大學(xué)數(shù)學(xué)文化課程中培養(yǎng)隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維的實(shí)踐研究

張艷艷

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

1 引 言

當(dāng)今大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革中涉及大學(xué)數(shù)學(xué)文化課程的教學(xué)方法與教學(xué)內(nèi)容的改革日漸深入，許多從事一線教學(xué)與科研的數(shù)學(xué)教師乃至從事教學(xué)管理的人員不斷探索，逐漸積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)并形成了卓有成效的理論成果[1]，這對(duì)于大學(xué)數(shù)學(xué)文化課程的深入開展起到了積極而重要的作用．回顧多年來大學(xué)數(shù)學(xué)文化課程的教學(xué)研究與實(shí)踐，從這一課程的設(shè)置、開展到日漸成熟，對(duì)推動(dòng)高校大學(xué)數(shù)學(xué)教育的改革發(fā)揮了重要作用[2]．它最大的優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)在使大學(xué)數(shù)學(xué)課程的設(shè)置更加合理，層次更加清晰，內(nèi)容更加全面，理念更加科學(xué)．但數(shù)學(xué)文化是一個(gè)大概念，具體的教學(xué)實(shí)踐中還要充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)文化課程的逐步推進(jìn)需要不斷適應(yīng)高校全局各專業(yè)建設(shè)的需求和發(fā)展．最早在2002年，由于素質(zhì)教育大潮強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)素質(zhì)培養(yǎng)的必要，天津師范大學(xué)在文科各專業(yè)普遍開設(shè)了高等數(shù)學(xué)且作為必修課講授，但之后連續(xù)5年的教學(xué)實(shí)踐中呈現(xiàn)出了諸多困惑．比如：課時(shí)較少必須精簡(jiǎn)教學(xué)內(nèi)容；偏重微積分部分知識(shí)的教學(xué)而忽略了對(duì)數(shù)學(xué)的概貌和高等數(shù)學(xué)其它基本內(nèi)容的認(rèn)識(shí)；偏重具體數(shù)學(xué)問題的解題方法而忽略了其中所蘊(yùn)含的重要數(shù)學(xué)思想和文化內(nèi)涵；文科學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的能力與專業(yè)學(xué)習(xí)能力存在明顯差異等．于是2006年將文科高等數(shù)學(xué)降格為校選修課，由學(xué)生根據(jù)自身的興趣愛好進(jìn)行選修，這樣的教學(xué)改革對(duì)于實(shí)施數(shù)學(xué)素質(zhì)教育必然產(chǎn)生一定的阻礙．借鑒一些高校的良好經(jīng)驗(yàn)，2007年研究者提出了開設(shè)“數(shù)學(xué)文化”課程教學(xué)的改革方案[3]．自當(dāng)年秋季開設(shè)本課程到2012年已經(jīng)連續(xù)進(jìn)行8輪實(shí)踐教學(xué)，受益學(xué)生廣泛，已經(jīng)有逾千人接受過數(shù)學(xué)文化的教育與熏陶．選修本課程的學(xué)生分為兩大類：已開設(shè)高等數(shù)學(xué)課程的理工（包括數(shù)學(xué)、物理、計(jì)算機(jī)、地理、化學(xué)與生物等專業(yè)）及經(jīng)管類學(xué)生、未開設(shè)高等數(shù)學(xué)課程的（文學(xué)、歷史學(xué)、新聞、外語、政法、藝術(shù)等專業(yè)）各類文科類學(xué)生．課程所安排的教學(xué)內(nèi)容不僅能使各專業(yè)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的概貌和學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，又能欣賞到數(shù)學(xué)的魅力并提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．實(shí)踐表明：大學(xué)數(shù)學(xué)文化課程的設(shè)置對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生人文精神和科學(xué)素養(yǎng)有著不可替代的作用，大學(xué)數(shù)學(xué)文化課程的學(xué)習(xí)也是任何其它專業(yè)課程的學(xué)習(xí)不能替代的，且在很大程度上為擺脫高等數(shù)學(xué)教學(xué)的困境提供了有效的平臺(tái)，滿足了學(xué)生對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)文化層面的需求，是體現(xiàn)對(duì)大學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育和人文教育的一門很好的課程．但是，隨著教學(xué)改革與實(shí)踐的不斷深入，如何保持大學(xué)數(shù)學(xué)文化課程的活力并在已搭建的教學(xué)平臺(tái)上有所創(chuàng)新，引起了研究者極大的關(guān)注與反思．基于天津師范大學(xué)開設(shè)校級(jí)公選課“數(shù)學(xué)文化”課程的具體改革與實(shí)踐，對(duì)大學(xué)階段開設(shè)數(shù)學(xué)文化課程時(shí)的隨機(jī)性思維的培養(yǎng)提出了幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)和方法，為大學(xué)數(shù)學(xué)文化課程教學(xué)行為的高效性提出了具有可操作性的解決模式，并為不斷激發(fā)“數(shù)學(xué)文化”課程活力提供有效策略．

