態(tài)和輸出軌跡，因此需要對控制指令提前預測。通常想要得到控制輸入的預測是不現(xiàn)實的，這就限制了軌跡跟蹤問題的求解。

本文將針對線性控制分配技術展開研究，提出一種系統(tǒng)地處理動態(tài)控制分配問題的新方法，采用基于數(shù)值優(yōu)化的方法來解決控制分配問題，將基于有約束二次規(guī)劃的靜態(tài)控制分配加入全部的執(zhí)行機構動態(tài)性信息，并將問題轉化為基于線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality, LMI)的目標函數(shù)最小化問題，最后給定一組變頻率三通道控制輸入指令，對文中的動態(tài)控制分配方法進行仿真驗證，并將其與經典的基于線性規(guī)劃(LP)的靜態(tài)控制分配方法進行比較，仿真結果表明本文提出的動態(tài)控制分配算法顯著提高了控制輸入跟蹤的魯棒性、精確性與有效性。

1 控制分配問題描述

控制分配在冗余系統(tǒng)中扮演著重要的角色，特別是在執(zhí)行機構存在飽和限制、效率差異性以及動態(tài)性時，其作用更是舉足輕重。同時，當控制分配與控制器分開設計時，可以實現(xiàn)執(zhí)行機構故障下的重構控制，而不用重新設計系統(tǒng)的控制器。圖2為一般采用控制分配的控制系統(tǒng)結構圖，同時也是靜態(tài)控制分配的結構圖。r(t)為參考輸入指令即為飛行控制系統(tǒng)中的制導指令，所需控制力矩udes由控制器給出，用來跟蹤r(t)，而udes由執(zhí)行機構指令偏轉δcmd產生，uact為由執(zhí)行機構實際偏轉δact產生的實際控制力矩，直接作用于機體。本文假設控制力矩與執(zhí)行機構偏轉之間呈線性關系，即所謂線性控制分配問題，其形式如式(1)所述

udes=Beffδcmd

(1)

給定所需的控制力矩udes，控制效率矩陣Beff求解執(zhí)行機構指令偏轉δcmd即為控制分配問題，同時執(zhí)行機構還需滿足下列位置和速率約束：

執(zhí)行機構位置約束

δmin≤δact≤δmax

(2)

執(zhí)行機構速率約束

(3)

現(xiàn)代飛行器一般采用數(shù)字控制系統(tǒng)，飛行控制律為采樣周期T的離散時間系統(tǒng)，可以將上述位置和速率約束合并為下面的組合時變位置約束

(4)

其中

(5)

方程(1),(4)和(5)即構成了控制分配問題的數(shù)學模型，從上述方程可見模型中并沒有包含執(zhí)行機構的動態(tài)性信息，即忽略了執(zhí)行機構的動態(tài)性，因此上述控制分配問題即為經典的靜態(tài)控制分配問題。當執(zhí)行機構帶寬無限大即執(zhí)行機構動態(tài)性為1時，δact=δcmd，相應的uact=udes，系統(tǒng)可以完成對參考輸入的準確跟蹤；相反地，當執(zhí)行機構存在有限帶寬時，執(zhí)行機構偏轉指令必然受到執(zhí)行機構動態(tài)性的削弱，即δact≠δcmd，這就導致uact≠udes。只有uact=udes時系統(tǒng)才能完成對參考輸入的準確跟蹤，因此忽略執(zhí)行機構動態(tài)性會降低系統(tǒng)對參考輸入跟蹤的準確性，甚至無法完成對參考輸入指令的跟蹤。

2 基于LMI的動態(tài)控制分配

2.1 執(zhí)行機構動態(tài)性

假設執(zhí)行機構系統(tǒng)有m個具有線性動態(tài)的執(zhí)行機構，第j個執(zhí)行機構的階數(shù)為nj，j=1,2,…,m。

假設1：執(zhí)行機構系統(tǒng)動態(tài)性是已知、時不變并且完全解耦的，即每兩個執(zhí)行機構之間是獨立互不影響的，則整個執(zhí)行機構動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表示為

