大位移磁致伸縮傳感器的彈性波建模與分析*

代前國，周新志

(四川大學(xué)電子信息學(xué)院，成都610065)

位置測(cè)量方式很多，隨著測(cè)量精度和測(cè)量環(huán)境的工業(yè)性要求，傳統(tǒng)位置傳感器不能滿足要求。磁致伸縮位移傳感器是一種新型的位移傳感器，其有測(cè)量精度高，測(cè)量位移大，測(cè)量非接觸[1－4]，適用于惡劣環(huán)境中對(duì)位置的測(cè)量。廣泛應(yīng)用于石油，航空，水利，數(shù)控，自動(dòng)化等工業(yè)環(huán)境中[5－7]。

目前，國內(nèi)正處于對(duì)該傳感器的自主研究和設(shè)計(jì)階段，該傳感器測(cè)量位移不是很大，大位移傳感器主要靠進(jìn)口。研究主要集中在傳感器材料和傳感器系統(tǒng)集成方面，該傳感器測(cè)量位移不大，在5 m以內(nèi)。由于該傳感器涉及材料，力學(xué)，電磁學(xué)和信號(hào)處理交叉學(xué)科，難以對(duì)傳感器建立一個(gè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。本文主要對(duì)基于FeGa材料為波導(dǎo)絲的彈性波進(jìn)行建模和分析。根據(jù)波導(dǎo)材料的動(dòng)力學(xué)原理，建立了FeGa磁致伸縮波導(dǎo)絲的彈性波振動(dòng)方程[8－9]。同時(shí)根據(jù)磁致伸縮材料的魏德曼效應(yīng)(Wiedman Effect)和Jile-Atherton磁點(diǎn)耦合模型給出磁致伸縮位移傳感器彈性波信號(hào)的模型以了解彈性波的傳遞特性[10－11]。

1 磁致伸縮位移傳感器原理

磁致伸縮位移傳感器系統(tǒng)主要由脈沖發(fā)生電路，波導(dǎo)絲和彈性波信號(hào)接收電路3部分組成，組成系統(tǒng)如圖1所示。發(fā)射端脈沖發(fā)生電路向磁致伸縮波導(dǎo)管施加一個(gè)電流脈沖Ip，該電流脈沖沿磁致伸縮波導(dǎo)管向另一端傳播。此周期電流脈沖將產(chǎn)生一個(gè)環(huán)繞磁致伸縮波導(dǎo)管的環(huán)向磁場(chǎng)Φc，同時(shí)在波導(dǎo)管外部環(huán)形永久磁鐵產(chǎn)生一個(gè)沿波導(dǎo)絲軸向的穩(wěn)恒磁場(chǎng)Φr。當(dāng)環(huán)向磁場(chǎng)Φc遇到軸向穩(wěn)恒磁場(chǎng)Φr時(shí)，產(chǎn)生疊加并形成一個(gè)螺旋形的合成磁場(chǎng)Φ。根據(jù)磁致伸縮材料的磁致伸縮效應(yīng)，在合成磁場(chǎng)Φ的作用下，將使磁致伸縮波導(dǎo)管產(chǎn)生瞬時(shí)局部扭轉(zhuǎn)變形，從而形成扭轉(zhuǎn)超聲波[3，5]。該超聲波以恒定的速度v向兩邊傳播。

圖1 磁致伸縮位移傳感器工作原理

同時(shí)，在信號(hào)檢測(cè)線圈端，由于魏德曼效應(yīng)可以檢測(cè)出彈性波信號(hào)，檢測(cè)信號(hào)電壓由式(1)可得。

其中εo是感性線圈感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，N是線圈匝數(shù)，S是線圈橫切面的有效面積，dB/dt是磁場(chǎng)的變化率。測(cè)量輸出脈沖信號(hào)和接受信號(hào)的時(shí)間差T，則可以根據(jù)L=vT測(cè)量出永久性磁鐵的距離。

2 彈性波的振動(dòng)模型

圓柱型FeGa材料的波導(dǎo)絲具有連續(xù)性，均勻性，各向同性，小變形等特性。以永久性磁鐵的位置為中心原點(diǎn)建立坐標(biāo)，如圖2所示，分析和建立波導(dǎo)絲振動(dòng)力學(xué)方程。

圖2 磁致伸縮材料波導(dǎo)絲的扭轉(zhuǎn)波產(chǎn)生

設(shè)波導(dǎo)絲的單位質(zhì)量為ρ，圓切面對(duì)其中心的極慣性矩為I，材料的彈性模量為E，波導(dǎo)絲軸的橫截面在扭轉(zhuǎn)過程中，x截面的轉(zhuǎn)角位移用φ(x，t)表示。在x截面處取出一小段dx作為隔離體，如圖2所示，列出受力平衡方程ΣM=0:

即是:

式中:T為x截面的扭矩。根據(jù)材料力學(xué)中圓軸扭轉(zhuǎn)的扭轉(zhuǎn)角公式，有

將式(4)代入式(2)，可得

3 磁機(jī)耦合方程

因?yàn)榇胖律炜s材料伸縮一般很小，同時(shí)接收線圈長度也很小，磁致伸縮過程主要與磁場(chǎng)和材料的機(jī)械性能相關(guān)，其中線性主要有兩個(gè)線性磁機(jī)耦合方程[11－12]:

其中ε和σ是FeGa材料縱向應(yīng)力和軸向應(yīng)力，E是楊氏彈性模量，μσ是在磁場(chǎng)作用下的相對(duì)磁導(dǎo)率，方程中dσ和d分別是磁致彈性波耦合系數(shù)和逆磁致彈性波耦合系數(shù)，其分別有式(9)和式(10)所示定義。同時(shí)方程(6)反映了磁致伸縮材料FeGa的彈性特性(σ/E)和磁致特性(dH)，方程(7)包含了由于彈性應(yīng)力作用下磁致伸縮效應(yīng)直接產(chǎn)生的磁化現(xiàn)象[13]。

要使如上磁機(jī)耦合方程成立，要假設(shè)方程中所涉及磁致伸縮，逆磁致伸縮，彈性波和磁化等有關(guān)變量都是線性相關(guān)的，因此要求在接收線圈處的磁致伸縮區(qū)域力學(xué)特性是線性的。同時(shí)由于電流的趨膚效應(yīng)忽略渦流和磁致伸縮材料的磁滯效應(yīng)。

在彈性波傳遞過程中，根據(jù)逆磁致伸縮效逆磁致伸縮效應(yīng)和磁機(jī)耦合關(guān)系[14]如下，

其中λ是磁致伸縮系數(shù)。?φ/?x是磁致伸縮應(yīng)力。等式中磁場(chǎng)強(qiáng)度已知，在給定線圈參數(shù)情況下，磁場(chǎng)可以計(jì)算出來。根據(jù)材料力學(xué) T=σ和式(5)、式(10)和式(4)3個(gè)等式可得

該方程是一個(gè)二次偏微分方程，解比較復(fù)雜。在實(shí)驗(yàn)中，波導(dǎo)絲直徑很小，極慣性矩I變化小，視為單位極慣性矩。而只考慮在永久性磁鐵處出現(xiàn)最大的磁致伸縮效應(yīng)，波導(dǎo)絲其他點(diǎn)的磁致伸縮不考慮，但是由于永久性磁鐵和脈沖合成的磁場(chǎng)H是不均勻分布的，可用H(x，t)表示。同時(shí)，由于實(shí)驗(yàn)中使用的時(shí)周期性大電流脈沖I(t)，根據(jù)傅里葉變換

其中s(ω)是I(t)的傅里葉變換，周期信號(hào)I(t)可有一頻率不同的解析信號(hào)線性組合而成，因此，假設(shè)φ(x，t)=φ(x)ejwt，為了方程計(jì)算更加簡(jiǎn)單，假設(shè)H(x，t)=H(x)ejwt，因此方程(12)可化簡(jiǎn)為

該方程是一個(gè)二次差分方程，其通解可表示為

等式中A，B固定振蕩部分為待定系數(shù)，由于磁致伸縮效應(yīng)和后面線圈對(duì)信號(hào)的接收，只考慮強(qiáng)迫振蕩則有:

4 線圈接收信號(hào)輸出模型

考慮彈性波信號(hào)接收線圈，如圖3所示，線圈開路，線圈不會(huì)產(chǎn)生電流，從而不存在磁場(chǎng)強(qiáng)度H，影響磁感應(yīng)強(qiáng)度的主要因素為磁致伸縮效應(yīng)的應(yīng)變?chǔ)??φ/?x)，即式(11)可化簡(jiǎn)為

該方程表示接收線圈在開路情況下的逆磁致伸縮機(jī)磁耦合方程[15]。然線圈每單位長度的線圈匝數(shù)為n，截面有效區(qū)域?yàn)?s，取微小的 dx長度，匝數(shù)為ndx。則通過ndx的磁通量

將式(16)代入得

同時(shí)在永久性磁鐵位置處有合成磁場(chǎng)