2 大學(xué)數(shù)學(xué)文化課程隨機(jī)化思維的培養(yǎng)

大學(xué)數(shù)學(xué)文化課程不同于專業(yè)的數(shù)學(xué)課程，不具備完整的學(xué)科性質(zhì)的演繹系統(tǒng)，而對(duì)于數(shù)學(xué)文化學(xué)的構(gòu)建也在探索發(fā)展過程中[4]．現(xiàn)有數(shù)學(xué)文化課程的教學(xué)在這一方面還十分缺乏實(shí)踐性的研究[5]．不同高校在積極開展教學(xué)實(shí)踐的同時(shí)并沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)作為參照，從事教學(xué)的不同教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的把握也參差不齊．立足于大學(xué)數(shù)學(xué)文化課程的教學(xué)實(shí)踐，要實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)和人文素質(zhì)這一目標(biāo)的關(guān)鍵在于充分發(fā)揮課堂教學(xué)的高效性[6]．這就需要面對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)文化課程的特質(zhì)，提出具體而有效的方法來形成高效的“教”與“學(xué)”的行為，從而在教學(xué)中體現(xiàn)出高等數(shù)學(xué)不同性質(zhì)的學(xué)科內(nèi)容的思想、方法和概貌，有利于學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)更為全面、更為深入的實(shí)踐和認(rèn)知．針對(duì)大學(xué)階段的學(xué)生已進(jìn)行多年的對(duì)于確定性數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和對(duì)于簡(jiǎn)單的隨機(jī)問題的理解，加強(qiáng)隨機(jī)性思維的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)文化課程內(nèi)容的有益且重要的補(bǔ)充．要通過教師精心地對(duì)隨機(jī)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法的設(shè)計(jì)，把握數(shù)學(xué)與客觀世界的廣泛聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生從隨機(jī)的角度觀察和分析問題，在面對(duì)不確定的情境或隨機(jī)性數(shù)據(jù)時(shí)能做出更合理的推斷和決策，是大學(xué)數(shù)學(xué)文化課程隨機(jī)化思維培養(yǎng)的主要目標(biāo)．