δact=Cactxact

(6)

其中，狀態(tài)為xact∈RN，輸入為δcmd∈Rm，輸出為δact∈Rm，狀態(tài)矩陣為Aact∈RN×N，輸入矩陣為Bact∈RN×m，輸出矩陣為Cact∈Rm×N，并且

(7)

通過假設1可知，其中Aact，Bact，Cact均具有塊對角結構，即

Aact=diag([Aact,1,Aact,2,…,Aact,m])

Bact=diag([Bact,1,Bact,2,…,Bact,m])

Cact=diag([Cact,1,Cact,2,…,Cact,m])

將方程(6)進行離散化，可得等價的離散執(zhí)行機構動態(tài)系統(tǒng)為

xact(k+1)=Axact(k)+Bδcmd(k)

δact(k)=Cxact(k)

(8)

其中A，B和C為具有合適維數(shù)的采樣時間T對應的離散域執(zhí)行機構動態(tài)系統(tǒng)的參數(shù)矩陣。

假設2：(A,B)是可控的并且對于任意k≥0，(A,C)是可觀測的。

假設3：對于執(zhí)行機構離散時間模型，矩陣CB是非奇異的，因此對于輸入δcmd(k)的響應反映在輸出δact(k+1)上。

2.2 動態(tài)控制分配問題描述

顧名思義，動態(tài)控制分配即為考慮執(zhí)行機構動態(tài)性的控制分配算法，即當執(zhí)行機構存在有限帶寬時，仍存在uact=udes，可以實現(xiàn)參考輸入指令的準確跟蹤，現(xiàn)將第一節(jié)中描述的靜態(tài)控制分配問題進行擴展，可得下列動態(tài)控制分配的數(shù)學模型

udes=Beff(k+1)δact(k+1)

(9)

xact(k+1)=Axact(k)+Bδcmd(k)

δact(k)=Cxact(k)

(10)

其中

(11)

方程(9)和(10)的物理意義即為在滿足執(zhí)行機構偏轉約束和動態(tài)性的前提下，求解執(zhí)行機構指令偏轉δcmd(k)，值得一提的是雖然方程(9)中執(zhí)行機構偏轉為實際偏轉，但是動態(tài)控制分配問題仍然是為了求解指令舵偏δcmd(k)，上述動態(tài)控制分配原理見圖2,由圖中可見動態(tài)控制分配模塊中已經包含了全部的執(zhí)行機構動態(tài)性信息，因此不需要對指令舵偏δcmd(k)進行二次處理便可以完成力矩指令的精確跟蹤。相應的靜態(tài)控制分配結構圖見圖3。

圖2 動態(tài)控制分配結構圖

圖3 靜態(tài)控制分配結構圖

2.3 LMI初步

F(x)=F0+x1F1+…+xmFm0

(12)

定理1 對于給定的對稱矩陣

(13)

其中F11(x)是方陣。以下3個條件是等價的：

1)F(x)0；

2)F11(x)0,且

F22(x)-F21(x)[F11(x)]-1F12(x)0；

3)F22(x)0,且

F11(x)-F12(x)[F22(x)]-1F21(x)0。

其中2)和3)表示的不等式即為x的非線性約束。利用這個定理可以將形如2)和3)的非線性矩陣不等式轉化為線性矩陣不等式，這個定理非常重要，下一節(jié)通過定理1將執(zhí)行機構的動態(tài)控制分配問題轉化為基于線性矩陣不等式的目標函數(shù)最小化問題。

2.4 動態(tài)控制分配的LMI描述

基于有限帶寬執(zhí)行機構的動態(tài)控制分配問題可以轉化為具有下述二次性能指標的優(yōu)化問題，亦即二次規(guī)劃問題，

Beff(k+1)δact(k+1)]