Hr為永久性磁場(chǎng)，HI為脈沖電流磁場(chǎng)有HI(x，t)=kIC(x)，Hr(x，t)=Hrf(x)。其中k為電流與磁場(chǎng)耦合系數(shù)，近似為 k=1/(2πr)(r為波導(dǎo)絲半徑);c(x)，f(x)位置分布函數(shù)。

由式(19)和式(20)可得

實(shí)際中，必須考慮信號(hào)能量的衰減，假設(shè)衰減函數(shù)為g(x)，g(x)是位置衰減型的函數(shù)。則有電壓輸出電壓函數(shù)

圖3 接受信號(hào)線圈

由電壓輸出式(21)可知，彈性波輸出電壓主要受以下因素影響;磁致伸縮材料的磁致伸縮系數(shù)λ，波導(dǎo)絲半徑r，接受線圈匝數(shù)n，和截面的有效面積s，材料的相對(duì)磁導(dǎo)率μr和輸入電流I(t)和永久性磁場(chǎng)在環(huán)向的磁場(chǎng)Hc(Hc為Hr在環(huán)向的磁場(chǎng)最大值)等影響。如果線圈特性和波導(dǎo)絲材料都固定的情況下，決定輸出電壓的因素主要是脈沖電流，I(t)→Vo，Vo∝1/x，即x位置的增加信號(hào)輸出幅度減小。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

數(shù)學(xué)模型是建立在理想條件下的，其彈性波的動(dòng)力學(xué)模型是自由振蕩模型，實(shí)際試驗(yàn)中不可能是這樣。實(shí)驗(yàn)中，如圖4激勵(lì)電流脈沖頻率為250 kHz，脈沖寬度為 28 μs。

圖4 激勵(lì)脈沖波形

波導(dǎo)絲用FeGa材料，長度為2 m左右，波導(dǎo)絲直徑約為5 mm。信號(hào)檢測(cè)線圈匝數(shù)約為300匝，經(jīng)過信號(hào)放大，信號(hào)濾波后，不同位置的信號(hào)幅度波形檢測(cè)如圖5(a)所示。

圖5

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖5(a)、5(b)所示，在理論模型基礎(chǔ)上，以FeGa材料為核心搭建的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)很好實(shí)現(xiàn)了對(duì)信號(hào)的檢測(cè)。實(shí)驗(yàn)中，以2 m為測(cè)量量程，測(cè)量了4個(gè)位置點(diǎn)原始輸出信號(hào)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5(b)所示。實(shí)驗(yàn)測(cè)量時(shí)檢測(cè)信號(hào)幅度小，在mV級(jí)，同時(shí)隨著距離增加輸出信號(hào)存在二次函數(shù)衰減。位置不變情況下，不同輸入電流對(duì)輸出信號(hào)幅度影響，如圖6所示，脈沖電流越大輸出信號(hào)幅度越大，成正比例關(guān)系。同時(shí)從圖5(b)可以看出，該傳感器有較好的線性測(cè)量特性;試驗(yàn)中通過光柵尺對(duì)傳感器進(jìn)行標(biāo)記，該傳感器精度能達(dá)到20μm。

圖6 不同電流輸入的輸出信號(hào)幅度

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，輸出信號(hào)幅度與輸入電流成正比、與測(cè)量位置成反比。由于系統(tǒng)誤差和人工誤差和忽略了環(huán)境干擾對(duì)測(cè)量信號(hào)的影響，通過多次重復(fù)測(cè)量減少誤差，使得實(shí)驗(yàn)結(jié)果和預(yù)期的結(jié)果基本吻合，說明了該彈性波模型的可行性。

6 結(jié)論

FeGa是一種磁致伸縮系數(shù)較大的材料，以其作為波導(dǎo)絲能很好實(shí)現(xiàn)磁致伸縮位移傳感器功能。磁致伸縮位移傳感器系統(tǒng)是多學(xué)科交叉，建立統(tǒng)一模型比較復(fù)雜，很難對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行定量分析。本文通過對(duì)波導(dǎo)絲的振動(dòng)方程和材料力學(xué)方程和磁機(jī)耦合方程3個(gè)方面考慮，推導(dǎo)出了信號(hào)輸出模型是距離的變化，并假設(shè)信號(hào)的衰減。通過實(shí)驗(yàn)獲得信號(hào)輸出，驗(yàn)證信號(hào)輸出與模型的一致性。建模過程中，由于模型的復(fù)雜性，如溫度特性、磁滯特性、剩磁特性等被忽略了，系統(tǒng)模型需要進(jìn)一步提高，但該模型對(duì)磁致伸縮位移傳感器的理論研究有積極意義。

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