（1）整合數(shù)學(xué)文化課程內(nèi)容，注重隨機(jī)性思維教學(xué)內(nèi)容的設(shè)置．

大學(xué)數(shù)學(xué)文化教學(xué)內(nèi)容的設(shè)置必須針對(duì)不同學(xué)科的學(xué)生，使其具備層次性和選擇性．內(nèi)容設(shè)置要做到：有利于不同專業(yè)學(xué)生在面對(duì)教學(xué)內(nèi)容時(shí)，發(fā)現(xiàn)與自己專業(yè)課程學(xué)習(xí)的契合點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；有利于在知識(shí)的難度和空間上有繼續(xù)拓展的可能，使不同教學(xué)對(duì)象可結(jié)合自身情況選擇教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深入研究；有利于在堅(jiān)持“少而精”的原則上體現(xiàn)數(shù)學(xué)各分支學(xué)科內(nèi)容的思想方法和概貌．基于這樣的理念，在課程的教材建設(shè)上，編寫了適合天津師大公選課使用的講義和電子教案，主要結(jié)合學(xué)生的知識(shí)背景和知識(shí)結(jié)構(gòu)介紹4部分內(nèi)容，依次是數(shù)學(xué)與文化、數(shù)學(xué)美學(xué)、數(shù)學(xué)思想與方法、近代數(shù)學(xué)淺說．這些部分之間密切聯(lián)系又各自側(cè)重不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容．值得指出的是，在近代數(shù)學(xué)淺說內(nèi)容的安排中，考慮到數(shù)學(xué)文化的教學(xué)不可能也不需要面面俱到，開設(shè)的內(nèi)容做到可以靈活設(shè)置的同時(shí)還要針對(duì)所選分支的教學(xué)設(shè)計(jì)突出其文化思想性．諸如解析幾何與微積分的產(chǎn)生、微積分大意、運(yùn)籌學(xué)中的規(guī)劃論初步、線性代數(shù)中的矩陣論初步、初等數(shù)論等都作為選學(xué)內(nèi)容，而這此都屬于確定性數(shù)學(xué)分支．作為體現(xiàn)隨機(jī)化思維的重要分支——“概率與統(tǒng)計(jì)初步”成為其中重要的教學(xué)內(nèi)容．隨機(jī)性思維作為以不確定現(xiàn)象和不完全信息為研究對(duì)象的重要思維方式，它和確定性思維一樣具有普遍性，要培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)性思維，概率內(nèi)容的教學(xué)安排與教學(xué)設(shè)計(jì)也必須詳略得當(dāng)，深入淺出．

（2）改變純演繹式教學(xué)，積極推進(jìn)教學(xué)方法改革．

縱觀大學(xué)數(shù)學(xué)文化課程的教學(xué)實(shí)踐，要在普遍的教學(xué)環(huán)節(jié)中通過具體的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想來揭示更高等數(shù)學(xué)的文化底蘊(yùn)，在教學(xué)方法上就要融入以下幾個(gè)方面來保障發(fā)揮大學(xué)數(shù)學(xué)文化教育的最佳形態(tài)．

① 概念來源實(shí)際化．這是數(shù)學(xué)應(yīng)用性的充分體現(xiàn)．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)從哪些實(shí)際問題產(chǎn)生，其應(yīng)用首先蘊(yùn)含在該類問題中，然后有所推廣．正所謂“哪里來，哪里去”，這樣可啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)如何通過發(fā)現(xiàn)問題產(chǎn)生數(shù)學(xué)概念，對(duì)于它可能產(chǎn)生的應(yīng)用也會(huì)容易接受．

② 抽象理論直觀化．?dāng)?shù)學(xué)理論的抽象性是其抽象性的集中體現(xiàn)．但是，再抽象的數(shù)學(xué)理論一旦被直觀化，就脫去了它的“神秘外衣”．大學(xué)數(shù)學(xué)文化課程要做到使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想與方法的本質(zhì)，尤其要做到對(duì)問題所利用的語言描述直觀和幾何圖形直觀．

③ 知識(shí)內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)化．紛繁復(fù)雜背后所蘊(yùn)含的大量規(guī)律性是數(shù)學(xué)研究的關(guān)鍵．認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，將不同問題研究過程中解決方法的同一性充分體現(xiàn)出來，使思想變得深刻，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性．

④ 教學(xué)設(shè)計(jì)主線化．教學(xué)設(shè)計(jì)中明確的教學(xué)主線能夠充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性．在主線中把握其中的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，澄清模糊認(rèn)識(shí)，體驗(yàn)“數(shù)學(xué)地思維”的過程，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的發(fā)展在解決問題時(shí)的連續(xù)性與創(chuàng)新性．

隨機(jī)數(shù)學(xué)的內(nèi)容可以說成是問題驅(qū)動(dòng)而產(chǎn)生的衍生科學(xué)[7]．但是，隨機(jī)問題的高度靈活性，遠(yuǎn)不是幾個(gè)類型或模型可以概括的．對(duì)于隨機(jī)性思維的培養(yǎng)基于以上各方面開展教學(xué)，有利于從抽象的理論體系中剝離出對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的事物之間相互聯(lián)系的本質(zhì)，從而不完全拘泥于傳統(tǒng)的確定性思維的文化層面，廣泛地挖掘隨機(jī)問題研究中的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵．