(14)

其中Wδ=diag([wδ,1,wδ,2,wδ,3,…,wδ,m])為正定對稱矩陣，wδ,i指定了第i個執(zhí)行機構相對權重。Wu=diag([wu,1,wu,2,wu,3,…,wu,p])為正定對稱矩陣，wu,j指定了第j個方向力矩誤差的相對權重，對于飛行器姿態(tài)控制，p=3分別代表滾動、俯仰、偏航三個通道力矩誤差。方程(14)中第1項代表了最小凈執(zhí)行機構偏轉控制，而第2項則代表了最小力矩誤差控制，顯而易見應該首先保證力矩指令的準確跟蹤，因此權重矩陣Wu應該遠遠比矩陣Wδ要大，第1項相當于是第2性能指標，目的是為了確保在第2項的解不唯一時規(guī)劃問題仍然可以收斂到唯一解。

這里引入一個松弛變量γ>0，令目標函數(shù)的最小值小于γ，

γ-J>0

(15)

即

Beffδact(k+1)]>0

(16)

顯而易見方程(16)為一個凸非線性矩陣不等式，依據(jù)定理1可以將其轉化為一個線性矩陣不等式，見方程(17)。

(17)

為了便于線性矩陣不等式優(yōu)化問題的求解，實際的執(zhí)行機構偏轉約束可以改寫為式(18)形式，

eiδact(k+1)-eiδ(k+1)>0,i=1,2,…,m

(18)

其中ei和ej為沿著δact,i和δact,j的單位矢量。聯(lián)立方程(8)、(17)和(18)的動態(tài)控制分配問題轉化為方程(19)所示的具有線性矩陣不等式約束的目標函數(shù)最小化問題。

γ>0

eiδact(k+1)-eiδ(k+1)>0,i=1,2,…,m

其中

xact(k+1)=Axact(k)+Bδcmd(k)

δact(k)=Cxact(k)

(19)

方程(19)所述LMI優(yōu)化問題利用標準的算法很容易求解。根據(jù)當前的控制輸入力矩即可求解執(zhí)行機構偏轉指令。對于飛行控制系統(tǒng)來說，在線實時求解方程(19)有些困難，優(yōu)化問題的求解是迭代的。然而方程(19)構成了一個凸優(yōu)化問題，可行解存在時收斂性可以得到保證。隨著計算技術的發(fā)展，方程(19)作為飛行控制系統(tǒng)在線控制分配可能成為現(xiàn)實。下一節(jié)中將結合具體實例進行仿真，并通過本算法分別與帶執(zhí)行機構動態(tài)性補償和不帶執(zhí)行機構動態(tài)性補償?shù)幕诰€性規(guī)劃的靜態(tài)控制分配方法進行比較，驗證基于LMI動態(tài)控制分配算法的有效性?；诰€性規(guī)劃的靜態(tài)控制分配方法詳見文獻[12]。

3 仿真結果與分析

本節(jié)將針對飛行器的氣動舵面控制分配問題展開研究，并分別采用靜態(tài)控制分配方法和本文提出的動態(tài)控制分配方法進行仿真驗證。假設飛行器具有4個氣動舵面，選取4個氣動舵面主要是為了讓氣動舵面控制存在冗余，舵面1和舵面2為具有零點的二階線性模型，舵面3為經典的二階振蕩環(huán)節(jié)，舵面4為一階慣性模型。氣動舵面的動態(tài)性如下：

(20)

氣動舵面效率矩陣對于所有的k均為時不變的。

(21)

氣動效率的單位為rad/s2/(°)。每一個氣動舵面都具有位置和速率飽和約束：

(22)

選擇這樣的約束是為了使至少一個舵面的位置或速率在仿真的過程中達到飽和。這樣做的目的是為了驗證當執(zhí)行機構出現(xiàn)飽和時本文提出的動態(tài)控制分配算法依然有效。控制指令信號包含了滾轉、俯仰、偏航三通道的幅值為0.15,0.3,0.15的連續(xù)變頻信號，在10s的時間間隔里頻率范圍為0.5Hz到2Hz。