（3）恰當(dāng)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)隨機(jī)化的數(shù)學(xué)思想與方法．

數(shù)學(xué)文化的教學(xué)中，注重突出數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的內(nèi)容安排已成為眾多教育者的共識(shí)．具體的教學(xué)設(shè)計(jì)中，一方面，通過概率內(nèi)容的歷史發(fā)展，認(rèn)識(shí)其出現(xiàn)的必然性與合理性，使學(xué)生自然而然地親歷經(jīng)典的原創(chuàng)性的隨機(jī)性思想．另一方面，可以在不同文化背景下，對(duì)解決問題的確定性數(shù)學(xué)方法和隨機(jī)性方法進(jìn)行比較研究，認(rèn)識(shí)不同數(shù)學(xué)觀念下的隨機(jī)性的數(shù)學(xué)成果．但大學(xué)數(shù)學(xué)“水很深”，要達(dá)到高效的教學(xué)，把握恰當(dāng)?shù)摹岸取焙苤匾诮虒W(xué)實(shí)踐，對(duì)概率部分內(nèi)容進(jìn)行如下的教學(xué)設(shè)計(jì)，其特點(diǎn)是：以“專題”形式開展教學(xué)，做到內(nèi)容“少而精”，“低起點(diǎn)，高觀點(diǎn)”的原則，“專題”之間既保證呈現(xiàn)概率知識(shí)的主線又體現(xiàn)處理隨機(jī)問題時(shí)不同于確定性數(shù)學(xué)問題的主要思想與方法．見表1．

表1 教學(xué)內(nèi)容與相應(yīng)的思想方法

（4）多途徑挖掘數(shù)學(xué)文化信息，引導(dǎo)學(xué)生審視或然數(shù)學(xué)之美．

大學(xué)數(shù)學(xué)教材呈現(xiàn)出的往往是一個(gè)非常復(fù)雜的演繹知識(shí)體系，也因此很多學(xué)者說數(shù)學(xué)的美是冷酷的美．多年的中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生們過于注重?cái)?shù)學(xué)理論的抽象表達(dá)和數(shù)學(xué)解題的各種技巧，而忽略了審視數(shù)學(xué)理論的簡(jiǎn)潔與美觀、數(shù)學(xué)知識(shí)之間千絲萬縷的聯(lián)系以及它們富有實(shí)際意義的由來與發(fā)展．隨機(jī)性思維的培養(yǎng)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，只有不斷地積累豐富的隨機(jī)性知識(shí)和認(rèn)知，才能在某一時(shí)刻受到新知識(shí)或方法的啟發(fā)．要感受“或然”數(shù)學(xué)之美，就要在具體的教學(xué)內(nèi)容安排上不斷挖掘，這可以從數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、數(shù)學(xué)典故、數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)方法等不同線索和角度切入展開研究[8]．下面用實(shí)例闡明如何運(yùn)用概率知識(shí)為載體，培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)性思維的數(shù)學(xué)素質(zhì)．

例1 （從數(shù)學(xué)思想切入）經(jīng)典的數(shù)學(xué)思想在隨機(jī)現(xiàn)象的研究中同樣無所不在．

從體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的常用思維方法方面，可運(yùn)用類比的思想處理離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量、一維隨機(jī)變量與多維隨機(jī)變量，從而分辨異同．運(yùn)用極限的思想認(rèn)識(shí)隨機(jī)變量分布規(guī)律之間的關(guān)系，如二項(xiàng)分布的極限分布在相應(yīng)的條件下為泊松分布、正態(tài)分布，超幾何分布在一定的條件下為二項(xiàng)分布等，實(shí)現(xiàn)勾通轉(zhuǎn)化．從隨機(jī)性問題（或方法）與確定性問題（或方法）的辯證關(guān)系處理教學(xué)內(nèi)容，如運(yùn)用集合論（研究確定性問題的方法）的思想，利用文氏圖講解隨機(jī)事件的關(guān)系及運(yùn)算，達(dá)到直觀易懂；運(yùn)用隨機(jī)試驗(yàn)來解決確定性的數(shù)學(xué)問題的思想方法，審視數(shù)學(xué)之美；等等．下面僅以隨機(jī)試驗(yàn)的教學(xué)進(jìn)行例示．

先引入一個(gè)簡(jiǎn)單的問題．在面積為 1平方米的正方形木板上，隨意畫一個(gè)圓圈，求這個(gè)圓圈的面積．

圓圈是極不規(guī)則的．隨機(jī)化試驗(yàn)的直觀設(shè)計(jì)為：將手里的一大把芝麻撒向木板，假定芝麻都能擲在木板上，不會(huì)偏出木板，且芝麻會(huì)完全隨機(jī)落在木板任何地方，即芝麻落在木板內(nèi)的任何一點(diǎn)的概率相等．若已知芝麻的總數(shù)為n粒（充分多），其中落入不規(guī)則圖形內(nèi)部的個(gè)數(shù)設(shè)為k，則可用k/n近似估計(jì)不規(guī)則圖形的面積，例如100粒芝麻中有 72粒落入圖形內(nèi)，就可以估計(jì)圖形的面積為0.72平方米．為提高估計(jì)值的精度還可多次試驗(yàn)，取諸個(gè)估計(jì)值的算術(shù)平均作為最終的面積值．進(jìn)一步，若圓圈為正方形的內(nèi)接圓，利用上面過程結(jié)合幾何概型可估算圓周率π值．此時(shí)，

再結(jié)合著名的投針試驗(yàn)，給出圓周率π值的隨機(jī)試驗(yàn)法．1777年法國(guó)自然科學(xué)Buffon請(qǐng)來滿堂賓客，讓大家向一張畫滿間隔為 a的等距平行線的紙上隨意投一些長(zhǎng)為l(l=a/2)的縫衣針，結(jié)果，客人們莫明其妙地共投針2 212枚，其中與平行線相交的有704枚，Buffon由此得出π的近似值為2 212/704≈3.142．事實(shí)上，由幾何概型可得針與平行線相交的概率為其中φ為針與平行

最后指出，隨機(jī)試驗(yàn)法雖然遠(yuǎn)不如解析法便捷，且精確度大為遜色，但它揭示了確定性分析方法與隨機(jī)性方法之間的聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上發(fā)展的Monte Carlo隨機(jī)模擬法已成為一種重要研究方法．對(duì)于已經(jīng)有高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)生還可進(jìn)一步利用隨機(jī)投點(diǎn)法研究定積分的計(jì)算問題．

例2 （從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)切入）隨機(jī)化的思維材料與處理隨機(jī)問題的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)相互依存．

隨機(jī)性思維要體現(xiàn)從外部材料轉(zhuǎn)化為內(nèi)部材料的信息增殖過程，也是從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)的過程，反之，理性結(jié)果的不斷純化也體現(xiàn)出隨機(jī)化思維的靈魂[9]．下面以“天氣預(yù)報(bào)”變化為例，引入隨機(jī)化思維與隨機(jī)化觀點(diǎn)的密切聯(lián)系．

對(duì)早期“天氣預(yù)報(bào)”的播報(bào)形式曾有這樣的評(píng)價(jià)：“可信賴的預(yù)報(bào)員總是將他們的麥克風(fēng)移近窗戶，從而決定是采用官方的預(yù)報(bào)還是根據(jù)自己對(duì)窗外的情形來判斷并預(yù)報(bào)天氣．”顯然，無論怎樣預(yù)報(bào)天氣都會(huì)有不確定的因素．然而，邏輯上講，沒有給出預(yù)測(cè)精度的預(yù)報(bào)對(duì)決策來說毫無意義．當(dāng)今的天氣預(yù)報(bào)內(nèi)容已十分豐富，當(dāng)聽到“明日有雨的可能性為 70%”，它提供給了研究者預(yù)測(cè)精度的一個(gè)量度．當(dāng)然，這并未斷言某一特定時(shí)刻會(huì)降雨．因此，比起“明日有雨”的籠統(tǒng)說法更富于邏輯性．這相當(dāng)于“犧牲”了百分之百，反而更加有效地處理了演繹推理與隨機(jī)問題之間的關(guān)系．