(23)

分別采用基于LP的靜態(tài)控制分配方法和基于LMI的動態(tài)控制分配方法進行仿真，圖4和5為基于LP的靜態(tài)控制分配方法在考慮舵面動態(tài)性時的仿真結果，其中圖4為控制指令的跟蹤響應曲線，得到了幾乎理想的跟蹤精度，圖5為其舵面實際偏轉指令，可見隨著所需控制輸入指令頻率的增大，舵面3和舵面4逐漸趨于速率飽和。圖6和圖7為基于LP的靜態(tài)控制分配方法考慮舵面動態(tài)性時的仿真結果，從圖6的控制輸入跟蹤結果可見控制分配方法完全失去其有效性，隨著控制輸入指令頻率的增大，實際舵偏產生的實際控制輸入無法快速響應并跟蹤所需控制輸入指令。圖7給出了舵面指令舵偏與實際舵偏的差異，這是由于舵面存在動態(tài)性，對指令舵偏信號造成了削弱，從而直接導致了實際舵偏無法跟蹤振蕩多變所需控制輸入udes。圖8～10給出了基于LMI的動態(tài)控制分配方法在考慮舵面動態(tài)性的仿真結果，圖8顯示該方法得到了與圖4媲美的跟蹤精度，圖9給出了指令舵偏與實際舵偏的對比曲線，從圖中可以看出指令舵偏都較實際舵偏大得多，這主要是由于控制分配方法內部包含了全部舵面的動態(tài)性信息，使其可以“預知”舵面動態(tài)性對指令舵偏的削弱效果，因此基于LMI的動態(tài)控制分配方法給出的指令舵偏在經過舵面動態(tài)性環(huán)節(jié)后產生的實際舵面偏轉指令仍然可以實現(xiàn)對所需控制輸入指令的精確跟蹤。圖10給出了實際舵偏的放大圖，對比圖10與圖5可以看到基于LMI的動態(tài)控制分配方法在考慮舵面動態(tài)性時的實際舵偏指令與基于LP的靜態(tài)控制分配方法不考慮舵面動態(tài)性的實際舵偏有驚人的相似之處，這就進一步驗證了本文所提出的動態(tài)控制分配方法的有效性。總而言之，圖4～10顯示了傳統(tǒng)的靜態(tài)控制分配方法在忽略執(zhí)行機構動態(tài)性時可能會造成跟蹤性能的下將并降低系統(tǒng)的魯棒性，同時也驗證了基于LMI的動態(tài)控制分配方法提高了系統(tǒng)的魯棒性、精度和有效性。

圖4 控制指令跟蹤：靜態(tài)LP(不考慮舵面動態(tài)性)

圖5 實際舵面位置：靜態(tài)LP(不考慮舵面動態(tài)性)

圖6 控制指令跟蹤：靜態(tài)LP(考慮舵面動態(tài)性)

圖7 指令舵面位置和實際舵面位置：靜態(tài)LP(考慮舵面動態(tài)性)

圖8 控制指令跟蹤：動態(tài)LMI(考慮舵面動態(tài)性)

圖9 指令舵面位置和實際舵面位置：動態(tài)LMI(考慮舵面動態(tài)性)

圖10 實際舵面指令：動態(tài)LMI(考慮舵面動態(tài)性)

4 結論

在設計控制分配方法時不考慮執(zhí)行機構動態(tài)性可能會導致系統(tǒng)性能的急劇下降，減小系統(tǒng)的有效帶寬。文中提出了一種新的基于LMI的動態(tài)控制分配方法，消除了執(zhí)行機構動態(tài)性對控制分配模塊潛在的不良影響，并顯著提高了控制系統(tǒng)的精度。

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