再提出更有現(xiàn)實(shí)意義的問題：“明天有雨的可能性為70%，是否決定帶傘呢？”首先做合理的假設(shè)：無論哪天因帶傘所引起的不便能夠用錢來量度，設(shè)為r元，而由于未帶傘被淋濕后的損失為s元，則要解決是否帶傘的問題可通過比較兩種決策下所期望損失來得到．決策“帶傘”的期望損失為 r元；決策“不帶傘”的期望損失為 0.7×s+0.3×0＝0.7s．因而，當(dāng) r≤0.7s，決定帶傘，r＞0.7s時(shí)不帶傘可使損失最小化．這個(gè)簡(jiǎn)單的例證，表明利用預(yù)報(bào)的量度來加權(quán)處理不同的決策下所產(chǎn)生的損失，可選擇最佳決策．這充分體現(xiàn)了通過隨機(jī)性材料為載體，提出問題、解決問題來形成對(duì)現(xiàn)實(shí)世界隨機(jī)現(xiàn)象的一般性認(rèn)識(shí)的思維過程．本例正是通過“天氣預(yù)報(bào)”播報(bào)形式的變化這一簡(jiǎn)單素材體現(xiàn)出“偶然”與“隨機(jī)”觀點(diǎn)應(yīng)用的妙處．

例3 （從數(shù)學(xué)典故切入）數(shù)學(xué)期望概念溯源——分賭本問題．

研究隨機(jī)變量的數(shù)字特征體現(xiàn)了概率論研究的主要目的，即從偶然中探究必然性，從確定性的角度深刻地認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象．引入“數(shù)學(xué)期望”的概念時(shí)可追溯到時(shí)歷史上著名的“分賭本問題”．17世紀(jì)中葉，一位賭徒向法數(shù)學(xué)家Pascal提出一個(gè)苦惱已久的分賭本問題：甲乙兩人賭技相當(dāng)，各賭50法郎，每局無平局，事先約定，先贏3局者得全部賭本100法郎．當(dāng)甲贏兩局、乙贏一局時(shí)，因故中止賭博，問如何分這100法郎才算公平呢？線的夾角．而重復(fù)投針n次（足夠大），針與線相交次數(shù)為m時(shí)，即得

先分析簡(jiǎn)單方法的不合理性．平均分配對(duì)于甲不合理，而乙也會(huì)存在僥幸心理認(rèn)為繼續(xù)賭下去可能會(huì)贏得全部的100法郎，因此按 1:2 來分也不合理．如何才能達(dá)到“合理”呢？

數(shù)學(xué)家 Pascal的方法是將甲的最終所得設(shè)為隨機(jī)變量X，全面地結(jié)合當(dāng)前賭局情況并考慮如果賭博繼續(xù)下去的所有可能結(jié)果，于是，X的分布規(guī)律為 P(X=100)=0.75，P(X=0)=0.25．因此得到甲的期望所得為0×0.25+100×0.75=75（法郎）．這種分法的合理性在于不僅考慮了已產(chǎn)生的情況并且包括了對(duì)再賭下去的“期望”．這不僅可使學(xué)生認(rèn)識(shí)當(dāng)今具有廣泛應(yīng)用的概率論的“出身”，又可有效地認(rèn)識(shí)概念的實(shí)質(zhì)，從而豁然開朗：原來“數(shù)學(xué)期望”就是代表人們對(duì)未來的預(yù)期，即對(duì)隨機(jī)變量研究“平均值”．進(jìn)一步再揭示離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望就是以概率為權(quán)所做的加權(quán)平均數(shù)，是變與不變的和諧之美．順勢(shì)再將連續(xù)隨機(jī)變量的密度函數(shù)離散化，異中尋同，引出連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，可謂自然而然，一舉兩得．

例4 （從數(shù)學(xué)問題切入）匹配問題中事件概率的計(jì)算．

思維場(chǎng)景實(shí)際上是由問題構(gòu)成的．匹配問題是研究古典概型中的一個(gè)常見問題，它使用了n個(gè)事件和的概率加法公式直接進(jìn)行計(jì)算．問題的一般提法是：把標(biāo)有號(hào)碼 1至 n的n個(gè)球隨機(jī)地放入標(biāo)有號(hào)碼1至n的n個(gè)盒子中，每盒放一球，問至少有一個(gè)盒子的號(hào)碼與放入的球的號(hào)碼一致的概率是多少？

首先把問題描述直觀化．對(duì)應(yīng)于這個(gè)問題的數(shù)學(xué)模型可以設(shè)計(jì)多種不同的情境，如：某班n個(gè)戰(zhàn)士各有1支歸個(gè)人保管使用的槍，槍的外形全部相同，一次緊急行動(dòng)中，每人隨機(jī)取了1支槍，求至少有1人拿到自己的槍的概率．再如，n個(gè)人每人攜帶一件禮品參加聯(lián)歡會(huì)，假定所帶禮品都不同，先把所有禮品編號(hào)，然后每人各抽一個(gè)號(hào)碼，按號(hào)碼領(lǐng)取禮品，求至少有一個(gè)人得到自己所帶禮品的概率．從研究這些實(shí)際的數(shù)學(xué)問題過程中，體現(xiàn)數(shù)學(xué)問題中變與不變的辯證統(tǒng)一，使對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的研究從孤立的概率計(jì)算轉(zhuǎn)化為更高的理論層面．

再給出問題的解．設(shè)Ai表示第i號(hào)球放入了第i號(hào)盒，i=1, 2, …, n，則由概率的加法公式和古典概率可以求得

這是個(gè)抽象的結(jié)果．要把結(jié)論直觀化，設(shè)計(jì)進(jìn)一步的問題．如果球的個(gè)數(shù)和盒子的個(gè)數(shù)充分多，結(jié)果怎樣？直覺上，許多學(xué)生會(huì)認(rèn)為事件“至少有一個(gè)盒子的號(hào)碼與放入的球的號(hào)碼一致”應(yīng)該是幾乎必然發(fā)生的．理論結(jié)果是：當(dāng)∞→n時(shí)，

這個(gè)概率并不大．這不僅完成了從有限到無限的轉(zhuǎn)換，還表明了進(jìn)行科學(xué)研究活動(dòng)時(shí)，需要直覺來發(fā)現(xiàn)問題，產(chǎn)生靈感，但在處理隨機(jī)性問題時(shí)，必須采用科學(xué)的方法進(jìn)行嚴(yán)格的驗(yàn)證后，才能得出事物內(nèi)在的客觀規(guī)律的深刻道理．

例5 （從數(shù)學(xué)方法切入）運(yùn)用比較的方法理解概率論的公理化體系．

公理化體系建造了數(shù)學(xué)的宏偉大廈．確定性分支的歐幾里德幾何學(xué)的公理化體系在數(shù)學(xué)發(fā)展史上樹立了一座不朽的豐碑．同樣，公理化體系也是概率理論的基石．然而，公理化方法形式是十分抽象的．研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，通過頻率來類比概率是最為直觀的方法．

設(shè)Ω為必然事件，兩個(gè)互不相容的事件A和B在n次獨(dú)立的隨機(jī)試驗(yàn)中分別發(fā)生了m1、m2次，表示其頻率；A1, …, An, …為可列個(gè)互不相容事件．比較如表2．

表2 頻率與概率比較

通過這一過程的類比，啟發(fā)學(xué)生用“以頻代概”的思想去解決問題的方法．再進(jìn)一步給出理論依據(jù)——Bernoulli大數(shù)定律，體現(xiàn)隨機(jī)性數(shù)學(xué)方法的嚴(yán)謹(jǐn)性．

綜上，通過多途徑挖掘數(shù)學(xué)文化信息，結(jié)合恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計(jì)，加強(qiáng)隨機(jī)性思維的培養(yǎng)，使大學(xué)生在更全、更高的層面提高數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想及人文方面的素養(yǎng)，才能達(dá)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)讓人終生受益的最終目標(biāo)．

（5）及時(shí)遷移數(shù)學(xué)內(nèi)隱知識(shí)，發(fā)揮隨機(jī)性思維的創(chuàng)造性．

Polya曾說：“解題的腦力工作就在于回憶他的經(jīng)驗(yàn)中能用得上的東西．”隨機(jī)性思維的培養(yǎng)也同樣與已存儲(chǔ)的信息量密切相關(guān)．內(nèi)隱知識(shí)[10]是一種如何去行動(dòng)的實(shí)踐性知識(shí)，一旦被掌握，就具備了可遷移性．學(xué)生的內(nèi)隱知識(shí)越豐富，占有的信息量越多，信息提取和操作速度越快．內(nèi)隱學(xué)習(xí)使學(xué)生客觀地、無意識(shí)地接受知識(shí)內(nèi)在的規(guī)律，從而形成積極向上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度，達(dá)到渴望知識(shí)的狀態(tài)．但隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中難度的不斷增強(qiáng)，如學(xué)習(xí)內(nèi)容的深入、學(xué)習(xí)方法的轉(zhuǎn)變、信息量的增大等，學(xué)生積極的學(xué)習(xí)態(tài)度有可能在逐漸消退．?dāng)?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是累積的過程，是對(duì)學(xué)習(xí)過程中不斷產(chǎn)生的新觀點(diǎn)、新方法和新理念，不斷地進(jìn)行提高和統(tǒng)一，是內(nèi)隱知識(shí)的儲(chǔ)備過程．一方面，中小學(xué)階段十幾年數(shù)學(xué)知識(shí)的積淀為數(shù)學(xué)文化課程教學(xué)的開展奠定了良好基礎(chǔ)．這就需要在數(shù)學(xué)文化課程的教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從事力所能及的探索，體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的方法，加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解．隨機(jī)問題中的許多結(jié)論與證明是依靠合情推理才得以發(fā)現(xiàn)的，這更需要內(nèi)隱知識(shí)的儲(chǔ)備．另一方面，隨機(jī)問題的研究所使用的工具還是確定性數(shù)學(xué)，通過常用的數(shù)學(xué)思維方法（如歸納、類比、對(duì)稱等）研究隨機(jī)問題使學(xué)生充分溝通新舊知識(shí)的聯(lián)系，可以產(chǎn)生很好的鏈接效應(yīng)．很大程度上，將隨機(jī)問題的情境推廣甚至改變就是創(chuàng)新思維的體現(xiàn)．例如，在研究幾何概型時(shí)，將它的特點(diǎn)與古典概型相聯(lián)系，就會(huì)發(fā)現(xiàn)問題的關(guān)鍵在于把所有可能的結(jié)果化無限為有限，問題就迎刃而解了．這就將已有的經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用到了新的領(lǐng)域．

3 結(jié) 語

總之，大學(xué)數(shù)學(xué)文化課程在大學(xué)數(shù)學(xué)課程中是學(xué)生重新認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)方法、把握數(shù)學(xué)的思想的重要途徑；對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)和人文精神的作用是其它課程不能替代的．問題是數(shù)學(xué)的心臟，隨機(jī)性問題總是與實(shí)際相聯(lián)系，在大力倡導(dǎo)創(chuàng)新教育的今天，加強(qiáng)隨機(jī)化思維的培養(yǎng)對(duì)于創(chuàng)造性思維的形成有至關(guān)重要的作用，它與確定性思維共同擔(dān)負(fù)著完善人類思維模式的任務(wù)．只有教師在長(zhǎng)期的教學(xué)過程中做到不斷地精益求精，即要在課程的教學(xué)實(shí)踐中不斷地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，解決問題，完善知識(shí)體系，提高教學(xué)效率，踐行教學(xué)改革，才能使數(shù)學(xué)文化課程保持旺盛的生命力，才能真正將大學(xué)數(shù)學(xué)文化課程的教學(xué)實(shí)踐達(dá)到一個(gè)新的境界，更加全面地體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值．

[1] 王憲昌．關(guān)于數(shù)學(xué)文化研究的幾點(diǎn)思考[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007，16（2）：44-47．

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